数学八年级上册第一章 勾股定理综合与测试单元测试随堂练习题

这是一份数学八年级上册第一章 勾股定理综合与测试单元测试随堂练习题，共13页。试卷主要包含了下列几组数中，为勾股数的是等内容，欢迎下载使用。
第1章《勾股定理》单元测试


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．下列几组数中，为勾股数的是（ ）


A．4，5，6 B．12，16，18 C．7，24，25 D．0.8，1.5，1.7


2．下面是证明勾股定理的四个图形，其中是轴对称图形的是（ ）


A． B． C． D．


3．如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝36，S2＝64，则S3＝（ ）





A．8B．10C．80D．100


4．下列条件中，使△ABC不是直角三角形的是（ ）


A．AB＝3，BC＝4，AC＝5B．AB2﹣BC2＝AC2


C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．AB：BC：AC＝1：2：3


5．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（ ）





A．10米B．6米C．7米D．8米


6．已知一轮船以18海里/小时的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5h后，两轮船相距（ ）


A．30海里B．35海里C．40海里D．45海里


7．如图，圆柱的底面半径是4，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（π取3）（ ）





A．9B．13C．14D．25


8．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（ ）





A．121B．144C．169D．196


9．△ABC的三边分别为a、b、c，满足c2＝a2+b2，c2﹣2b2＝0，则这个三角形有一个角的度数为（ ）


A．135°B．75°C．45°D．30°


10．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（ ）





A．或 B．或12或4 C．或或12 D．或12或4


二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）


11．写出一组全是偶数的勾股数是 ．


12．图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 cm2．





13．如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则CD＝ ．





14．如图一根竹子长为16米，折断后竹子顶端落在离竹子底端8米处，折断处离地面高度是 米．





15．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝ ．





16．已知等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，且CD＝16，BD＝12，则△ABC的周长为 ．


三．解答题（共7小题，满分52分）


17．（6分）如图，每个小正方形的边长均为1，求证：△ABC是直角三角形．

















18．（7分）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，请算出旗杆的高度．














19．（7分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝13cm，BC＝12cm，求四边形ABCD的面积．














20．（7分）如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB＝80km，AD＝50km，BC＝30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？

















21．（7分）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形？请说明理由．




















22．（8分）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．


联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；



































23．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．





（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求此时t的值；


（2）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值．






























































参考答案


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．解：A、42+52≠62，不是勾股数；


B、122+162≠182，不是勾股数；


C、72+242＝252，是勾股数；


D、0.82+1.52＝1.72，但不是正整数，不是勾股数．


故选：C．


2．解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；


B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；


C、是轴对称图形，故此选项符合题意；


D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；


故选：C．


3．解：∵在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，


又由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，


∴S3＝S1+S2＝36+64＝100．


故选：D．


4．解：A、32+42＝52，△ABC是直角三角形；


B、AB2﹣BC2＝AC2，AB2＝BC2+AC2，△ABC是直角三角形；


C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，


设∠A、∠B、∠C分别为x、2x、3x，


则x+2x+3x＝180°，


解得x＝30°，


则∠A、∠B、∠C分别为30°，60°，90°，


△ABC是直角三角形；


D、12+22≠32，△ABC不是直角三角形．


故选：D．


5．解：由题意得：AC＝BD＝2米，


∵AO＝8米，


∴CO＝6米，


设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，由题意得：


62+（x+2）2＝82+x2，


解得：x＝6，


AB＝＝10（米），


故选：A．


6．解：如图，连接BC．


∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，


∴∠BAC＝90°，


两小时后，两艘船分别行驶了24×1.5＝36（海里），18×1.5＝27（海里），


根据勾股定理得：BC＝＝＝45（海里）．


故选：D．





7．解：展开圆柱的半个侧面是矩形，


矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即4π≈12，矩形的宽是圆柱的高5．


根据两点之间线段最短，


知最短路程是矩形的对角线的长，即＝13．，


故选：B．





8．解：∵直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，


∴直角三角形的较长直角边＝5+7＝12，


∴直角三角形斜边长＝13，


∴大正方形的边长是13，


∴大正方形的面积是13×13＝169．


故选：C．


9．解：∵△ABC的三边分别为a、b、c，满足c2＝a2+b2，


∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，


∵c2﹣2b2＝0，


∴c2＝2b2，


∴a2+b2＝2b2，


∴a＝b，


∴∠B＝∠A，


又∵∠B+∠A＝180°﹣∠C＝90°，


∴∠B＝∠A＝45°．


故选：C．


10．解：∵∠C＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，


∴BC＝12cm．


①当BP＝BA＝13时，∴t＝s．


②当AB＝AP时，BP＝2BC＝24cm，∴t＝12s．


③当PB＝PA时，PB＝PA＝t cm，CP＝（12﹣t）cm，AC＝5 cm，


在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，


∴（t）2＝52+（12﹣t）2，解得t＝s．


综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝s或12s或s，


故选：C．


二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）


11．解：∵62+82＝102，


∴全是偶数的勾股数是6，8，10，


故答案为：6，8，10．


12．解：∵正方形的边长为（cm），


∴此正方形的面积为92＝81（cm2），


故答案为：81．


13．解：∵在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，


∴AB＝＝5，


∴CD＝＝2.4．


故答案为：2.4．


14．解：设竹子折断处离地面x米，则斜边为（16﹣x）米，


根据勾股定理得：x2+82＝（16﹣x）2


解得：x＝6．


∴折断处离地面高度是6米，


故答案为：6．


15．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则由勾股定理知，AC2+BC2＝AB2．


S1＝πAC2，S2＝πBC2，


所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝12.5π．


故答案为：12.5π．


16．解：在△BCD中，BC＝20，CD＝16，BD＝12，


∵BD2+DC2＝BC2，


∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，


∴CD⊥AB，


设AD＝x，则AC＝x+12，


在Rt△ADC中，∵AC2＝AD2+DC2，


∴x2+162＝（x+12）2，


解得：x＝．


∴△ABC的周长为：（+12）×2+20＝．


故答案为：．





三．解答题（共7小题，满分52分）


17．证明：∵AC2＝32+42＝25，AB2＝12+22＝5，BC2＝22+42＝20，


∴AC2＝AB2+BC2，


∴△ABC是直角三角形．


18．解：设旗杆的高度为x米，


根据勾股定理，得x2+92＝（x+3）2，


解得：x＝12；


答：旗杆的高度为12米


解：





连接BD，


∵AD＝4cm，AB＝3cm，AB⊥AD，


∴BD＝＝5（cm）


∴S△ABD＝AB•AD＝6（cm2）．


在△BDC中，∵52+122＝132，即BD2+BC2＝CD2，


∴△BDC为直角三角形，即∠DBC＝90°，


∴S△DBC＝BD•BC＝30（cm2）．


∴S四边形ABCD＝S△BDC﹣S△ABD＝30﹣6＝24（cm2）．


答：四边形ABCD的面积为24cm2．


20．解：设AE＝xkm，则BE＝（80﹣x）km，


∵AD⊥AB，BC⊥AB，


∴△ADE和△BCE都是直角三角形，


∴DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，


又∵AD＝50，BC＝30，DE＝CE，


∴502+x2＝（80﹣x）2+302，


解得x＝30．


答：5G信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方．


21．解：以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形，


理由：∵m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，


∴c＞a，


∵a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝（m2+1）2，


c2＝（m2+1）2，


∴a2+b2＝c2，


∴以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形．


22．解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，


∵A＝B2，B＞0，


∴B＝n2+1，


当2n＝8时，n＝4，∴n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；


当n2﹣1＝35时，n＝±6（负值舍去），∴2n＝2×6＝12，n2+1＝37．


故答案为：15，17；12，37．


23．解：（1）如图1，PA＝PB，


在Rt△ACB中，


设AP＝t，则PC＝8﹣t，


在Rt△PCB中，依勾股定理得：（8﹣t）2+62＝t2，


解得，


即此时t的值为；


（2）如图2所示：


过点P作PE⊥AB，则PC＝t﹣8，PB＝14﹣t，


∵AP平分∠BAC


且PC⊥AC


∴PE＝PC


在△ACP与△AEP中，，


∴△ACP≌△AEP（AAS），


∴AE＝AC＝8，


∴BE＝2，


在Rt△PEB中，依勾股定理得：PE2+EB2＝PB2


即：（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2


解得：，


即点P在∠BAC的平分线上时，t的值为．











直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ

8

勾股数组Ⅱ
35


直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
15
8
17
勾股数组Ⅱ
35
12
37