初中北师大版第一章 勾股定理综合与测试单元测试课时训练

这是一份初中北师大版第一章 勾股定理综合与测试单元测试课时训练，共18页。试卷主要包含了在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各组数中，是勾股数的是，如图，透明的圆柱形玻璃容器cm等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北师大新版八年级上册数学《第1章 勾股定理》单元测试卷
一．选择题
1．如图所示是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案，现在有五种正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选取），按如图所示方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则选取的三块纸片的面积不可以是（　　）

A．3，4，5 B．2，2，4 C．3，3，6 D．2，4，6
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°．若a＝6，b＝8，则c的值是（　　）
A．10 B．2 C．2 D．4.8
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，则BC的长度为（　　）

A．5 B．3 C． D．
4．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，则小正方形与大正方形的面积比是（　　）

A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：10
5．下列几组数能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．3，4，6 B．1，1， C．5，12，14 D．，2，5
6．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．7，8，9 B．6，8，11 C．5，12，14 D．3，4，5
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（　　）

A． B． C． D．
8．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（　　）
A．5.3尺 B．6.8尺 C．4.7尺 D．3.2尺
9．丽丽想知道学校旗杆的高，她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2米，当她把绳子的下端拉开离旗杆6米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（　　）
A．4米 B．8米 C．10米 D．12米
10．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（　　）cm．

A．9 B．10 C．18 D．20
二．填空题
11．直角三角形的两直角边是3和4，则斜边是 　 　
12．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，分别以点A、点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AB于点O，连接CO，则CO的长为　 　．

13．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为　 　．

14．面积为48的等腰三角形底边上的高为6，则腰长为 　 　．
15．如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，若CF＝5，AB＝13，则EF的长为　 　．

16．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ADB的面积大小关系为：S△ABC　 　S△ADB（填“＞”“＝”或“＜”）．

17．观察下列各组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26……
请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：　 　．
18．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为 　 　米．

19．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口C，各自沿一固定方向航行，甲客轮每小时航行16nmile，乙客轮每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后分别位于点A、B处，且相距30nmile．如果知道甲客轮沿着北偏西45°方向航行，则乙客轮的航行方向可能是 　 　．

20．如图，如果一只蚂蚁从圆锥底面上的点B出发，沿表面爬到母线AC的中点D处，则最短路线长为　 　．

三．解答题
21．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，BD＝3，BC＝，求AB的长．

22．阅读下列材料，解决所提的问题：
勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．
关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组（3，4，5）．
类似地，还可以得到下列勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组．
上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示：
勾股数组
各组数的和
和的另一表示法
和与最小数的差
股
弦
3，4，5
12
3×4
12﹣3＝9


5，12，13
30
5×6
30﹣5＝25


7，24，25
56
7×8
56﹣7＝49


9，40，41
90
9×10
90﹣9＝81


…
…
…
…
…
…
观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点：
特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和；
特点2：　 　．
…
学习任务：
（1）请你再写出上述勾股数组的一个特点：　 　；
（2）如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（n，　 　，　 　）
（3）请你证明（2）的结论．
23．如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；
（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）

24．如图，已知CD＝4，AD＝3，∠ADC＝90°，BC＝12，AB＝13．
（1）求AC的长．
（2）求图中阴影部分图形的面积．

25．如图是5×6的网格．

（1）如图（1），A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点），判断AC与BC的数量和位置关系，直接写出结论，不需要说明理由；
（2）如图（2），求∠1+∠2的度数（要求：画出示意图并给出推导过程）．
26．如图，每小个正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点称格点，△ABC的顶点都是在格点上．
（1）求△ABC的周长；
（2）求△ABC的面积．

27．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．


参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
∵所围成的三角形是直角三角形，
∴斜边对应的正方形的面积＝两直角边对应的正方形的面积和，
又∵3+4≠5，2+2＝4，3+3＝6，2+4＝6，
∴选取的三块纸片的面积不可以是3，4，5，
故选：A．
2．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，
由勾股定理得：c＝＝＝10，
故选：A．
3．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，
由勾股定理得，BC＝＝＝，
故选：D．
4．解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，
∴小正方形的边长为2，
根据勾股定理得：大正方形的边长＝＝2，
∴＝＝＝．
故选：C．
5．解：A、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；
B、12+12≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；
C、52+122≠142，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；
D、（）2+（2）2＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，符合题意；
故选：D．
6．解：A、∵72+82≠92，∴这组数不是勾股数．不符合题意；
B、∵62+82≠112，∴不是勾股数，不符合题意；
C、∵52+122≠14，∴这组数不是勾股数．不符合题意；
D、∵32+42＝52，∴是勾股数，符合题意．
故选：D．
7．解：设BQ＝x，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
由勾股定理得：AC＝＝＝6，
∵BD平分∠ABC，
∴∠QBD＝∠ABD，
∵PQ∥AB，
∴∠QDB＝∠ABD，
∴∠QBD＝∠QDB，
∴QD＝BQ＝x，
∵D为线段PQ的中点，
∴QP＝2QD＝2x，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴＝＝，即＝＝，
解得：x＝，CP＝，
∴AP＝CA﹣CP＝，
故选：B．
8．解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2．
解得：x＝3.2，
∴折断处离地面的高度为3.2尺，
故选：D．
9．解：设旗杆的高为xm，则绳子的长为（x+2）m．
根据题意得：
x2+62＝（x+2）2，
解得x＝8．
故旗杆的高为8米．
故选：B．
10．解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝15cm，

延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE＝A'E＝DG＝4cm，
∴BD＝12cm，
Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D＝＝9cm，
∴则该圆柱底面周长为18cm．
故选：C．
二．填空题
11．解：在直角三角形中，三边边长符合勾股定理，
已知两直角边为3、4，则斜边边长＝＝5，
故答案为 5．
12．解：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
由作图可知：MN是AB的垂直平分线，
∴O是AB的中点，
∴CO＝AB＝，
故答案为：．
13．解：连接AB，AD，如图所示：
∵AD＝AB＝＝2，
∴DE＝＝，
∴CD＝3﹣．
故答案为：3﹣．

14．解：如图所示：
△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，
则BC•AD＝48，BD＝CD，
即BC×6＝48，
∴BC＝16，
∴BD＝BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
故答案为：10．

15．解：如图，

∵正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，
∴AH＝BE＝CG＝DF，AE＝BG＝CF＝DH，
∴EG＝GF＝GH＝HE，
∴四边形EGFH为菱形，
∵△ABE为直角三角形，
∴∠AEB＝∠GEH＝90°，
∴四边形EGFH为正方形，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB＝13，
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，CF＝5，
根据勾股定理得，DF＝12，
∴GF＝DF﹣DH＝GC﹣FC＝7，
在△GEF中，GE＝GF＝7，∠EGF＝90°，
根据勾股定理得，EF＝＝7．
故答案为：7．
16．解：∵AB2＝8，BC2＝2，AC2＝10，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝××2＝2，S△ABD＝×2×2＝2，
∴S△ABC＝S△ABD，
故答案为：＝．
17．解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2（n+1）；第二个是：n（n+2）；第三个数是：（n+1）2+1．
所以第⑦组勾股数：16，63，65．
故答案为：16，63，65．
18．解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°，
∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COG＝∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG＝AF＝BD＝4米，
设AO＝x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2＝AO2，即42+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝8.5．
则CE＝GB＝OB﹣OG＝8.5﹣4＝4.5（米）．
故答案为：4.5．

19．解：AC的长度为：16×1.5＝24（n mile），
BC的长度为：12×1.5＝18（n mile），
∵302＝242+182，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∵甲客轮沿着北偏西45°方向航行，
∴乙客轮的航行方向可能是北偏东45°，
故答案为：北偏东45°．
20．解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路线．

设∠BAB′＝n°．
∵，
∴n＝120，即∠BAB′＝120°．
∵E为弧BB′中点，
∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，
Rt△AFB中，∠ABF＝30°，AB＝6
∴AF＝3，BF＝＝3，
∴最短路线长为3．
故答案为：3．
三．解答题
21．解：设AB＝AC＝x，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴CD＝＝1，
∴AD＝x﹣1，
在Rt△BDA中，BD2+AD2＝AB2，即32+（x﹣1）2＝x2，
解得，x＝5，即AB＝5．
22．解：特点2，答案不唯一：如：最小的勾股数是奇数，另外两个勾股数是两个连续的正整数，
故答案为：答案不唯一：如：最小的勾股数是奇数，另外两个勾股数是两个连续的正整数；
（1）上述勾股数组的一个特点：最小的勾股数与比它大1的整数的乘积等于各个勾股数的和，
故答案为：最小的勾股数与比它大1的整数的乘积等于各个勾股数的和；
（2）如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（n2，，），
故答案为：；；
（3）证明：n2+（）2
＝n2+
＝
＝（）2，
则（n2，，）是勾股数组．
23．解：（1）如图所示，是梯形；

由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积＝（a+b）（a+b）．
从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即ab+ab+c2．
两者列成等式化简即可得：a2+b2＝c2；
（2）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．

24．解：（1）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，
由勾股定理，得：AC＝＝＝5；
（2）∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴图中阴影部分图形的面积＝S△ABC﹣S△ACD＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24．
25．解：（1）AC＝BC且AC⊥BC．理由：
如图（1），∵CD＝BE，∠ADC＝∠CEB＝90°，AD＝CE，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴AC＝CB，∠ACD＝∠CBE，
又∵∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
∴AC⊥BC；

（2）如图（2），作△ABC，△DEF，
∵BC＝FE，∠ABC＝∠DFE，AB＝DF，
∴△ABC≅△DFE（SAS），
∴∠ACB＝∠DEF＝∠2．
由图，结合勾股定理，得
，，AD＝5，
∴AC2+DC2＝5+20＝25＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．
∵∠2+∠ACD+∠1＝180°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠ACD＝180°﹣90°＝90°．
26．解：（1）由勾股定理得：，，，
∴△ABC的周长＝；
（2）由（1）可知，AC2+AB2＝（）2+（）2＝20，BC2＝（2）2＝20，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴．
27．解：延长AD到E使AD＝DE，连接CE，

在△ABD和△ECD中
，
∴△ABD≌△ECD，
∴AB＝CE＝5，AD＝DE＝6，AE＝12，
在△AEC中，AC＝13，AE＝12，CE＝5，
∴AC2＝AE2+CE2，
∴∠E＝90°，
由勾股定理得：CD＝＝，
∴BC＝2CD＝2，
答：BC的长是2．