第2讲 平面向量（知识点串讲）（复习讲义）

第2讲 平面向量（知识点串讲）

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1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

例1、判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　　)

(2)＝－.(　　)

(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)

(4)已知a，b是两个非零向量，当a，b共线时，一定有b＝λa(λ为常数)，反之也成立．(　　)

【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

[跟踪训练]

1、有下列命题：①两个相等向量，如果它们的起点相同，则终点也相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若||＝||，则四边形ABCD是平行四边形；④若m＝n，n＝k，则m＝k；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是(　　)

A．2　　　 B．3　　

C．4　　　 D．5

【答案】C　[对于①，两个相等向量，如果它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若|a|＝|b|，方向不确定，则a，b不一定相等，∴②错误；对于③，若||＝||，，不一定相等，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，③错误；对于④，若m＝n，n＝k，则m＝k，④正确；对于⑤，若a∥b，b∥c，当b＝0时，a∥c不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误．综上，假命题是②③⑤⑥，共4个．]

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2．向量的线性运算

3．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

例2、(2019·山东东营检测)如图所示，＝3，O在线段CD上，且O不与端点C，D重合，若＝m＋(1－m)，则实数m的取值范围为________.

【答案】　[设＝k，则k∈，

∴＝＋＝＋k＝＋k(－)＝(1＋k)－k.

又＝m＋(1－m)，∴m＝－k.

∵k∈，∴m∈.]

[跟踪训练]

2、(2019·山东潍坊调研)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　)

A．1 B．

C． D．

【答案】B　[∵E为线段AO的中点，

∴＝＋＝＋＝＋＝λ＋μ，∴λ＋μ＝＋＝.]

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4．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．

(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．

(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.

例3、(2019·山东青州月考)已知O为△ABC内一点，且2＝＋，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B　[设线段BC的中点为M，

则＋＝2.

因为2＝＋，所以＝，

则＝＝(＋)

＝＝＋.

由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝.]

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3、设两个非零向量a与b不共线．

(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，

求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

【答案】(1)证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，

∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)

＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5，

∴，共线．又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．

(2)解　假设ka＋b与a＋kb共线，

则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，

即(k－λ)a＝(λk－1)b.

又a，b是两个不共线的非零向量，

∴k－λ＝λk－1＝0.

消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.

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5．平面向量的坐标运算

(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.

(2)向量坐标的求法：

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

||＝.

6．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔＝.⇔x1y2－x2y1＝0.

例4、(2019·山东潍坊检测)如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)

A． 　　 B．－　　

C．1　　 D．－1

【答案】A　[法一：由题意得＝＋＝＋－＝－，∴λ＝－，μ＝1，∴λ＋μ＝.

法二：利用坐标法，以A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，

设正方形的边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，E，∴＝，＝(1,0)，＝(1,1)，则＝λ(1,0)＋μ(1,1)，∴λ＋μ＝.]

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4、(2019·山东青岛调研)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，若a∥(a＋b)，则m＝(　　)

A．－2 B．2

C．3 D．－3

【答案】D　[向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，则a＋b＝(2，m＋1)，a∥(a＋b)，则－(m＋1)＝2，解得m＝－3.]

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7．向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π].

8．平面向量的数量积

9．(1)平面向量数量积的运算律

①交换律：a·b＝b·a；

②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

(2)平面向量数量积运算的常用公式

①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.  ②(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.  ③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

10．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.

注：两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．

例5、(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　)

A． B．

C． D．3

【答案】A　[如图，以D为坐标原点建立直角坐标系．

连接AC，由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，

∠ACD＝∠ACB＝30°，则D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)．设E(0，y)(0≤y≤)，则＝(－1，y)，＝，

∴·＝＋y2－y＝2＋，

∴当y＝时，·有最小值.]

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5、(2018·天津卷)在如图所示的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为(　　)

A．－15 B．－9

C．－6 D．0

【答案】C　[如图，连接MN.

∵＝2，＝2，∴＝＝，

∴MN∥BC，且＝，

∴＝3＝3(－)，

∴·＝3(·－2)

＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.]