第5讲 圆与方程（知识点串讲）（复习讲义）

第五讲　圆与方程

1．圆的定义及方程

2．点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．

(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．

(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．

3. 确定圆心的方法

求圆的标准方程，其关键是确定圆心，确定圆心的主要方法有：

(1)当题目条件中出现直线与圆相切时，可利用圆心在过切点且与切线垂直的直线上来确定圆心位置；

(2)当题目条件中出现直线与圆相交，可考虑圆心在弦的垂直平分线上；

(3)当题目条件出现两圆相切时，可考虑切点与两圆的圆心共线．

4. 求圆的方程的两种方法

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．

(2)待定系数法：

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

例1．(2019·山东威海调研)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　)

A．R B．(－∞，1)

C．(－∞，1] D．[1，＋∞)

例2．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________．

练习．(2019·黑龙江伊春月考)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)

A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4　 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4

C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

5. 与圆有关的最值问题的常见解法

(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．

(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．

(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

例3. 已知实数x, y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．

(1)求的最大值和最小值；

(2)求y－x的最大值和最小值．

[变式探究]　在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．

练习. 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)

A．7　　　　 B．6　　

C．5　　　　 D．4