第2讲 概率（知识点串讲）（复习讲义）
展开第二讲 概率
1．事件的相关概念
2．事件的关系与运算
| 定义 | 符号表示 |
包含 关系 | 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) | B⊇A (或A⊆B) |
相等 关系 | 若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等 | A＝B |
并事件 (和事件) | 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) | A∪B (或A＋B) |
交事件 (积事件) | 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) | A∩B (或AB) |
互斥 事件 | 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 | A∩B＝∅ |
对立事件 | 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 | A∩B＝∅且 A∪B＝U |
3. 判断互斥、对立事件的2种方法
(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
例1．(2019·山东曲阜检测)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与都是红球
C．至少有一个黑球与至少有一个红球
D．恰有一个黑球与恰有两个黑球
4．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
5. (1)概率与频率的关系
⇨
(2)随机事件概率的求法
⇨
例2、(2019·湖北武汉调研)一鲜花店根据一个月(30天)某种鲜花的日销售量与销售天数统计如下，将日销售量落入各组区间的频率视为概率.
日销售量(枝) | 0～50 | 50～100 | 100～150 | 150～200 | 200～250 |
销售天数 | 3天 | 5天 | 13天 | 6天 | 3天 |
(1)试求这30天中日销售量低于100枝的概率；
(2)若此花店在日销售量低于100枝的时候选择2天作促销活动，求这2天恰好是在日销售量低于50枝时的概率．
6．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．
(2)必然事件的概率P(E)＝1．
(3)不可能事件的概率P(F)＝0．
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
例3．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
练习．(2019·山东济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为____________．
练习．(2019·辽宁大连月考)从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)＝____________(结果用最简分数表示)．
练习. (2019·河南洛阳检测)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A． B．
C． D．1
7．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件都是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
8．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
9．古典概型的概率公式
P(A)＝．
例4．(2018·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
练习．(2019·山东淄博月考)从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是____________．
练习．(2019·辽宁大连模拟)将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为____________．
10. 求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：
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↓
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例5. (2019·山东泰安模拟)某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：
质量指标值m | m<185 | 185≤m<205 | m≥205 |
等级 | 三等品 | 二等品 | 一等品 |
从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如图的频率分布直方图：
(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？
(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率．
练习. (2019·河南洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为____________．
