第1讲 集合与函数（知识点串讲）（复习讲义）

第一讲　集合与函数

一、[体系构建]

二、知识点总览

1．集合的有关概念

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.

(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．

(4)常用数集的记法

例1、(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B．3

C．5   D．9

(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为(　　)

A．2   B．3

C．0或3   D．0,2,3均可

 [跟踪训练]

1．下列命题正确的有(　　)

①很小的实数可以构成集合；

②集合与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合；

③1，，，，0.5这些数组成的集合有5个元素；

④集合{(x，y)|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集.

A．0个   B．1个

C．2个   D．3个

2．集合间的基本关系

(1)空集φ：任何集合的子集

(2)子集个数结论：

①含有n个元素的集合有2n个子集；

②含有n个元素的集合有2n－1个真子集；

③含有n个元素的集合有2n－2个非空真子集．

例2、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，若A⊆B，且B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．

 [跟踪训练]

变式1、把本例条件“A⊆B”改为“A＝B”，求实数m的取值范围．

变式2、把本例条件“A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}”改为“B⊆A，B＝{m＋1≤x≤2m－1}”，求实数m的取值范围．

3．集合的基本运算

4．集合的运算性质

（1）．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B．

（2）．A∩A＝A，A∩∅＝∅.

（3）．A∪A＝A，A∪∅＝A．

（4）．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A．

（5）．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅.

例3、设U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}，a为实数，

(1)分别求A∩B，A∪(∁UB)．

(2)若B∩C＝C，求a的取值范围.

[跟踪训练]

2．已知集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|5<x<10}，C＝{x|x>a}．

(1)求A∪B，(∁RA)∩B；

(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．

5．函数的概念

6．函数的有关概念与表示方法

(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法.

7.求函数定义域常见结论

(1)分式的分母不为零；

(2)偶次根式的被开方数不小于零；

(3)对数函数的真数必须大于零；

(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；

(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋(k∈Z)；

(6)零次幂的底数不能为零；

(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．

例4、求函数y＝＋－的定义域．

[跟踪训练]

3．函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是(　　)

A.　　　　　　 B.

C.   D.∪ 

8．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

9.单调函数的定义

10．单调区间的定义

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

11．函数的最大值和最小值

12．函数单调性的几个常用结论

(1)函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反；

(2)函数f(x)恒正或恒负时，函数y＝与y＝f(x)的单调性相反；

(3)在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数；减函数－增函数＝减函数，增函数－减函数＝增函数．

13．复合函数的单调性

形如y＝f(v(x))的复合函数的增减性如下：

14．函数的奇偶性

15．周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

16．函数奇偶性的常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．

17．函数周期性的三个常用结论

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2A．

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2A．

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2A．(a>0)

例5、已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.

(1)确定函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．

[跟踪训练]

4．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)，在(0，＋∞)上为增函数，当x>0时，f(x)的图象如图1­1所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集是______．

图1­1

18．函数的零点与方程的根的关系：

(1)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔y＝f(x)有零点．

(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：①借助函数单调性和零点存在性定理研究图象与x轴的交点个数；②通过移项，变形转化成两个函数图象的交点个数进行判断．

19．二分法

(1)图象都在x轴同侧的函数零点不能(填“能”或“不能”)用二分法求．

(2)用二分法求零点近似解时，零点区间(a，b)始终要保持f(a)·f(b)<0；

(3)若要求精确度为0.01，则当|a－b|≤0.01时，便可判断零点近似值为a或b.

20．在同样是增函数的前提下，当自变量变得充分大之后，指数函数、对数函数、幂函数三者中增长最快的是指数函数（爆炸式增长），增长最慢的是对数函数．

例6、(1)函数f(x)＝lg x－的零点所在的大致区间是(　　)

A．(6,7)　　　　　　　 B．(7,8)

C．(8,9)   D．(9,10)

(2)函数y＝|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________.

[跟踪训练]

5．已知函数f(x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)

A．(0,1)   B．(1,2)

C．(2,3)   D．(3,4)