第2讲 空间向量与立体几何（知识点串讲）（复习讲义）
展开第2讲 空间向量与立体几何（知识点串讲）
一、[体系构建]
二、知识整合
考点1．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
例1、(2019·山东威海月考)若向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ、μ∈R，且λμ≠0)，则( )
A．c∥d
B．c⊥d
C．c不平行于d，c也不垂直于d
D．以上三种情况均有可能
【答案】B [由题意得，c垂直于由a，b确定的平面．∵d＝λa＋μb，∴d与a，b共面．∴c⊥d.]
[跟踪训练]
1、 (2019·河南新乡联考)O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点( )
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．无法判断
【答案】B [∵＝＋＋，且＋＋＝1. ∴P，A，B，C四点共面．]
考点2．两个向量的数量积
(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
考点3．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
| 向量表示 | 坐标表示 |
数量积 | a·b | a1b1＋a2b2＋a3b3 |
共线 | a＝λb (b≠0，λ∈R) | a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 |
垂直 | a·b＝0 (a≠0，b≠0) | a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 |
模 | |a| | |
夹角 | cos〈a，b〉 (a≠0，b≠0) |
例2、（2019年海南月考）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简－－＝________.
(2)用，，表示，则＝________.
【答案】(1) (2)＋＋ [(1)－－＝－(＋)＝－＝＋＝.
(2)因为＝＝(＋)．
所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋.]
[跟踪训练]
2、（2019·山西太原期末）已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，点M在线段PC上，点N在线段PD上，且PM＝2MC，PN＝ND，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.
【答案】－ [如图，
＝－＝－＝(－)－(＋)
＝－＋－(＋)＝－－＋.
所以x＋y＋z＝－－＋＝－.]
考点4．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
考点5．空间位置关系的向量表示
位置关系 | 向量表示 | |
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 | l1∥l2 | n1∥n2⇔n1＝λn2 |
l1⊥l2 | n1⊥n2⇔n1·n2＝0 | |
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m | l∥α | n⊥m⇔m·n＝0 |
l⊥α | n∥m⇔n＝λm | |
平面α，β的法向量分别为n，m | α∥β | n∥m⇔n＝λm |
α⊥β | n⊥m⇔n·m＝0 | |
例3、(2019·辽宁大连月考)向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是( )
A．a∥b，a∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
【答案】C [因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，所以a∥c. 又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b.]
[跟踪训练]
3、(2019·山西晋中联考)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A．2， B．－，
C．－3,2 D．2,2
【答案】A [ ∵a∥b，∴b＝ka，
即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，
∴解得或]
考点6．异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则cos θ＝， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．
考点7．直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝.
考点8．二面角
若AB，CD分别是二面角αlβ的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图(1)．
平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝，如图(2)(3)．
例4、(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
【答案】C [方法一 如图(1)，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BAA1′B1′B1A1.
图(1)
连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DB′，由题意，得DB′＝＝，B′B1＝＝2，DB1＝＝.
在△DB′B1中，由余弦定理，得
DB′2＝B′B＋DB－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，
即5＝4＋5－2×2cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝.
故选C．
方法二 如图(2)，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
图(2)
由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，
∴＝(－1,0，)，＝(1,1，)，
∴·＝－1×1＋0×1＋()2＝2，
||＝2，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.]
[跟踪训练]
4、(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
【答案】(1)证明 由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)解 如图，作PH⊥EF，垂足为H.
由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.
由(1)可得，DE⊥PE.
又DP＝2，DE＝1，
所以PE＝.
又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.
所以PH＝，EH＝.
则H(0,0,0)，P，D，
＝，＝.
又为平面ABFD的法向量，
设DP与平面ABFD所成角为θ，
则sin θ＝＝＝.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
