黑龙江省安达市第七中学2020届高三上学期模拟考试数学（理）试卷
展开理数试题
第Ⅰ卷 （选择题, 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.复数为纯虚数，则实数为( )
A. B. C. D.
2.若向量,则( )
A.8 B.7 C.6 D.5
3.等差数列的前项和为,若,则( )
A. B. C. D.
4.设为两个平面，则∥的充要条件是( )
A．内有无数条直线与平行 B．，平行于同一条直线
C．内有两条相交直线与平行 D．，垂直于同一平面
5.已知曲线在处的切线过点,则实数( )
A. B. C. D.
6.函数在的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
7.在各棱长均相等的四面体中，已知分别是是棱中点，则异面直线与所成角的余弦值（ ）
A． B. C. D.
8.若把函数的图象沿轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数的图象,则的一个对称中心为( )
A． B． C． D．
9. 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：
①如果，那么;②如果，那么;
③如果，那么;④如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10. 在中，，则三角形的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定
11.数列的前项和为，已知，若，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12.设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）
13.已知,则 .
14.已知函数，数列满足，则数列的前2019项和为 .
15.已知则的最小值是 .
16.在四棱锥中,底面,
,若点为棱上一点,满足,则 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知关于的不等式的解集为.
（1）求的值；
（2）若均为正数，且，求的最小值.
18．（本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若的周长为，面积为，求三角形三边长.
19．（本小题满分12分）
直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）中，为中点，为线段的中点.
（1）若为中点，求证：面；
（2）求二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）
已知数列的前项和满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，，设是数列的前项和，证明：.
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，=135°，底面，，分别为的中点，点在线段上．
（1）求证：面⊥面；
（2）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．
22．（本小题满分12分）
已知函数
（1）当时，证明：对任意的，都有
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
数学理参考答案
17.（1）
……5分
（2）
当且仅当时，的最小值 ……10分
（注：“当且仅当时”不写，扣2分）
18.（1）由正弦定理得，，
即，； ……6分
（2）由余弦定理得，,
解得 ……12分
19.（1）取AA1中点N，连结C1N，ND，取C1N中点E，连结EF，AE，∵AN//BD,AN=BD,∴四边形ANDB为平行四边形，∴AB//ND，AB=ND，∵NE=EC1，C1F=FD，∴，又∵∴四边形MAEF为平行四边形，∴MF//AE，∵面，AE面，面 ； ……5分
（2）在平面A1B1C1上过A1作垂直于A1B1的直线为轴，分别以A1B1，A1A为轴，建系A1-，
，，设平面FA1C1的法向量
，，
取， ……9分
平面A1B1C1的一个法向量，
设二面角的大小为， ……12分
20.（1），当（当时也符合），
所以 ……5分
（2），
……12分
21.(1)∵面ABCD，EF面ABCD，∴EFAP
在中，AB=AC，，∴ABAC，
又，∴四边形ABEF为平行四边形，∴AB//EF，因此，ACEF
APAC=C，AP面PAC，AC面PAC，∴EF面PAC
又EF面EMF，∴面⊥面. ……5分
（2）分别以AE，AD，AP为轴，建系A-
设，
，，设平面PBC的法向量，
，，，
平面ABCD的一个法向量，，，
，
直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，即
，即
， ……12分
22．（1）当时，设，
，设，，
所以在上是增函数，，所以在上是增函数，即，
对任意的，都有 ……5分
（2）若对任意的恒成立，……6分
，（其中增函数），
①当时，，，
在上，是增函数，符合题意，……8分
②当时，存在唯一，此时
在上，；，
设，，在上是增函数，
，所以，
在上，是增函数，解得
综合①②， ……12分
