黑龙江省哈尔滨市呼兰区某中学2020届高三第三次模拟考试数学（理）试卷
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第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则( )
A. B. C. D.
2．设,则（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．已知向量且，则（ ）
A． B． C． D．
4．设则（ ）
A． B．
C． D．
5．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6．在等比数列中，若，则 ( )
A． B． C． D．
7．若函数的零点在区间上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数，下列结论正确的是（ ）
A．向右平移个单位，可得到函数的图像
B．的图像关于中心对称
C．的图像关于直线对称
D．在为增函数
9．在的展开式中, 项的系数为( )
A．10 B．25 C．35 D．66
10．已知三棱锥的外接球的球心为，平面， ， ，
，则球心O到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．在中，的对边分别为，，，且满足，
，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义域为R的奇函数，满足，则下列叙述正确的为（ ）
①存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根
②当时，恒有
③若当时，的最小值为1，则
④若关于的方程和的所有实数根之和为零，则
A．①②③ B．①③ C．②④ D．①②③④
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题，23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．过点的直线与抛物线交于两点，且，
则此直线的方程为_________.
14．函数的单调减区间为______________.
15．在我校本年度足球比赛中，经过激烈角逐后，最终四个班级的球队闯入半决赛.
在半决赛中，对阵形式为：对阵，对阵，获胜球队进入决赛争夺冠亚军，
失利球队争夺三四名.若每场比赛是相互独立的，四支球队间相互获胜的概率如下表所示：
| ||||
获胜概率 | — | 0.3 | 0.4 | 0.8 |
获胜概率 | 0.7 | — | 0.7 | 0.5 |
获胜概率 | 0.6 | 0.3 | — | 0.3 |
获胜概率 | 0.2 | 0.5 | 0.7 | — |
则队最终获得冠军的概率为_____.
16．正方体的棱长为2，点在棱上运动，过三点作正方体的截面，若为棱的中点，则截面面积为_________，若截面把正方体分成体积之比为的两部分，则=_______.
三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知等差数列前三项的和为，前三项的积为，
（Ⅰ）求等差数列的通项公式；
（Ⅱ）若公差，求数列的前项和.
18．（本小题满分分）
如图，在多面体中，正方形所在平面垂直于平面，是等腰直角三角形,，∥，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（本小题满分分）
已知点，过点作抛物线的两切线，切点为．
（Ⅰ）求两切点所在的直线方程；
（Ⅱ）椭圆，离心率为，（Ⅰ）中直线AB与椭圆交于点P，Q， 直线的斜率分别为，，，若，
求椭圆的方程．
20．（本小题满分分）
“海水稻”就是耐盐碱水稻，是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区，具有耐盐碱的水稻，它比其它普通的水稻均有更强的生存竞争能力，具有抗涝，抗病虫害，抗倒伏等特点，还具有预防和治疗多种疾病的功效，防癌效果尤为显著。海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度(‰)对亩产量(吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现,可用线性回归模型拟合亩产量与海水浓度之间的相关关系,用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为．
海水浓度(‰) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
亩产量(吨) | 0.62 | 0.58 | 0.49 | 0.4 | 0.31 |
残差 |
|
|
|
|
|
（Ⅰ）请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种的亩产量.
（Ⅱ）
(i )完成上述残差表:
(ii)统计学中，常用相关指数来刻画回归效果,越大,模型拟合效果越好,并用它来说明预报变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，利用统计学的相关知识，说明浇灌海水浓度对亩产量的贡献率?（计算中数据精确到）
(附:残差公式，相关指数)
21．（本小题满分分）
已知函数（）
（Ⅰ）若为的极大值点，求的取值范围；.
（Ⅱ）当时，判断与轴交点个数，并给出证明.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时请写清题号。
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），
以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，，交曲线于点,交曲线于点.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）求的值.
23.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若不等式对任意成立，求实数的取值范围．
答案
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
B | D | C | A | C | D | C | C | D | B | D | B |
13、 14、15、0.22 16、
17.解：
（1）由，得所以 ( 1分 )
又得，即 ( 2分 )
所以， ( 4分 )
即或 ( 6分 )
（2）当公差时，
1）当时，， ( 7分 )
设数列的前项和为，则( 8分 )
2）当时， ( 10分)
所以数列的前项和 ( 12分)
18.解：
（1）可取中点，连结,证明四边形为平行四边形，
且平面即可（6分）
（2）易知两两垂直，故以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系。
可求得，（7分）
平面的一个法向量为（9分）
设直线与平面所成角为，则（11分）
所以直线与平面所成角的正弦值为。（12分）
19、（1）（2）
设切点则有
由切线的斜率为设切点
所以抛物线点的切线的斜率为，切线方程为
抛物线点的切线的斜率为，切线方程为(2分)
两切线交点（4分）
（6分）
直线方程为
由得又，
所以．
所以椭圆方程为，
由得，
所以，（8分）
又因为，
即，（10分）
（12分）
20.(1)经计算,,
由可得,,.....1分
当时,, 2分
所以当海水浓度为8‰时,该品种的亩产量为0.24吨． 3分
(2)(ii)由(1)知,从而有
海水浓度(‰) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
亩产量(吨) | 0.62 | 0.58 | 0.49 | 0.4 | 0.31 |
残差 | -0.02 | 0.02 | 0.01 | 0 | -0.01 |
8分
(ii) , 10分
所以亩产量的变化有是由海水浓度引起的．（或者说海水浓度解释了的亩产量变化）12分
21、（1）（1分）
设
当无极值
成立
为极小值点
综上（6分）
（2）由（1）知
①在单调递增，，有唯一零点
②满足，
在增，减增
当时恒成立，当
有唯一零点
③
在增，减增
在无零点，在有唯一零点
综上：，有唯一零点（12分）
22．解：（1）曲线E的普通方程为
令，得，
即曲线E极坐标方程为 ......4分
（2）依题意得，根据勾股定理，，
将，代入中，
得， ......6分
设点所对应的极径分别为，，，， ... ...7分
则，，， ... ...8分
∴
... ...10分
23．（1），
∴的值域为，
∵关于的不等式有解，
∴， 5分
（2）与
由图象知，要使对任意成立，
只需要，且
解得，9分
故得取值范围为．10分
