黑龙江省大庆实验中学2020届高三5月第一次模拟考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com大庆实验中学2020届高三五月第一次模拟考试理科数学试卷

一、单选题（本题共12小题，每题5分，共60分）

1.已知集合，集合，则集合真子集个数是(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】

可以求出集合A，B，然后进行交集运算即可得出，从而得出的真子集的个数.

【详解】∵集合，

集合，

∴，

∴集合真子集个数是.

故选：B.

【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，对数的运算，指数函数的单调性，集合真子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.

2.为虚数单位,则的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则计算即可.

【详解】，故虚部为.

故选：C.

【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数的虚部为，不是，本题为基础题，也是易错题.

3.在的展开式中，中间一项的二项式系数为（    ）.

A. 20 B.  C. 15 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用二项式定理计算得到答案.

【详解】在的展开式中，共有项，中间一项是第项，对应的二项式系数为

故选：

【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.

4. 已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x＋2y－3＝0，则该双曲线的离心率为 （ ）

A. 5或 B. 或 C. 或 D. 5或

【答案】B

【解析】

由条件知一条渐近线斜率为所以其中为实半轴，为虚半轴；则离心率满足故选B

5.１７世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

在，由正弦定理可知：，即可求得值，根据诱导公式化简，即可求得答案.

【详解】在，由正弦定理可知：

，

，

又

.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了根据正弦定理和诱导公式求三角函数值，解题关键是掌握正弦定理公式和熟练使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

6.已知是两条不同的直线是两个不同的平面,则的充分条件是（    ）

A. 与平面所成角相等 B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断即可.

【详解】对于A，若与平面所成角相等，则可能相交或者异面，故A错；

对于B，若，则可能相交或者异面，故B错；

对于C，若，由线面平行的性质定理可得，故C正确；

对于D，若，则可能异面，故D错；

故选：C

【点睛】本题主要考查了空间中线面的位置关系，需掌握判断线面位置关系的定理和定义，考查了空间想象能力，属于基础题

7.已知点和在直线的两侧，则实数a的取值范围是(    )

A.  B.

C. 或 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解.

【详解】∵点和在直线的两侧，

∴，

即，

解得.

故选：A.

【点睛】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用两点在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键.

8.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中，编号落入区间的人数为(    )

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

【答案】C

【解析】

【分析】

根据系统抽样的特征可知，抽出的号码成等差数列，由题意即可写出通项公式，解不等式即可求出.

【详解】∵，∴每组30人，

∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，

又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，

∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，

∴等差数列的通项公式为，

由，n为正整数可得，

∴编号落入区间的人数.

故选：C.

【点睛】本题主要考查系统抽样的特征应用，以及等差数列的通项公式的应用，属于基础题.

9.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ 　 ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

记事件甲获得冠军，事件比赛进行三局，计算出事件的概率和事件的概率，然后由条件概率公式可得所求事件的概率为.

【详解】记事件甲获得冠军，事件比赛进行三局，

事件甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，

由独立事件的概率乘法公式得，

对于事件，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件，

，，故选A.

【点睛】本题考查利用条件概率公式计算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.

10.已知，，，则a，b，c的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

令，利用导数研究函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系.

【详解】解：令，，

可得函数在上单调递减，
，
同理可得：，
∴.
故选：C.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

11.已知椭圆，过原点的直线交椭圆于两点，以为直径的圆过右焦点，若，则此椭圆离心率的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意画出图形，可得四边形为矩形，则，结合，，，列式可得关于的三角函数，利用辅助角公式化简后求解椭圆离心率的取值范围.

【详解】设椭圆的另一焦点为，连接，，，

设椭圆的焦距为，由题意则四边形为矩形，∴，

，.

结合椭圆定义，可知，即，则，

由，则，，

得.

故选：B.

【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，训练了三角函数最值的求法，属于中档题.

12.已知函数（其中无理数），关于的方程有四个不等的实根，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用导数研究的单调性和极值，由此画出的图像.令，将方程有四个不等的实根转化为在上各有一实根来求解，结合二次函数的根的分布列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】依题意可知函数的定义域为.且.所以在上递增，在上递减，且，由此画出的图像如下图所示.

令，则的单调性与相同，且.

关于的方程有四个不等的实根，所以，即在上各有一实根.令，所以，即，所以.所以实数的取值范围是.

故选：C

【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查根据方程零点的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.

二、填空题（本题共4道小题，每题5分，共20分）

13.曲线（且）恒过定点P，则P点坐标为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

令解析式中的指数，求出的值，再代入解析式求出的值，即得到定点的坐标.

【详解】解：由于函数恒经过定点（0，1），

令，可得，代入得，
故函数（且）恒过定点的坐标为.
故答案为：.

【点睛】本题主要考查指数函数的图象过定点（0，1）的应用，即令解析式中的指数为0，求出对应的和的值，属于基础题．

14.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

先换元令，平方可得方程，解方程即可得到结果.

【详解】令，则两边平方得，得

即，解得：或（舍去）

本题正确结果：

【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.

15.在四面体中，，且，，，则该四面体体积的最大值为________，该四面体外接球的表面积为________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

先由题中数据，得到；取中点为，连接，，从而得到，所以该四面体的外接球的球心为，进而可求出其外接球的表面积；再由，底面三角形的面积为定值，的长也为确定的值，结合几何体直观图，可得当平面时，四面体的体积最大，即可求出结果.

【详解】因为，且，，，所以，

因此，则；

取中点为，连接，，则，

所以该四面体的外接球的球心为，半径为，

所以该四面体外接球的表面积为；

又因为，所以；

因为底面三角形的面积为定值，的长也为确定的值，

因此，当平面时，四面体的体积最大，为.

故答案为：(1).     (2).

【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，以及三棱锥体积的有关计算，熟记三棱锥结构特征，以及球的表面积公式与三棱锥的体积公式即可，属于常考题型.

16.在中，，点为线段上一动点，若最小值为，则的面积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题，设，由余弦定理可求得AB的长，再设，利用向量基本定理表示出，求得其数量积整理是关于n的二次函数，再求其最小值等于，可求得m的值，可求得面积.

【详解】由题，设，在三角形ABC中，由余弦定理变形可得：

因为点为线段上一动点，再设，此时

即

因为

所以

令关于n的二次函数

所以其最小值为：

解得

所以

三角形ABC的面积：

故答案为

【点睛】本题考查了解三角形和平面向量综合，熟悉正余弦定理和平面向量的基本定理，数量积公式是解题的关键，还有函数的最值，属于难题.

三、解答题（本题共5道小题，每题12分，共60分）

17.已知数列满足，，，且（）.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）首先变形判断为以3为首相，3为公比的等比数列，得，通过累加法可求数列的通项公式；

（2）由（1）得：，通过错位相减法和分组求和法可得数列前n项和.

【详解】（1）已知，

则，且，

则为以3为首相，3为公比的等比数列，

所以，

经检验也满足上式，

故；

（2）由（1）得：，

令，①

则，②

①－②可得，

则，

即.

【点睛】本题考查数列的通项与求和，解题的关键是明确数列通项的特征，从而选择合适的方法.

18.如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，且垂直于底面， ，分别是的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）已知点在棱上且，求直线与平面所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由平面几何知识可得出四边形是平行四边形，可得面，再由面面平行的判定可证得面面平行；

（2）由（1）可知，两两垂直，故建立空间直角坐标系，可求得面PAB的法向量，再运用线面角的向量求法，可求得直线与平面所成角的余弦值.

【详解】（1），,又，，,

而、分别是、的中点，，  故面,

又且，故四边形是平行四边形,面,

又，是面内的两条相交直线,  故面面.

（2）由（1）可知，两两垂直，故建系如图所示,则

，

，，,

设是平面PAB的法向量,，

令，则,,

 直线NE与平面所成角的余弦值为.

【点睛】本题考查空间的面面平行的判定，以及线面角的空间向量的求解方法，属于中档题.

19.已知抛物线（）上的两个动点和，焦点为F.线段AB的中点为，且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若线段AB垂直平分线与x轴交于点C，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用抛物线的定义可得，求出的值，从而得到抛物线的方程；
（2）设直线AB的方程为：，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得，利用AB的中垂线方程可得点C的坐标，再利用点到直线距离公式求出点C到直线AB的距离d，所以，令，则，利用导数可得最值.

【详解】（1）由题意知，则，

∴，

∴抛物线的标准方程为；

（2）设直线（）

由，得，

∴，

∴，

即，

即，

∴，

设AB的中垂线方程为：，即，

可得点C的坐标为，

∵直线，即，

∴点C到直线AB的距离，

∴

令，则，

令，

∴，

令，则，在上；在上，

故在单调递增，单调递减，

∴当，即时，.

【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题.

20.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验669人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.

方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验669次.

方案二：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这时该组个人的血总共需要化验次.

假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.

（1）设方案二中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列.

（2）设，试比较方案二中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）

【答案】（1）分布列见解析；（2），462次；，404次；，397次；272次

【解析】

【分析】

（1）由题得，，分别求出对应的概率即得的分布列；

（2）先求出，再分别求出分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数，即得相比方案一，化验次数最多可以平均减少的次数.

【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.

所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为.

依题意可知，，

所以的分布列为：

（2）方案二中，结合(1)知每个人的平均化验次数为

，

所以当时，，

此时669人需要化验的总次数为462次；

当时，，

此时669人需要化验的总次数为404次；

当时，，

此时669人需要化验总次数为397次.

即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少，

而采用方案一则需化验669次.

故在这三种分组情况下，

相比方案一，当时化验次数最多可以平均减少（次）

【点睛】本题主要考查随机变量的分布列，考查独立重复试验的概率和对立事件的概率的计算，考查随机变量的均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

21.已知函数.

（1）若是的导函数，讨论的单调性；

（2）若（是自然对数的底数），求证：.

【答案】（1）①当时，在上是增函数；②当时，在上是增函数；在上是减函数．（2）证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）求出，得，然后求出导函数，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数g增区间，g求得的范围，可得函数g的减区间；（2）因为，令，再次求导可证明在区间上有唯一零点，在区间上，是减函数，在区间上，是增函数，故当时，取得最小值，只需证明即可.

【详解】（1）因为，所以，

，

①当时，，在上是增函数；

②当时，由得，

所以在上是增函数；在上是减函数；

（2）因为，令，则，

因为，所以，

即在是增函数，

下面证明在区间上有唯一零点，

因为，，

又因为，所以，，

由零点存在定理可知，在区间上有唯一零点，

在区间上，，是减函数，

在区间上，，是增函数，

故当时，取得最小值，

因为，所以，

所以 ，

因为，所以，

所以，.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.

请考生在第22~23题中任选一道作答，如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号.

22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为.

（1）写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；

（2）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值．

【答案】（1）曲线C的极坐标方程为；曲线D的直角坐标方程为；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由曲线C的参数方程，利用三角函数的基本关系式，求得曲线C的普通方程，结合极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线C的极坐标方程和曲线D的直角坐标方程；

（2）根据题意，求得直线l的参数方程为为参数），代入曲线C的方程，结合一元二次方程根与系数的关系得，即可求解.

【详解】（1）由题意，曲线C的参数方程为为参数），即为参数）

平方相加，可得曲线C的普通方程为，

将代入曲线C的普通方程

可得曲线C的极坐标方程为，

又由曲线D的极坐标方程为，

所以，

又由

所以，

所以曲线C的极坐标方程为，

曲线D的直角坐标方程为.

（2）由点，则，即点A（2，2）．

因为直线l过点A（2，2）且倾斜角为，

所以直线l的参数方程为为参数），代入，

可得，

设M，N对应的参数分别为，

由一元二次方程根与系数的关系得，

所以.

【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，结合直线参数中参数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

23.已知函数.

（1）解不等式；

（2）若不等式的解集为，且满足，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；
（Ⅱ）求出B，根据集合的包含关系求出a的范围即可．

【详解】（Ⅰ）可化为，

即或或

解得或，或；

不等式的解集为．

（Ⅱ）易知；

所以，又在恒成立；

在恒成立；

在恒成立；

．

【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．