黑龙江省哈尔滨市第六中学校2020届高三第二次模拟考试数学（理）试题
展开哈尔滨市第六中学2020届高三第二次模拟考试
理科数学试卷
考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，
满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,
字迹清楚；
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.已知，，且，则向量在方向上的投影为（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5.为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少安排一名干部，则分配方案的种数有（ ）
A. 540 B.240 C.150 D.120
6.下列结论中正确的个数为（ ）
（1）是直线和直线垂直的充要条件；
（2）在线性回归方程中，相关系数越大，变量间的相关性越强；
（3）已知随机变量，若，则
（4）若命题，，则，
A. 1 B.2 C.3 D.4
7.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有 2 个货物，第二层比第一层多 3 个，第三层比第二层多 4 个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
- 已知动点在椭圆上，若点坐标为，，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9.已知点在同一个球的上，，，.若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数，，，的最小值为，且，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小正周期为 B. 的对称中心为，
C.的单调增区间为， D.当时，的值域为
11.已知点关于坐标原点对称，，以为圆心的圆过两点，且与直线相切.若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
12.已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有150个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）
- 的二项展开式中第三项和第四项的二项式系数最大，则各项系数和为_________
- 已知曲线在处的切线方程为，则实数
- 在锐角三角形中，内角所对的边分别为，若，，则的取值范围为________________
- 蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的.从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成.如图，在正六棱柱的三个顶点处分别用平面，平面，平面截掉三个相等的三棱锥，，，平面，平面，平面交于点，就形成了蜂巢的结构，如下图所示:
瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂巢的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，英国数学家麦克劳林通过计算得到菱形的一个内角为，即.
以下三个结论：①；② ；
③四点共面，正确命题的个数为_____个
若，，，则此蜂巢的表面积为_____________
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、(本小题满分12分)
如图，五面体中，平面，为直角梯形，，，.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
18、(本小题满分12分)
已知数列中，，
（1）求证：是等差数列；
（2）若，且数列，数列的前项和为，求的取值范围.
19、(本小题满分12分)
直线是过点的动直线，当与圆相切时，同时也和抛物线相切.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于不同的两点，与圆交于不同的两点，的面积为，的面积为，当时，求直线的方程．
20、(本小题满分12分)
新型冠状病毒最近在全国蔓延，具有很强的人与人之间的传染性，该病毒在进入人体后一般有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间。假设每位病毒携带者在潜伏期内每天有位密切接触者，接触病毒携带者后被感染的概率为，每位密切接触者不用再接触其他病毒携带者。
（1）求一位病毒携带者一天内感染的人数的均值；
（2）若，时，从被感染的第一天算起，试计算某一位病毒携带者在14天潜伏期内，被他平均累计感染的人数（用数字作答）；
（3）3月16日20时18分，由我国军事科学院军事科学研究院陈薇院士领衔的科学团队，研制重组新型冠状病毒疫苗获批进入临床状态，新疫苗的使用，可以极大减少感染新型冠状病毒的人数，为保证安全性和有效性，某科研团队抽取500支新冠疫苗，观测其中某项质量指标值，得到如下频率分布直方图：
① 求这500支该项质量指标值得样本平均值（同一组的数据用该组区代表间的中点值）
② 由直方图可以认为，新冠疫苗的该项质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算可得这500支新冠疫苗该项指标值的样本方差.现有5名志愿者参与临床试验，观测得出该项指标值分别为：206，178，195，160，229试问新冠疫苗的该项指标值是否正常，为什么？
参考数据：，若，则
，
21、(本小题满分12分)
已知函数
（1）当时，若在上恒成立，求的范围；
（2）当时，若不是的极值点，求实数的值.
请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.
22、(本小题满分10分)
在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数)，直线的参数方程(为参数)，若直线的交点为，当变化时，点的轨迹是曲线
（1）求曲线的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线的极坐标方程为,，点为射线与曲线的交点，求点的极径.
23、(本小题满分10分)
已知函数.
（1）解不等式；
（2）已知，求证：.
2020届哈六中高三第二次模拟考试理科数学答案
一、选择题
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
A | C | B | D | C | A | B | B | B | D | D | B |
二、填空题
13. 14. 15. 16. 2
三、解答题
17.：（1）证明：取的中点，连接，
因为分别是的中点，所以且，
因为，所以且，所以,
又平面平面，所以平面. ——————————4分
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，
则，
,
设平面的一个法向量为，则，
令，得， ——————————8分
同理可求平面的一个法向量为，————11分
平面和平面为同一个平面，
所以二面角的余弦值为. ——————12分
- （1） ，
是以为首项，2为公差的等差数列. ————————4分
（2），，———6分
——————-8分
是递增数列 ——————10分
的最小值为 ———————12分
- （1）设直线 ——————1分
——————3分
抛物线的方程为 —————4分
（3） 设，
——————6分
圆心到直线的距离
————————8分
———11分
（） ————12分
- （1）依题意可知，，所以一天内被感染人数的均值为 ————2分
（2）不妨记前天平均累计感染的人数为，则，，，
——————5分
当，时，一位病毒携带者在14天潜伏期内，被他平均累计感染的人数为
————————7分
（3）① 由频率分布直方图得，这500支该项指标值的样本平均值为
——9分
② 新冠肺炎该项指标值不正常，理由如下：
由题意知，，即该项指标落在之外的概率为，是小概率事件.而,根据原则，新冠肺炎的该项指标值不正常 ——————12分
- （1）时，
在上为增函数——2分
又 恒成立， 在递增
——————4分
（2）
令
令 则
在上递增，且 ——————6分
① 当时，
当时，，，减； 当时，，，增
在上增，不是极值点 成立 —————— 8分
② 当时，，在上单调增 时，
，使得，当时， 即 在上增，又
当时，， 当时， 是极小值点，不成立 ——11分
综上， ————12分
22.（1）直线的普通方程为,直线的普通方程为 —————2分
联立直线,方程消去参数k,得曲线C的普通方程为
整理得. ————————5分
（2）设Q点的直角坐标系坐标为,
由可得 ———————— 7分
代入曲线C的方程可得，解得（舍）， ————————9分
所以点的极径为. —————————10分
23.（1）不等式，即
当时， 不等式化为 ，解得
当时， 不等式化为 ，无解
当时， 不等式化为 ，解得
综上，不等式解集为 ———————5分
（2） 当且仅当成立 ——————7分
所以 ———————10分
