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初中数学北师大版八年级下册第四章 因式分解综合与测试同步达标检测题
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这是一份初中数学北师大版八年级下册第四章 因式分解综合与测试同步达标检测题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（x﹣2）的是（ ）
A．x2﹣4B．x3﹣4x2﹣12xC．x2﹣2xD．（x﹣3）2+2（x﹣3）+1
2．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）=am+an B．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
3．把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（ a﹣2）D．（a﹣2 ）2﹣4
4．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x+1=（x﹣1）2 B．ax﹣ay+a=a（x﹣y）+a
C．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）+1 D．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3x
5．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣4的值为（ ）
A．4B．0C．﹣3D．﹣4
6．多项式x2﹣4分解因式的结果是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）B．（x﹣2）2C．（x+4）（x﹣4）D．x（x﹣4）
7．把多项式m2﹣9m分解因式，结果正确的是（ ）
A．m（m﹣9）B．（m+3）（m﹣3）C．m（m+3）（m﹣3）D．（m﹣3）2
8．多项式m2﹣m与多项式2m2﹣4m+2的公因式是（ ）
A．m﹣1B．m+1C．m2﹣1D．（m﹣1）2
9．把多项式分解因式，正确的结果是（ ）
A．4a2+4a+1=（2a+1）2 B．a2﹣4b2=（a﹣4b）（a+b）
C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2 D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
10．下列因式分解正确的是（ ）
A．m2+n2=（m+n）（m﹣n）B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2
C．a2﹣a=a（a﹣1）D．a2+2a+1=a（a+2）+1
11．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣2的值为（ ）
A．2B．0C．﹣2D．﹣1
12．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．y2﹣1=（y+1）（y﹣1） D．ax+by+c=x（a+b）+c
二、填空题
13．分解因式：m2+2m= ．
14．分解因式：a2+a= ．
15．因式分解：m2﹣m= ．
16．因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）= ．
17．分解因式：ab﹣b2= ．
三、解答题
18．因式分解：﹣3a3b+6a2b2﹣3ab3．
19．发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 (1)（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
(2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
20．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
(2)如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
(3)在(2)所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
21． (1)计算：（﹣+）÷（﹣）
(2)分解因式：x3﹣4x．
22．将下列各式因式分解：
(1)x2﹣9
(2)﹣3ma2+12ma﹣9m
(3)4x2﹣3y（4x﹣3y）
(4)（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．
23．数学课上老师出了一道题：计算2962的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解题过程如下：
2962=（300﹣4）2=3002﹣2×300×（﹣4）+42=90000+2400+16=92416
老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正确的答案．
答案与解析
1．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（x﹣2）的是（ ）
A．x2﹣4B．x3﹣4x2﹣12xC．x2﹣2xD．（x﹣3）2+2（x﹣3）+1
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】选择题
【分析】对各多项式进行因式分解即可求出答案．
【解答】解：（A）原式=（x+2）（x﹣2），结果中含有因式（x﹣2）；
（B）原式=x（x2﹣4x﹣12）=x（x+2）（x﹣6），结果中不含有因式（x﹣2）；
（C）原式=x（x﹣2），结果中含有因式（x﹣2）；
（D）原式=[（x﹣3）+1]2=（x﹣2）2，结果中含有因式（x﹣2）；
故选B
【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解的方法，本题属于基础题型．
2．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）=am+anB．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】选择题
【分析】根据因式分解的意义即可判断．
【解答】解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；
（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；
故选C
【点评】本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
3．把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（ a﹣2）D．（a﹣2 ）2﹣4
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】选择题
【分析】多项式提取公因式即可得到结果．
【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4）．
故选A
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，找出多项式的公因式是解本题的关键．
4．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x+1=（x﹣1）2B．ax﹣ay+a=a（x﹣y）+a
C．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）+1D．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3x
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】选择题
【分析】根据因式分解的意义，可得答案．
【解答】解：A、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得意义是解题关键．
5．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣4的值为（ ）
A．4B．0C．﹣3D．﹣4
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】选择题
【分析】首先利用相反数的定义得出a+b=0，再利用提取公因式法将原式变形求出答案．
【解答】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∴a2+ab﹣4=a（a+b）﹣4
=0﹣4
=﹣4，
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式的应用以及相反数的定义，正确将原式变形是解题关键．
6．多项式x2﹣4分解因式的结果是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）B．（x﹣2）2C．（x+4）（x﹣4）D．x（x﹣4）
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】选择题
【分析】直接利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
7．把多项式m2﹣9m分解因式，结果正确的是（ ）
A．m（m﹣9）B．（m+3）（m﹣3）C．m（m+3）（m﹣3）D．（m﹣3）2
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】选择题
【分析】直接找出公因式m，提取分解因式即可．
【解答】解：m2﹣9m=m（m﹣9）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
8．多项式m2﹣m与多项式2m2﹣4m+2的公因式是（ ）
A．m﹣1B．m+1C．m2﹣1D．（m﹣1）2
【考点】52：公因式．
【专题】选择题
【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
【解答】解：m2﹣m=m（m﹣1），2m2﹣4m+2=2（m﹣1）（m﹣1），
m2﹣m与多项式2m2﹣4m+2的公因式是（m﹣1），
故选：A．
【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
(2)字母取各项都含有的相同字母；(3)相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．
9．把多项式分解因式，正确的结果是（ ）
A．4a2+4a+1=（2a+1）2B．a2﹣4b2=（a﹣4b）（a+b）
C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】选择题
【分析】直接利用乘法公式分解因式，进而判断得出答案．
【解答】解：A、4a2+4a+1=（2a+1）2，正确；
B、a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b），故此选项错误；
C、a2﹣2a﹣1无法运用公式分解因式，故此选项错误；
D、（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，是多项式乘法，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
10．下列因式分解正确的是（ ）
A．m2+n2=（m+n）（m﹣n） B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2
C．a2﹣a=a（a﹣1） D．a2+2a+1=a（a+2）+1
【考点】54：因式分解﹣运用公式法；53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】选择题
【分析】分别利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：A、m2+n2无法分解因式，故此选项错误；
B、x2+2x﹣1无法分解因式，故此选项错误；
C、a2﹣a=a（a﹣1），正确；
D、a2+2a+1=（a+1）2，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
11．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣2的值为（ ）
A．2B．0C．﹣2D．﹣1
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】选择题
【分析】由互为相反数两数之和为0得到a+b=0，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：由题意得到a+b=0，
则原式=a（a+b）﹣2=0﹣2=﹣2，
故选C
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
12．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．y2﹣1=（y+1）（y﹣1） D．ax+by+c=x（a+b）+c
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】选择题
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积，故B错误；
C、把一个多项式转化成几个整式积，故C正确；
D、没把一个多项式转化成几个整式积，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积是解题关键．
13．分解因式：m2+2m= ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】根据提取公因式法即可求出答案．
【解答】解：原式=m（m+2）
故答案为：m（m+2）
【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法，本题属于基础题型．
14．分解因式：a2+a= ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】直接提取公因式分解因式得出即可．
【解答】解：a2+a=a（a+1）．
故答案为：a（a+1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．
15．因式分解：m2﹣m= ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】式子的两项含有公因式m，提取公因式即可分解．
【解答】解：m2﹣m=m（m﹣1）
故答案是：m（m﹣1）．
【点评】本题主要考查了提取公因式分解因式，正确确定公因式是解题的关键．
16．因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）= ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】通过两次提取公因式来进行因式分解．
【解答】解：原式=x（x﹣2）+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）．
故答案是：（x+1）（x﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
17．分解因式：ab﹣b2= ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】根据提公因式法，可得答案．
【解答】解：原式=b（a﹣b），
故答案为：b（a﹣b）．
【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式法是解题关键．
18．因式分解：﹣3a3b+6a2b2﹣3ab3．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】解答题
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=﹣3ab（a2﹣2ab+b2）=﹣3ab（a﹣b）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 (1)（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
(2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】验证(1)计算（﹣1）2+02+12+22+32的结果，再将结果除以5即可；
(2)用含n的代数式分别表示出其余的4个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平方和，再证明是5的倍数；
延伸：设三个连续整数的中间一个为n，用含n的代数式分别表示出其余的2个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数．
【解答】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证(1)（﹣1）2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，
即（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的3倍；
(2)设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n﹣2，n﹣1，n+1，n+2，
它们的平方和为：（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2
=n2﹣4n+4+n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10，
∵5n2+10=5（n2+2），
又n是整数，
∴n2+2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数；
延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n﹣1，n+1，
它们的平方和为：（n﹣1）2+n2+（n+1）2
=n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2，
∵n是整数，
∴n2是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．
【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，整式的加减运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则并且能够正确运算．
20．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
(2)如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
(3)在(2)所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
(2)设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
(3)利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
【解答】解：(1)证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；
(2)设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
(3)F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，
∵＞＞＞＞，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题中“吉祥数”的定义是解本题的关键．
21． (1)计算：（﹣+）÷（﹣）
(2)分解因式：x3﹣4x．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；1G：有理数的混合运算．
【专题】解答题
【分析】(1)原式利用除法法则变形，再利用乘法分配律计算即可得到结果；
(2)原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：(1)原式=（﹣+）×（﹣72）
=﹣56+27﹣10
=﹣39；
(2)原式=x（x2﹣4）
=x（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及有理数的混合运算，熟练掌握因式分解的方法及运算法则是解本题的关键．
22．将下列各式因式分解：
(1)x2﹣9
(2)﹣3ma2+12ma﹣9m
(3)4x2﹣3y（4x﹣3y）
(4)（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】解答题
【分析】(1)直接利用平方差公式分解因式得出答案；
(2)首先提取公因式﹣3m，进而利用十字相乘法分解因式得出答案；
(3)首先去括号，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；
(4)首先去括号，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：(1)x2﹣9=（x+3）（x﹣3）；
(2)﹣3ma2+12ma﹣9m
=﹣3m（a2﹣4a+3）
=﹣3m（a﹣1）（a﹣3）；
(3)4x2﹣3y（4x﹣3y）
=4x2﹣12xy+9y2，
=（2x﹣3y）2；
(4)（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3
=（a+2b）2+2（a+2b）+1，
=（a+2b+1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
23．数学课上老师出了一道题：计算2962的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解题过程如下：
2962=（300﹣4）2=3002﹣2×300×（﹣4）+42=90000+2400+16=92416
老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正确的答案．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】运用完全平方公式进行正确的计算后即可得到正确的结果．
【解答】解：答案：错在“﹣2×300×（﹣4）”，
应为“﹣2×300×4”，公式用错．
∴2962=（300﹣4）2
=3002﹣2×300×4+42
=90000﹣2400+16
=87616．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是了解完全平方公式的形式并正确的应用．
一、选择题
1．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（x﹣2）的是（ ）
A．x2﹣4B．x3﹣4x2﹣12xC．x2﹣2xD．（x﹣3）2+2（x﹣3）+1
2．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）=am+an B．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
3．把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（ a﹣2）D．（a﹣2 ）2﹣4
4．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x+1=（x﹣1）2 B．ax﹣ay+a=a（x﹣y）+a
C．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）+1 D．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3x
5．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣4的值为（ ）
A．4B．0C．﹣3D．﹣4
6．多项式x2﹣4分解因式的结果是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）B．（x﹣2）2C．（x+4）（x﹣4）D．x（x﹣4）
7．把多项式m2﹣9m分解因式，结果正确的是（ ）
A．m（m﹣9）B．（m+3）（m﹣3）C．m（m+3）（m﹣3）D．（m﹣3）2
8．多项式m2﹣m与多项式2m2﹣4m+2的公因式是（ ）
A．m﹣1B．m+1C．m2﹣1D．（m﹣1）2
9．把多项式分解因式，正确的结果是（ ）
A．4a2+4a+1=（2a+1）2 B．a2﹣4b2=（a﹣4b）（a+b）
C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2 D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
10．下列因式分解正确的是（ ）
A．m2+n2=（m+n）（m﹣n）B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2
C．a2﹣a=a（a﹣1）D．a2+2a+1=a（a+2）+1
11．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣2的值为（ ）
A．2B．0C．﹣2D．﹣1
12．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．y2﹣1=（y+1）（y﹣1） D．ax+by+c=x（a+b）+c
二、填空题
13．分解因式：m2+2m= ．
14．分解因式：a2+a= ．
15．因式分解：m2﹣m= ．
16．因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）= ．
17．分解因式：ab﹣b2= ．
三、解答题
18．因式分解：﹣3a3b+6a2b2﹣3ab3．
19．发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 (1)（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
(2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
20．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
(2)如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
(3)在(2)所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
21． (1)计算：（﹣+）÷（﹣）
(2)分解因式：x3﹣4x．
22．将下列各式因式分解：
(1)x2﹣9
(2)﹣3ma2+12ma﹣9m
(3)4x2﹣3y（4x﹣3y）
(4)（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．
23．数学课上老师出了一道题：计算2962的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解题过程如下：
2962=（300﹣4）2=3002﹣2×300×（﹣4）+42=90000+2400+16=92416
老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正确的答案．
答案与解析
1．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（x﹣2）的是（ ）
A．x2﹣4B．x3﹣4x2﹣12xC．x2﹣2xD．（x﹣3）2+2（x﹣3）+1
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】选择题
【分析】对各多项式进行因式分解即可求出答案．
【解答】解：（A）原式=（x+2）（x﹣2），结果中含有因式（x﹣2）；
（B）原式=x（x2﹣4x﹣12）=x（x+2）（x﹣6），结果中不含有因式（x﹣2）；
（C）原式=x（x﹣2），结果中含有因式（x﹣2）；
（D）原式=[（x﹣3）+1]2=（x﹣2）2，结果中含有因式（x﹣2）；
故选B
【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解的方法，本题属于基础题型．
2．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）=am+anB．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】选择题
【分析】根据因式分解的意义即可判断．
【解答】解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；
（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；
故选C
【点评】本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
3．把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（ a﹣2）D．（a﹣2 ）2﹣4
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】选择题
【分析】多项式提取公因式即可得到结果．
【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4）．
故选A
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，找出多项式的公因式是解本题的关键．
4．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x+1=（x﹣1）2B．ax﹣ay+a=a（x﹣y）+a
C．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）+1D．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3x
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】选择题
【分析】根据因式分解的意义，可得答案．
【解答】解：A、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得意义是解题关键．
5．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣4的值为（ ）
A．4B．0C．﹣3D．﹣4
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】选择题
【分析】首先利用相反数的定义得出a+b=0，再利用提取公因式法将原式变形求出答案．
【解答】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∴a2+ab﹣4=a（a+b）﹣4
=0﹣4
=﹣4，
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式的应用以及相反数的定义，正确将原式变形是解题关键．
6．多项式x2﹣4分解因式的结果是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）B．（x﹣2）2C．（x+4）（x﹣4）D．x（x﹣4）
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】选择题
【分析】直接利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
7．把多项式m2﹣9m分解因式，结果正确的是（ ）
A．m（m﹣9）B．（m+3）（m﹣3）C．m（m+3）（m﹣3）D．（m﹣3）2
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】选择题
【分析】直接找出公因式m，提取分解因式即可．
【解答】解：m2﹣9m=m（m﹣9）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
8．多项式m2﹣m与多项式2m2﹣4m+2的公因式是（ ）
A．m﹣1B．m+1C．m2﹣1D．（m﹣1）2
【考点】52：公因式．
【专题】选择题
【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
【解答】解：m2﹣m=m（m﹣1），2m2﹣4m+2=2（m﹣1）（m﹣1），
m2﹣m与多项式2m2﹣4m+2的公因式是（m﹣1），
故选：A．
【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
(2)字母取各项都含有的相同字母；(3)相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．
9．把多项式分解因式，正确的结果是（ ）
A．4a2+4a+1=（2a+1）2B．a2﹣4b2=（a﹣4b）（a+b）
C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】选择题
【分析】直接利用乘法公式分解因式，进而判断得出答案．
【解答】解：A、4a2+4a+1=（2a+1）2，正确；
B、a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b），故此选项错误；
C、a2﹣2a﹣1无法运用公式分解因式，故此选项错误；
D、（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，是多项式乘法，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
10．下列因式分解正确的是（ ）
A．m2+n2=（m+n）（m﹣n） B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2
C．a2﹣a=a（a﹣1） D．a2+2a+1=a（a+2）+1
【考点】54：因式分解﹣运用公式法；53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】选择题
【分析】分别利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：A、m2+n2无法分解因式，故此选项错误；
B、x2+2x﹣1无法分解因式，故此选项错误；
C、a2﹣a=a（a﹣1），正确；
D、a2+2a+1=（a+1）2，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
11．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣2的值为（ ）
A．2B．0C．﹣2D．﹣1
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】选择题
【分析】由互为相反数两数之和为0得到a+b=0，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：由题意得到a+b=0，
则原式=a（a+b）﹣2=0﹣2=﹣2，
故选C
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
12．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．y2﹣1=（y+1）（y﹣1） D．ax+by+c=x（a+b）+c
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】选择题
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积，故B错误；
C、把一个多项式转化成几个整式积，故C正确；
D、没把一个多项式转化成几个整式积，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积是解题关键．
13．分解因式：m2+2m= ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】根据提取公因式法即可求出答案．
【解答】解：原式=m（m+2）
故答案为：m（m+2）
【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法，本题属于基础题型．
14．分解因式：a2+a= ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】直接提取公因式分解因式得出即可．
【解答】解：a2+a=a（a+1）．
故答案为：a（a+1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．
15．因式分解：m2﹣m= ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】式子的两项含有公因式m，提取公因式即可分解．
【解答】解：m2﹣m=m（m﹣1）
故答案是：m（m﹣1）．
【点评】本题主要考查了提取公因式分解因式，正确确定公因式是解题的关键．
16．因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）= ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】通过两次提取公因式来进行因式分解．
【解答】解：原式=x（x﹣2）+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）．
故答案是：（x+1）（x﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
17．分解因式：ab﹣b2= ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】根据提公因式法，可得答案．
【解答】解：原式=b（a﹣b），
故答案为：b（a﹣b）．
【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式法是解题关键．
18．因式分解：﹣3a3b+6a2b2﹣3ab3．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】解答题
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=﹣3ab（a2﹣2ab+b2）=﹣3ab（a﹣b）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 (1)（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
(2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】验证(1)计算（﹣1）2+02+12+22+32的结果，再将结果除以5即可；
(2)用含n的代数式分别表示出其余的4个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平方和，再证明是5的倍数；
延伸：设三个连续整数的中间一个为n，用含n的代数式分别表示出其余的2个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数．
【解答】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证(1)（﹣1）2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，
即（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的3倍；
(2)设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n﹣2，n﹣1，n+1，n+2，
它们的平方和为：（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2
=n2﹣4n+4+n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10，
∵5n2+10=5（n2+2），
又n是整数，
∴n2+2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数；
延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n﹣1，n+1，
它们的平方和为：（n﹣1）2+n2+（n+1）2
=n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2，
∵n是整数，
∴n2是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．
【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，整式的加减运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则并且能够正确运算．
20．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
(2)如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
(3)在(2)所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
(2)设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
(3)利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
【解答】解：(1)证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；
(2)设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
(3)F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，
∵＞＞＞＞，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题中“吉祥数”的定义是解本题的关键．
21． (1)计算：（﹣+）÷（﹣）
(2)分解因式：x3﹣4x．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；1G：有理数的混合运算．
【专题】解答题
【分析】(1)原式利用除法法则变形，再利用乘法分配律计算即可得到结果；
(2)原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：(1)原式=（﹣+）×（﹣72）
=﹣56+27﹣10
=﹣39；
(2)原式=x（x2﹣4）
=x（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及有理数的混合运算，熟练掌握因式分解的方法及运算法则是解本题的关键．
22．将下列各式因式分解：
(1)x2﹣9
(2)﹣3ma2+12ma﹣9m
(3)4x2﹣3y（4x﹣3y）
(4)（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】解答题
【分析】(1)直接利用平方差公式分解因式得出答案；
(2)首先提取公因式﹣3m，进而利用十字相乘法分解因式得出答案；
(3)首先去括号，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；
(4)首先去括号，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：(1)x2﹣9=（x+3）（x﹣3）；
(2)﹣3ma2+12ma﹣9m
=﹣3m（a2﹣4a+3）
=﹣3m（a﹣1）（a﹣3）；
(3)4x2﹣3y（4x﹣3y）
=4x2﹣12xy+9y2，
=（2x﹣3y）2；
(4)（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3
=（a+2b）2+2（a+2b）+1，
=（a+2b+1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
23．数学课上老师出了一道题：计算2962的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解题过程如下：
2962=（300﹣4）2=3002﹣2×300×（﹣4）+42=90000+2400+16=92416
老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正确的答案．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】运用完全平方公式进行正确的计算后即可得到正确的结果．
【解答】解：答案：错在“﹣2×300×（﹣4）”，
应为“﹣2×300×4”，公式用错．
∴2962=（300﹣4）2
=3002﹣2×300×4+42
=90000﹣2400+16
=87616．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是了解完全平方公式的形式并正确的应用．
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