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初中第四章 因式分解综合与测试学案
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这是一份初中第四章 因式分解综合与测试学案，共8页。学案主要包含了例题讲解等内容，欢迎下载使用。
因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
【例题讲解】
因式分解定义及意义
例题1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2B．x2+2x+1=x（x+1）+1
C．a2b+ab2=ab（a+b） D．（a﹣b）（n﹣m）=（b﹣a）（n﹣m）
2．多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是（ ）
A．a+3B．a﹣3C．a+1D．a﹣1
巩固练习
1．分解因式3x3﹣12x，结果正确的是（ ）
A．3x（x﹣2）2B．3x（x+2）2C．3x（x2﹣4）D．3x（x﹣2）（x+2）
2．y﹣2x+1是4xy﹣4x2﹣y2﹣k的一个因式，则k的值是（ ）
A．0B．﹣1C．1D．4
提公因式和公式法
例题2.1（宜宾模拟）因式分解：9a3b﹣ab= ．
2.2若|m﹣1|+=0，将mx2﹣ny2因式分解得 ．
2.3 把下列各式分解因式：
（1）x5﹣x； （2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）；
（3）（a﹣b）2+18（a﹣b）+81； （4）（x2+2x）2+2x2+4x+1．
巩固练习：
1．要使二次三项式x2﹣5x+p在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值可以有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个
2．分解因式：
（1）16x2﹣1 （2）8ab3c2﹣32a2b2c+ab2c
（3）2m2﹣8n2 （4）4（a﹣y）+25x2（y﹣a）
（5）4q（1﹣p）3+2（p﹣1）2 （6）x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3．
十字交叉法
例题3.1 利用十字相乘分解因式．
a2﹣4a+3 （2）x2﹣5x+6
（3）x2+3x﹣4 （4）x2﹣3x﹣4．
巩固练习：
1．如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（ ）
A．4B．5C．6D．8
2．在有理数范围内，分解因式：（x﹣3）（x﹣1）（x+2）（x+4）+24．
因式分解的应用
例题4.1（2017春•埇桥区月考）若n为正整数，将多项式（n+2）2﹣n2进行因式分解，并说明它能被4整除．
4.2 已知a，b，c是△ABC的三条边，如果：a4+b4=c4﹣2a2b2，判断△ABC的形状．
4.3．利用因式分解计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）
4.4．已知：a=2999，b=2995，求a2﹣2ab+b2﹣5a+5b﹣6的值．
巩固练习：
1．请用分解因式的方法说明：四个连续正整数的积与1的和，一定是一个完全平方数．
2．（1）已知x2+4x+y2﹣2y+5=0，求x，y．
（2）a，b满足a（a+1）﹣（a2+2b）=1，求a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b的值．
（3）已知a2+b2=5，a+b=3，求（a﹣b）2．
（4）已知x2﹣y2=20，求[（x﹣y）2+4xy][（x+y）2﹣4xy]的值．
3．已知在△ABC中，a2﹣16b2﹣c2+6ab+10bc=0（a、b、c是三角形三边的长）．求证：a+c=2b．
4．求证：当n为整数时，多项式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定能被8整除．
6．阅读下列文字：
我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，请利用所给的纸片拼出一个长方形，使它的面积为2a2+5ab+2b2，把拼出的图形画在方框内，并拼出的图形将多项式2a2+5ab+2b2分解因式．
课后作业：
1．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
2．若是关于字母a，b的二元一次方程ax+ay﹣b=7的一个解，代数式x2+2xy+y2﹣1的值是 ．
3．若x2+x﹣1=0，则x3+2x2+3= ．
4．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为 ．
5．观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是 ．
6．已知2x﹣y=，xy=2，求2x4y3﹣x3y4的值．
因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
【例题讲解】
因式分解定义及意义
例题1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2B．x2+2x+1=x（x+1）+1
C．a2b+ab2=ab（a+b） D．（a﹣b）（n﹣m）=（b﹣a）（n﹣m）
2．多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是（ ）
A．a+3B．a﹣3C．a+1D．a﹣1
巩固练习
1．分解因式3x3﹣12x，结果正确的是（ ）
A．3x（x﹣2）2B．3x（x+2）2C．3x（x2﹣4）D．3x（x﹣2）（x+2）
2．y﹣2x+1是4xy﹣4x2﹣y2﹣k的一个因式，则k的值是（ ）
A．0B．﹣1C．1D．4
提公因式和公式法
例题2.1（宜宾模拟）因式分解：9a3b﹣ab= ．
2.2若|m﹣1|+=0，将mx2﹣ny2因式分解得 ．
2.3 把下列各式分解因式：
（1）x5﹣x； （2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）；
（3）（a﹣b）2+18（a﹣b）+81； （4）（x2+2x）2+2x2+4x+1．
巩固练习：
1．要使二次三项式x2﹣5x+p在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值可以有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个
2．分解因式：
（1）16x2﹣1 （2）8ab3c2﹣32a2b2c+ab2c
（3）2m2﹣8n2 （4）4（a﹣y）+25x2（y﹣a）
（5）4q（1﹣p）3+2（p﹣1）2 （6）x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3．
十字交叉法
例题3.1 利用十字相乘分解因式．
a2﹣4a+3 （2）x2﹣5x+6
（3）x2+3x﹣4 （4）x2﹣3x﹣4．
巩固练习：
1．如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（ ）
A．4B．5C．6D．8
2．在有理数范围内，分解因式：（x﹣3）（x﹣1）（x+2）（x+4）+24．
因式分解的应用
例题4.1（2017春•埇桥区月考）若n为正整数，将多项式（n+2）2﹣n2进行因式分解，并说明它能被4整除．
4.2 已知a，b，c是△ABC的三条边，如果：a4+b4=c4﹣2a2b2，判断△ABC的形状．
4.3．利用因式分解计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）
4.4．已知：a=2999，b=2995，求a2﹣2ab+b2﹣5a+5b﹣6的值．
巩固练习：
1．请用分解因式的方法说明：四个连续正整数的积与1的和，一定是一个完全平方数．
2．（1）已知x2+4x+y2﹣2y+5=0，求x，y．
（2）a，b满足a（a+1）﹣（a2+2b）=1，求a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b的值．
（3）已知a2+b2=5，a+b=3，求（a﹣b）2．
（4）已知x2﹣y2=20，求[（x﹣y）2+4xy][（x+y）2﹣4xy]的值．
3．已知在△ABC中，a2﹣16b2﹣c2+6ab+10bc=0（a、b、c是三角形三边的长）．求证：a+c=2b．
4．求证：当n为整数时，多项式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定能被8整除．
6．阅读下列文字：
我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，请利用所给的纸片拼出一个长方形，使它的面积为2a2+5ab+2b2，把拼出的图形画在方框内，并拼出的图形将多项式2a2+5ab+2b2分解因式．
课后作业：
1．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
2．若是关于字母a，b的二元一次方程ax+ay﹣b=7的一个解，代数式x2+2xy+y2﹣1的值是 ．
3．若x2+x﹣1=0，则x3+2x2+3= ．
4．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为 ．
5．观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是 ．
6．已知2x﹣y=，xy=2，求2x4y3﹣x3y4的值．
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