《寻找密铺图形》教案（2课时）-2026-2027学年北师大版（新教材）小学数学五年级上册

这是一份小学数学北师大版（2024）五年级上册（2024）寻找密铺图形教案及反思，共6页。教案主要包含了学情分析，教材分析，核心素养教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
五年级学生已经掌握长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、正五边形、正六边形等平面图形的基本特征，能够计算多边形内角和，具备一定动手操作、小组合作探究的能力。学生在生活中见过地砖、墙面、拼图等密铺现象，有直观感知，但不清楚“密铺”的数学定义，不理解图形能够密铺的本质原因，容易将“无缝拼接”和“无重叠”两个条件割裂看待，也很难自主关联图形内角和与密铺之间的内在联系。同时，学生对不规则图形能否密铺缺乏猜想与验证意识，探究规律、归纳总结的数学推理能力仍需要在实践活动中进一步发展。
二、教材分析
《寻找密铺图形》是北师大版2026秋新教材五年级上册综合实践《小小设计师》中的核心课时内容，属于图形与几何领域综合实践课。教材以生活中的密铺实景图导入，从直观感知密铺现象入手，安排猜想、动手拼摆、数据记录、规律归纳等探究活动，先研究常见正多边形的密铺情况，再拓展到普通多边形，引导学生发现密铺的核心数学原理：拼接点处几个内角的和等于360°。教材不再直接灌输结论，而是突出“做中学”，依托拼摆实验积累直观经验，逐步抽象出数学规律，为后续学生自主开展“小小设计师”图案创作积累基础，承载发展空间观念、推理意识等核心素养的育人功能，衔接小学阶段平面图形认知与几何规律探究的学习主线。
三、核心素养教学目标（依据2022版义务教育数学课程标准）
空间观念：通过观察、拼摆各类平面图形，理解密铺的含义，能区分可以密铺和不能密铺的图形，感知图形拼接的空间特点，建立密铺的直观表象。
推理意识：经历猜想、操作、记录、对比、归纳的探究过程，自主发现正多边形能够密铺的本质——拼接点内角之和为360°，能运用规律判断简单图形能否密铺。
几何直观：借助拼摆实物、记录表格、内角计算等方式，把密铺的直观现象转化为数学数据，用可视化方式理解几何规律。
应用意识：能联系生活识别密铺实例，感受密铺在建筑、装饰中的应用价值，愿意运用密铺知识参与后续小小设计师图案创作活动。
四、教学重难点
教学重点：认识密铺的含义；通过动手拼摆，知道哪些常见平面图形可以密铺。
教学难点：理解密铺的本质原因——拼接点处所有内角之和等于360°，能运用该原理判断图形是否能够密铺。
五、教学过程
第1课时 认识密铺，探究常见平面图形的密铺现象
情境导入，初识密铺（依托教材实景图内容）
师：同学们，请大家翻开教材《寻找密铺图形》，看一看教材上出示的几幅图片：小区地面地砖、浴室墙面瓷砖、广场石材地面、蜂巢结构图。仔细观察这些画面，想一想这些图形在拼接的时候有什么共同特点？大家可以同桌之间互相说一说。
预设学生回答：图形紧紧挨在一起；图形之间没有空隙；图形没有互相叠在一起。
师：大家观察得很仔细！像教材图片里这样，用一种或几种平面图形，既没有空隙，又不重叠地铺满一个平面，这种现象在数学上就叫做密铺，也叫平面镶嵌。今天我们综合实践的任务就是——寻找密铺图形。
师：老师这里有两个反例，请大家对照教材文字里密铺的两个关键条件判断：第一种拼法，图形之间留有缝隙，是不是密铺？第二种拼法，图形互相重叠了，是不是密铺？
预设学生齐答：都不是密铺。
师：很好，我们把密铺的两个核心条件记下来：①无空隙 ②不重叠（板书）。只有同时满足这两点，才属于密铺。
设计意图：直接依托教材配图与文字定义，从生活实例抽象数学概念，建立密铺的基础认知，明确判断密铺的两个直观标准，为本节课后续拼摆探究划定判断依据。
大胆猜想，梳理探究图形清单（依托教材探究任务）
师：教材接下来提出了一个探究问题：我们学过的平面图形里，哪些图形可以单独密铺？请大家先大胆猜一猜。老师把大家熟悉的图形整理出来：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形、正五边形、正六边形。请大家先独立猜想，把自己认为能密铺的图形先标记出来。
学生独立猜想后，组织学生口头汇报猜想结果，教师同步在黑板表格中记录猜想情况。
师：大家的猜想各不相同，猜想只是我们的想法，数学结论需要动手验证。教材给我们准备的探究方式就是拼摆验证。接下来我们以4人为一个小组，拿出学具袋里对应的图形纸片，按照要求开展拼摆实验。
师明确小组任务：依次选用每一种图形，尝试平铺，看一看能不能做到无空隙、不重叠铺满平面，把真实拼摆结果填写到刚才的表格中。拼摆的时候重点观察：图形拼接交汇的那个点（我们叫做拼接点）是什么样子。
设计意图：遵循教材“先猜想再验证”的探究逻辑，用表格结构化记录探究信息，明确小组探究任务，培养学生严谨的实证意识。
小组动手拼摆，交流初步实验结果
学生分组动手拼摆各类图形，教师巡视各组，指导学生规范拼摆，提醒学生重点关注拼接处是否出现空隙或者重叠，及时记录结果。
小组完成拼摆后，组织全班汇报实验成果。
组1汇报：我们组拼了正方形，正方形可以密铺，拼在一起的时候，几个正方形的角凑在一点，严丝合缝，没有空隙，也没有重叠。长方形和正方形情况差不多，也可以密铺。
组2汇报：平行四边形也可以密铺，把平行四边形依次拼接，能够铺满平面。
组3汇报：任意三角形我们尝试拼摆，两个完全一样的三角形可以拼成平行四边形，所以三角形也能够密铺；梯形同理，两个完全一样的梯形可以拼成平行四边形，梯形也可以密铺。
组4汇报：正五边形拼的时候，拼到拼接点的位置，会出现缝隙，没办法做到无空隙，所以正五边形不能单独密铺。
组5汇报：正六边形可以密铺，蜂巢就是正六边形密铺，拼起来刚好严丝合缝。
师结合各组汇报，完善黑板表格，整理结论：长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、正六边形可以单独密铺；正五边形不能单独密铺。
师追问：为什么有的图形可以密铺，正五边形却不行呢？仅仅靠拼摆只能知道结果，我们要继续深挖背后的数学道理，这个问题我们留到下一节课重点研究。
设计意图：依托教材核心探究活动，通过实操获得直观事实，区分可密铺与不可密铺的基础图形，同时制造认知冲突，自然衔接第2课时对密铺本质原理的探究。
第1课时课堂小结
师：这一节课我们认识了密铺，知道密铺需要同时满足无空隙、不重叠两个条件；通过小组拼摆实验，验证了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、正六边形能够单独密铺，正五边形不能单独密铺。下节课我们就一起探究，决定图形能否密铺背后隐藏的数学规律。
第2课时 探究密铺的本质规律，拓展图形密铺认知
复习回顾，引出核心问题（衔接教材探究深入板块）
师：上课，上一节课我们认识了密铺，还通过拼摆实验找到了能够单独密铺的图形，谁来回顾一下，什么是密铺？哪些图形可以单独密铺？
预设学生回答：密铺就是图形无空隙、不重叠铺满平面；长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、正六边形可以单独密铺，正五边形不行。
师：大家记得很清楚。教材在实验之后提出了更深的思考问题：同样是正多边形，正四边形、正六边形能密铺，正五边形却不能，这里的秘密藏在图形的内角里。我们先回忆旧知识：多边形内角怎么计算？正多边形每个内角度数怎么求？
师生共同回顾：多边形内角和公式=（边数-2）×180°；正多边形每个内角度数=内角和÷边数。
师板书计算公式，接下来我们一起计算本节课研究的几种正多边形单个内角的度数，填写教材配套的数据记录表。
设计意图：复习旧知，从直观拼摆过渡到定量计算，落实教材由现象到本质的探究主线，搭建内角和与密铺规律之间的认知桥梁。
计算内角，探究拼接点的数字规律
师：我们先来依次计算正四边形（正方形）、正五边形、正六边形每个内角的度数，请大家跟着老师一起计算。
师提问1：正方形是正四边形，内角和是多少？每个内角多少度？
生：（4-2）×180°=360°，360÷4=90°，正方形每个内角90°。
师：如果在拼接点处用正方形密铺，几个90°可以凑成一圈？一圈是多少度？
生：一圈是360°，4个90°相加等于360°。
师板书：4×90°=360°。也就是说，在拼接点位置，4个正方形的内角刚好拼成一周，没有多余，也没有缺口，所以正方形可以密铺。
师提问2：我们再算正五边形，正五边形内角和、单个内角度数是多少？
生计算汇报：（5-2）×180°=540°，540÷5=108°，每个内角108°。
师：我们试着看一看，几个108°能刚好凑成360°？大家口算试一试。
生：3个108°=324°，不够360°，有空隙；4个108°=432°，超过360°，会重叠。
师总结：所以不管用几个正五边形的内角凑在同一个拼接点，都不能正好等于360°，这就是上节课我们拼正五边形会出现缝隙的根本原因。
师提问3：正六边形每个内角是多少度？拼接点需要几个？
生计算汇报：（6-2）×180°=720°，720÷6=120°；3×120°=360°。3个正六边形内角刚好凑成360°，所以正六边形可以密铺。
师：同学们，现在大家能不能试着总结，单一正多边形能够密铺的核心条件是什么？同桌互相交流。
学生交流后集体归纳，教师提炼板书：当围绕拼接点的几个内角加起来正好等于360°时，这种图形就可以单独密铺。
师继续拓展验证普通多边形，以三角形为例：任意三角形内角和是180°，6个相同三角形的内角汇聚在拼接点，6×60°（通用理解：拼接点汇聚6个角，总和360°），总和刚好360°，所以三角形可以密铺；梯形、平行四边形同理，相同图形内角在拼接点可以凑出360°，因此能够密铺。
设计意图：紧扣教材核心规律探究内容，通过计算、验证、归纳，把直观拼摆现象上升为数学原理，突破本节课难点，发展学生的推理意识与几何直观。
运用规律，判断图形能否密铺（教材巩固思考内容）
师：我们已经找到了密铺的核心规律，现在我们用这个规律来做教材上的思考习题，判断下面的图形能不能单独密铺，并说出理由。
出示习题1：正八边形，每个内角135°，能不能单独密铺？
学生独立思考后作答：2个135°=270°，3个135°=405°，无法凑出360°，正八边形不能单独密铺。
师：判断准确，依据就是拼接点内角和是否等于360°。
出示习题2：普通的四边形（非特殊）能不能单独密铺？
师引导思考：任意四边形内角和是360°，4个不同的内角汇聚到拼接点，刚好相加等于360°，所以任意四边形都可以单独密铺。
师补充教材拓展内容：我们前面研究的都是同一种图形单独密铺，教材还提到还有组合密铺，也就是两种及以上不同图形搭配在一起密铺，比如正八边形和正方形搭配，拼接点135°+135°+90°=360°，可以实现密铺。我们本节课重点掌握单一图形密铺规律，组合密铺的内容可以在后面《小小设计师》图案创作中尝试运用。
师组织学生小组互相出题，利用内角和规律自主判断图形密铺可能性，互相说理。
设计意图：依托教材配套思考练习，即时内化密铺核心规律，学会用数学原理说理，从“记住结果”转向“理解原理、自主判断”。
辨析易混问题，完善认知
师：这里有一个容易混淆的问题，请大家结合今天学到的知识辨析：只要图形形状一样，就一定可以密铺吗？
预设学生辨析回答：不对，比如形状相同的正五边形，形状统一，但是内角凑不成360°，不能密铺，能不能密铺关键看拼接点内角和能不能等于360°，不是看图形是否相同。
师：说得非常到位。图形相同只是我们实验里的条件，密铺的本质判定标准永远是拼接点内角之和等于360°。
师再引导学生联系教材开头的生活实例，说一说家里、街道上哪些密铺可以用今天学到的知识解释，学生自由发言，比如地砖多用正方形、六边形，很少单独用正五边形地砖。
设计意图：辨析易错认知，夯实核心原理，再次关联生活情境，落实应用意识的素养目标。
第2课时课堂小结
师：这节课我们从内角角度探究了密铺的数学本质，得出核心结论：一种图形能够单独密铺的关键，是拼接点处若干个内角之和正好等于360°；我们学会了利用内角度数计算，预判、判断平面图形是否可以密铺。掌握寻找密铺图形的知识，就可以在下一环节《小小设计师》中，自主设计密铺装饰图案，完成综合实践创作任务。
图形
猜想能不能单独密铺
实际拼摆结果
正方形
长方形
平行四边形
三角形
梯形
正五边形
正六边形