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2023届高考一轮复习讲义（理科）第五章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积及应用举例学案
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这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第五章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积及应用举例学案，共20页。学案主要包含了知识梳理，习题改编，平面向量与解三角形的综合应用，平面向量与解析几何的综合应用等内容，欢迎下载使用。
一、知识梳理
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
常用结论
1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
2．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
二、习题改编
1．(必修4P108A组T6改编)已知a·b＝－12eq \r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为( )
A．12 B．6
C．3eq \r(3) D．3
解析：选B.a·b＝|a||b|cs 135°＝－12eq \r(2)，所以|b|＝eq \f(－12\r(2),4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2))))＝6.
2．(必修4P105例4改编)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________．
解析：因为2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，
所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
答案：12
3．(必修4P106练习T3改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cs θ＝4×cs 120°＝－2.
答案：－2
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( )
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． ( )
(3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( )
(4)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)没有找准向量的夹角致误；
(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；
(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．
1．已知△ABC的三边长均为1，且eq \(AB,\s\up6(→))＝c，eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________．
解析：因为a，b＝b，c＝a，c＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，所以a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cs 120°＝－eq \f(1,2)，所以a·b＋b·c＋a·c＝－eq \f(3,2).
答案：－eq \f(3,2)
2．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))方向上的投影为________．
解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(5，5)，由定义知，eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))方向上的投影为eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\a\vs4\al(\(CD,\s\up6(→)))|)＝eq \f(15,5\r(2))＝eq \f(3\r(2),2).
答案：eq \f(3\r(2),2)
3．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．
解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－eq \f(1,2)，所以a·b＝－1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2×1＝eq \f(5,2).
答案：eq \f(5,2)
平面向量数量积的运算(师生共研)
(一题多解)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝eq \f(π,4)，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝________．
【解析】 法一：因为eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→)).
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝eq \f(π,4)，所以2|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AD,\s\up6(→))|cseq \f(π,4)，化简得|eq \(AD,\s\up6(→))|＝2eq \r(2).故eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝(2eq \r(2))2＋2eq \r(2)×2cseq \f(π,4)＝12.
法二：如图，建立平面直角坐标系xAy.
依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m＞0，n＞0，则由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
【答案】 12
eq \a\vs4\al()
平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
[提醒] 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．
1．(2020·河南新乡二模)已知a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，c＝(m－2，－1)，若a∥b，则b·c＝( )
A．－7 B．－3
C．3 D．7
解析：选B.因为a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，a∥b，所以1×(m＋3)－2m＝0，所以m＝3，所以b·c＝m(m－2)－(m＋3)＝－3，故选B.
2．(一题多解)在▱ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝6，N为DC的中点，eq \(BM,\s\up6(→))＝2eq \(MC,\s\up6(→))，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＝________．
解析：法一：eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))·(eq \(NC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(AD,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))－\f(1,3)\(AD,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \f(2,9)eq \(AD,\s\up6(→))2＝eq \f(1,2)×82－eq \f(2,9)×62＝24.
法二(特例图形)：若▱ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，
则N(4，6)，M(8，4)．
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝(8，4)，eq \(NM,\s\up6(→))＝(4，－2)，
所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＝(8，4)·(4，－2)＝32－8＝24.
答案：24
平面向量数量积的应用(多维探究)
角度一 平面向量的模
(1)已知平面向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，且|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋2b，eq \(AC,\s\up6(→))＝2a－6b，D为BC的中点，则|eq \(AD,\s\up6(→))|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|的最小值为__________．
【解析】 (1)因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以|eq \(AD,\s\up6(→))|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－2×2×\r(3)×cs\f(π,6)＋4))＝4，则|eq \(AD,\s\up6(→))|＝2.
(2)
建立平面直角坐标系如图所示 ，则A(2，0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)．
所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|
＝eq \r(25＋（3b－4y）2)(0≤y≤b)．
当y＝eq \f(3,4)b时，|eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|min＝5.
【答案】 (1)A (2)5
eq \a\vs4\al()
求向量的模的方法
(1)公式法：利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积的运算．
(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
角度二 平面向量的夹角
(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－eq \r(5)b，则cs〈a，c〉＝________．
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
【解析】 (1)设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－eq \r(5))，所以cs〈a，c〉＝eq \f(2,1×\r(4＋5))＝eq \f(2,3).
(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，
所以(2a－3b)·c<0，
即(2k－3，－6)·(2，1)<0，
所以4k－6－6<0，所以k<3.
【答案】 (1)eq \f(2,3) (2)(－∞，3)
eq \a\vs4\al()
(1)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0°或180°；求角时，注意向量夹角的取值范围是[0°，180°]；若题目给出向量的坐标表示，可直接利用公式cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))求解．
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．
角度三 两向量垂直问题
(1)(2020·福建厦门一模)已知a＝(1，1)，b＝(2，m)，a⊥(a－b)，则|b|＝( )
A．0 B．1
C.eq \r(2) D．2
(2)已知向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
【解析】 (1)由题意知a－b＝(－1，1－m)．因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝－1＋1－m＝0，所以m＝0，所以b＝(2，0)，所以|b|＝2.故选D.
(2)因为eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0.
又eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
所以(λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝0，
即(λ－1)eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－λeq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2＝0，
所以(λ－1)|eq \(AC,\s\up6(→))||eq \(AB,\s\up6(→))|cs 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×3×2×(－eq \f(1,2))－9λ＋4＝0.解得λ＝eq \f(7,12).
【答案】 (1)D (2)eq \f(7,12)
eq \a\vs4\al()
(1)当向量a与b是坐标形式时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a·b＝0.
(3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(2，x)不平行，且满足(a＋2b)⊥(a－b)，则x＝( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．1或－eq \f(1,2) D．1或eq \f(1,2)
解析：选A.因为(a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因为向量a＝(2，1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－eq \f(1,2)，因为向量a，b不平行，所以x≠1，所以x＝－eq \f(1,2)，故选A.
2．(2020·湖北武汉模拟)已知向量a，b满足|a|＝4，b在a方向上的投影为－2，则|a－3b|的最小值为( )
A．12 B．10 C.eq \r(10) D．2
解析：选B.设a与b的夹角为θ.
由于b在a方向上的投影为－2，所以|b|cs θ＝eq \f(a·b,|a|)＝－2，所以a·b＝－8，
又|b|cs θ＝－2，所以|b|≥2，则|a－3b|＝eq \r(a2－6a·b＋9b2)＝eq \r(64＋9b2)≥eq \r(64＋9×22)＝10，即|a－3b|的最小值为10，故选B.
3．(一题多解)已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，设向量eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))的夹角为θ，则cs θ＝________．
解析：法一：因为2eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，则|eq \(AE,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，|eq \(BD,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)，eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)|eq \(AD,\s\up6(→))|2－|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×22－22＝－2，所以cs θ＝eq \f(\(AE,\s\up6(→))·\(BD,\s\up6(→)),|\a\vs4\al(\(AE,\s\up6(→)))||\a\vs4\al(\(BD,\s\up6(→)))|)＝eq \f(－2,\r(5)×2\r(2))＝－eq \f(\r(10),10).
法二：因为2eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，所以E为BC的中点．
设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则点A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－2，2)，所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cs θ＝eq \f(\(AE,\s\up6(→))·\(BD,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(AE,\s\up6(→))||\(BD,\s\up6(→))|))＝eq \f(－2,\r(5)×2\r(2))＝－eq \f(\r(10),10).
答案：－eq \f(\r(10),10)
平面向量与三角函数(师生共研)
已知两个不共线的向量a，b满足a＝(1，eq \r(3))，b＝(cs θ，sin θ)，θ∈R.
(1)若2a－b与a－7b垂直，求|a＋b|的值；
(2)当θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，若存在两个不同的θ，使得|a＋eq \r(3)b|＝|ma|成立，求正数m的取值范围．
【解】 (1)由条件知|a|＝2，|b|＝1，又2a－b与a－7b垂直，所以(2a－b)·(a－7b)＝8－15a·b＋7＝0，所以a·b＝1.
所以|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋2＋1＝7，故|a＋b|＝eq \r(7).
(2)由|a＋eq \r(3)b|＝|ma|，得|a＋eq \r(3)b|2＝|ma|2.
即|a|2＋2eq \r(3) a·b＋3|b|2＝m2|a|2，
即4＋2eq \r(3)a·b＋3＝4m2，7＋2eq \r(3)(cs θ＋eq \r(3)sin θ)＝4m2.
所以4eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝4m2－7.
由θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，得θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，
因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知4eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))∈[6，4eq \r(3))，即6≤4m2－7＜4eq \r(3)，即eq \f(13,4)≤m2＜eq \f(7＋4\r(3),4)，又m＞0，所以eq \f(\r(13),2)≤m＜eq \f(2＋\r(3),2).
即实数m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),2)，\f(2＋\r(3),2))).
eq \a\vs4\al()
平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cs(A－B)，sin(A－B))，n＝(cs B，－sin B)，且m·n＝－eq \f(3,5).
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4eq \r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影．
解：(1)由m·n＝－eq \f(3,5)，
得cs(A－B)cs B－sin(A－B)sin B＝－eq \f(3,5)，
所以cs A＝－eq \f(3,5).因为0所以sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))\s\up12(2))＝eq \f(4,5).
(2)由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(5×\f(4,5),4\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
因为a>b，所以A>B，则B＝eq \f(π,4)，
由余弦定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4\r(2)))eq \s\up12(2)＝52＋c2－2×5c×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))，解得c＝1.
故向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影为
|eq \(BA,\s\up6(→))|cs B＝ccs B＝1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2).
数学运算 平面向量的综合运用
一、平面向量在平面几何中的应用
(1)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
(2)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝1，则AB＝________．
【解析】 (1)由原等式，得eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，即eq \(AP,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，根据平行四边形法则，知eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))(D为BC的中点)，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．故选C.
(2)在平行四边形ABCD中，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，又因为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2＝|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,2)|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(AB,\s\up6(→))|cs 60°－eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝1＋eq \f(1,2)×1×eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|－eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝1.所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－|\(AB,\s\up6(→))|))|eq \(AB,\s\up6(→))|＝0，又|eq \(AB,\s\up6(→))|≠0，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2).
【答案】 (1)C (2)eq \f(1,2)
eq \a\vs4\al()
向量与平面几何综合问题的解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
二、平面向量与函数、不等式的综合应用
(1)设θ是两个非零向量a，b的夹角，若对任意实数t，|a＋tb|的最小值为1，则下列判断正确的是( )
A．若|a|确定，则θ唯一确定
B．若|b|确定，则θ唯一确定
C．若θ确定，则|b|唯一确定
D．若θ确定，则|a|唯一确定
(2)(一题多解)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－eq \f(1,2)，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为________．
【解析】 (1)设g(t)＝(a＋tb)2＝b2t2＋2ta·b＋a2，当且仅当t＝－eq \f(2a·b,2b2)＝－eq \f(|a|cs θ,|b|)时，g(t)取得最小值1，所以b2×eq \f(|a|2cs2 θ,|b|2)－2a·b×eq \f(|a|cs θ,|b|)＋a2＝1，化简得a2sin 2θ＝1，所以当θ确定时，|a|唯一确定．
(2)法一：因为向量c与a＋b共线，所以可设c＝t(a＋b)(t∈R)，所以a＋c＝(t＋1)a＋tb，所以(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2，因为向量a，b为单位向量，且a·b＝－eq \f(1,2)，所以(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥eq \f(3,4)，所以|a＋c|≥eq \f(\r(3),2)，所以|a＋c|的最小值为eq \f(\r(3),2).
法二：因为向量a，b为单位向量，且a·b＝－eq \f(1,2)，所以向量a，b的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a＝(1，0)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，因为向量c与a＋b共线，所以可设c＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))(t∈R)，所以a＋c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(t,2)，\f(\r(3),2)t))，所以|a＋c|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(t,2)))\s\up12(2)＋\f(3t2,4))＝eq \r(t2＋t＋1)≥eq \f(\r(3),2)，所以|a＋c|的最小值为eq \f(\r(3),2).
【答案】 (1)D (2)eq \f(\r(3),2)
eq \a\vs4\al()
通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算，再结合函数、不等式的知识解决，同时也要注意平面向量的坐标运算在这方面的应用．
三、平面向量与解三角形的综合应用
已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求c.
【解】 (1)m·n＝sin A·cs B＋sin B·cs A＝sin(A＋B)，
对于△ABC，A＋B＝π－C，0所以sin(A＋B)＝sin C，
所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，cs C＝eq \f(1,2)，又因为C∈(0，π)，
所以C＝eq \f(π,3).
(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得2c＝a＋b.
因为eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，所以eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝18，
即abcs C＝18，ab＝36.
由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcs C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.
eq \a\vs4\al()
(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．
(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．
四、平面向量与解析几何的综合应用
(1)若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的最大值为________．
(2)已知F为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(FA,\s\up6(→))，则此双曲线的离心率为________．
【解析】 (1)由椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1可得F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，
则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x2,4)))
＝eq \f(1,4)x2＋x＋3＝eq \f(1,4)(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当且仅当x＝2时，eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))取得最大值6.
(2)由F(－c，0)，A(0，b)，得直线AF的方程为y＝eq \f(b,c)x＋b.
根据题意知，直线AF与渐近线y＝eq \f(b,a)x相交，
联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,c)x＋b，,y＝\f(b,a)x，))消去x得，yB＝eq \f(bc,c－a).
由eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(FA,\s\up6(→))，得yB＝4b，所以eq \f(bc,c－a)＝4b，化简得3c＝4a，
所以离心率e＝eq \f(4,3).
【答案】 (1)6 (2)eq \f(4,3)
eq \a\vs4\al()
向量在解析几何中的2个作用
[基础题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选C.因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，t－3)，所以|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(1＋（t－3）2)＝1，解得t＝3，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，0)，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2×1＋3×0＝2，故选C.
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
解析：选B.设a与b的夹角为α，
因为(a－b)⊥b，
所以(a－b)·b＝0，
所以a·b＝b2，
所以|a|·|b|cs α＝|b|2，又|a|＝2|b|，
所以cs α＝eq \f(1,2)，因为α∈(0，π)，所以α＝eq \f(π,3).故选B.
3．(2020·河北衡水模拟三)已知向量a＝(1，k)，b＝(2，4)，则“k＝－eq \f(1,2)”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得(1，k)·(2，4)＝0，解得k＝－eq \f(1,2)，所以“k＝－eq \f(1,2)”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要条件．故选 C.
4.
(2020·河南安阳二模)如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若eq \(CE,\s\up6(→))＝－7eq \(DE,\s\up6(→))，3eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))，则eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝( )
A．11 B．10
C．－10 D．－11
解析：选D.
以A为坐标原点，建立直角坐标系如图所示．
则A(0，0)，B(4，0)，E(1，4)，F(5，1)，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝(5，1)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(－3，4)，则eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝－15＋4＝－11.故选D.
5．已知向量|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，若eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，且eq \(OC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，则实数eq \f(m,n)的值为( )
A.eq \f(1,6) B．eq \f(1,4)
C．6 D．4
解析：选A.因为向量|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))夹角为60°，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3×2×cs 60°＝3，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→)))
＝(m－n)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))－m|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋n|eq \(OB,\s\up6(→))|2
＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以eq \f(m,n)＝eq \f(1,6)，故选A.
6．(2020·河南郑州一模)已知e1，e2为单位向量且夹角为eq \f(2π,3)，设a＝3e1＋2e2，b＝3e2，则a在b方向上的投影为________．
解析：根据题意得，a·b＝9e1·e2＋6eeq \\al(2,2)＝9×1×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋6＝－eq \f(9,2)＋6＝eq \f(3,2)，又因为|b|＝3，所以a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|)＝eq \f(\f(3,2),3)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
7．(2020·江西临川九校3月联考)已知平面向量a＝(2m－1，2)，b＝(－2，3m－2)，且a⊥b，则|2a－3b|＝________．
解析：因为a⊥b，所以a·b＝－2(2m－1)＋2(3m－2)＝0，解得m＝1，
所以a＝(1，2)，b＝(－2，1)，所以2a－3b＝(2，4)－(－6，3)＝(8，1)，
所以|2a－3b|＝eq \r(64＋1)＝eq \r(65).
答案：eq \r(65)
8．(2020·石家庄质量检测(一))已知eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为90°，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，且eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，则eq \f(λ,μ)的值为________．
解析：
根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，－2)．设M(x，y)，则eq \(AM,\s\up6(→))＝(x，y)，所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，
所以x＝μ，y＝2λ，
所以eq \f(λ,μ)＝eq \f(\f(1,2)y,x)＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
9．已知向量m＝(sin α－2，－cs α)，n＝(－sin α，cs α)，其中α∈R.
(1)若m⊥n，求角α；
(2)若|m－n|＝eq \r(2)，求cs 2α的值．
解：(1)若m⊥n，则m·n＝0，
即为－sin α(sin α－2)－cs2 α＝0，
即sin α＝eq \f(1,2)，
可得α＝2kπ＋eq \f(π,6)或α＝2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z.
(2)若|m－n|＝eq \r(2)，即有(m－n)2＝2，
即(2sin α－2)2＋(2cs α)2＝2，
即为4sin2α＋4－8sin α＋4cs2α＝2，
即有8－8sin α＝2，
可得sin α＝eq \f(3,4)，
即有cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \f(9,16)＝－eq \f(1,8).
10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．
解：(1)由题设知eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，1)，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，6)，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，4)．
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(10)，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝4eq \r(2).
故所求的两条对角线的长分别为4eq \r(2)，2eq \r(10).
(2)法一：由题设知：eq \(OC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→))＝(3＋2t，5＋t)．
由(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，得：
(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，
所以t＝－eq \f(11,5).
法二：eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝teq \(OC,\s\up6(→))2，eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，
t＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(OC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(OC,\s\up6(→))|2))＝－eq \f(11,5).
[综合题组练]
1．(2020·安徽滁州一模)△ABC中，AB＝5，AC＝10，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝25，点P是△ABC内(包括边界)的一动点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,5)λeq \(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，则|eq \(AP,\s\up6(→))|的最大值是( )
A.eq \f(3\r(3),2) B．eq \r(37)
C.eq \r(39) D．eq \r(41)
解析：选B.△ABC中，AB＝5，AC＝10，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝25，所以5×10×cs A＝25，cs A＝eq \f(1,2)，
所以A＝60°，BC＝eq \r(52＋102－2×5×10×\f(1,2))＝5eq \r(3)，因为AB2＋BC2＝AC2，所以B＝90°.以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，
则A(0，0)，B(5，0)，C(5，5eq \r(3))，设点P为(x，y)，0≤x≤5，0≤y≤5eq \r(3)，
因为eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,5)λeq \(AC,\s\up6(→))，
所以(x，y)＝eq \f(3,5)(5，0)－eq \f(2,5)λ(5，5eq \r(3))＝(3－2λ，－2eq \r(3)λ)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3－2λ，,y＝－2\r(3)λ，))所以y＝eq \r(3)(x－3)，直线BC的方程为x＝5，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)（x－3），,x＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝2\r(3).))此时|eq \(AP,\s\up6(→))|最大，为eq \r(52＋（2\r(3)）2)＝eq \r(37).故选B.
2.
(2020·广东广雅中学模拟)如图所示，等边△ABC的边长为2，AM∥BC，且AM＝6.若N为线段CM的中点，则eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝( )
A．24 B．23
C．22 D．18
解析：选B.
法一：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A作垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，eq \r(3))，因为△ABC为等边三角形，且AM∥BC，所以∠MAB＝120°，所以M(－3，3eq \r(3))．因为N是CM的中点，所以N(－1，2eq \r(3))，所以eq \(AN,\s\up6(→))＝(－1，2eq \r(3))，eq \(BM,\s\up6(→))＝(－5，3eq \r(3))，所以eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝23.
法二：依题意知|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))的夹角为60°，
且eq \(AM,\s\up6(→))＝3eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(3eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→)).
eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝3(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))－eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(AC,\s\up6(→))－4eq \(AB,\s\up6(→)).则eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\(AC,\s\up6(→))－\f(3,2)\(AB,\s\up6(→))))·(3eq \(AC,\s\up6(→))－4eq \(AB,\s\up6(→)))＝6eq \(AC2,\s\up6(→))＋6eq \(AB2,\s\up6(→))－8eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(9,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝23.
3.如图，AB是半圆O的直径，P是eq \(AB,\s\up8(︵))上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝________．
解析：连接AP，BP，则eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))，所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→)))·(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→)))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))－|eq \(AM,\s\up6(→))|2＝－eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))－|eq \(AM,\s\up6(→))|2＝eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－|eq \(AM,\s\up6(→))|2＝1×6－1＝5.
答案：5
4．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))的最小值是________．
解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，eq \r(3))，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x，eq \r(3)－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))＝(－x，eq \r(3)－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－eq \f(\r(3),2))2－eq \f(3,2)，当x＝0，y＝eq \f(\r(3),2)时，eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))取得最小值为－eq \f(3,2).
答案：－eq \f(3,2)
5．(创新型)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cs B，2cs2 eq \f(C,2)－1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(7)，c＝2eq \r(3)，求△ABC的面积．
解：(1)因为m＝(cs B，cs C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccs B＋(b－2a)cs C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin Ccs B＋(sin B－2sin A)cs C＝0，
sin A＝2sin Acs C，又sin A≠0，
所以cs C＝eq \f(1,2)，而C∈(0，π)，所以∠C＝eq \f(π,3).
(2)由eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))知，eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))，
所以2eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))，
两边平方得4|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝b2＋a2＋2bacs ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcs ∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absin ∠ACB＝2eq \r(3).
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cs_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs_θ的乘积
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
载体
作用
向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题
工具
作用
利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法
一、知识梳理
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
常用结论
1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
2．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
二、习题改编
1．(必修4P108A组T6改编)已知a·b＝－12eq \r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为( )
A．12 B．6
C．3eq \r(3) D．3
解析：选B.a·b＝|a||b|cs 135°＝－12eq \r(2)，所以|b|＝eq \f(－12\r(2),4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2))))＝6.
2．(必修4P105例4改编)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________．
解析：因为2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，
所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
答案：12
3．(必修4P106练习T3改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cs θ＝4×cs 120°＝－2.
答案：－2
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( )
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． ( )
(3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( )
(4)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)没有找准向量的夹角致误；
(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；
(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．
1．已知△ABC的三边长均为1，且eq \(AB,\s\up6(→))＝c，eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________．
解析：因为a，b＝b，c＝a，c＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，所以a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cs 120°＝－eq \f(1,2)，所以a·b＋b·c＋a·c＝－eq \f(3,2).
答案：－eq \f(3,2)
2．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))方向上的投影为________．
解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(5，5)，由定义知，eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))方向上的投影为eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\a\vs4\al(\(CD,\s\up6(→)))|)＝eq \f(15,5\r(2))＝eq \f(3\r(2),2).
答案：eq \f(3\r(2),2)
3．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．
解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－eq \f(1,2)，所以a·b＝－1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2×1＝eq \f(5,2).
答案：eq \f(5,2)
平面向量数量积的运算(师生共研)
(一题多解)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝eq \f(π,4)，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝________．
【解析】 法一：因为eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→)).
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝eq \f(π,4)，所以2|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AD,\s\up6(→))|cseq \f(π,4)，化简得|eq \(AD,\s\up6(→))|＝2eq \r(2).故eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝(2eq \r(2))2＋2eq \r(2)×2cseq \f(π,4)＝12.
法二：如图，建立平面直角坐标系xAy.
依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m＞0，n＞0，则由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
【答案】 12
eq \a\vs4\al()
平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
[提醒] 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．
1．(2020·河南新乡二模)已知a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，c＝(m－2，－1)，若a∥b，则b·c＝( )
A．－7 B．－3
C．3 D．7
解析：选B.因为a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，a∥b，所以1×(m＋3)－2m＝0，所以m＝3，所以b·c＝m(m－2)－(m＋3)＝－3，故选B.
2．(一题多解)在▱ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝6，N为DC的中点，eq \(BM,\s\up6(→))＝2eq \(MC,\s\up6(→))，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＝________．
解析：法一：eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))·(eq \(NC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(AD,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))－\f(1,3)\(AD,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \f(2,9)eq \(AD,\s\up6(→))2＝eq \f(1,2)×82－eq \f(2,9)×62＝24.
法二(特例图形)：若▱ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，
则N(4，6)，M(8，4)．
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝(8，4)，eq \(NM,\s\up6(→))＝(4，－2)，
所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＝(8，4)·(4，－2)＝32－8＝24.
答案：24
平面向量数量积的应用(多维探究)
角度一 平面向量的模
(1)已知平面向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，且|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋2b，eq \(AC,\s\up6(→))＝2a－6b，D为BC的中点，则|eq \(AD,\s\up6(→))|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|的最小值为__________．
【解析】 (1)因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以|eq \(AD,\s\up6(→))|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－2×2×\r(3)×cs\f(π,6)＋4))＝4，则|eq \(AD,\s\up6(→))|＝2.
(2)
建立平面直角坐标系如图所示 ，则A(2，0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)．
所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|
＝eq \r(25＋（3b－4y）2)(0≤y≤b)．
当y＝eq \f(3,4)b时，|eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|min＝5.
【答案】 (1)A (2)5
eq \a\vs4\al()
求向量的模的方法
(1)公式法：利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积的运算．
(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
角度二 平面向量的夹角
(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－eq \r(5)b，则cs〈a，c〉＝________．
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
【解析】 (1)设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－eq \r(5))，所以cs〈a，c〉＝eq \f(2,1×\r(4＋5))＝eq \f(2,3).
(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，
所以(2a－3b)·c<0，
即(2k－3，－6)·(2，1)<0，
所以4k－6－6<0，所以k<3.
【答案】 (1)eq \f(2,3) (2)(－∞，3)
eq \a\vs4\al()
(1)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0°或180°；求角时，注意向量夹角的取值范围是[0°，180°]；若题目给出向量的坐标表示，可直接利用公式cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))求解．
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．
角度三 两向量垂直问题
(1)(2020·福建厦门一模)已知a＝(1，1)，b＝(2，m)，a⊥(a－b)，则|b|＝( )
A．0 B．1
C.eq \r(2) D．2
(2)已知向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
【解析】 (1)由题意知a－b＝(－1，1－m)．因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝－1＋1－m＝0，所以m＝0，所以b＝(2，0)，所以|b|＝2.故选D.
(2)因为eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0.
又eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
所以(λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝0，
即(λ－1)eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－λeq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2＝0，
所以(λ－1)|eq \(AC,\s\up6(→))||eq \(AB,\s\up6(→))|cs 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×3×2×(－eq \f(1,2))－9λ＋4＝0.解得λ＝eq \f(7,12).
【答案】 (1)D (2)eq \f(7,12)
eq \a\vs4\al()
(1)当向量a与b是坐标形式时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a·b＝0.
(3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(2，x)不平行，且满足(a＋2b)⊥(a－b)，则x＝( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．1或－eq \f(1,2) D．1或eq \f(1,2)
解析：选A.因为(a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因为向量a＝(2，1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－eq \f(1,2)，因为向量a，b不平行，所以x≠1，所以x＝－eq \f(1,2)，故选A.
2．(2020·湖北武汉模拟)已知向量a，b满足|a|＝4，b在a方向上的投影为－2，则|a－3b|的最小值为( )
A．12 B．10 C.eq \r(10) D．2
解析：选B.设a与b的夹角为θ.
由于b在a方向上的投影为－2，所以|b|cs θ＝eq \f(a·b,|a|)＝－2，所以a·b＝－8，
又|b|cs θ＝－2，所以|b|≥2，则|a－3b|＝eq \r(a2－6a·b＋9b2)＝eq \r(64＋9b2)≥eq \r(64＋9×22)＝10，即|a－3b|的最小值为10，故选B.
3．(一题多解)已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，设向量eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))的夹角为θ，则cs θ＝________．
解析：法一：因为2eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，则|eq \(AE,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，|eq \(BD,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)，eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)|eq \(AD,\s\up6(→))|2－|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×22－22＝－2，所以cs θ＝eq \f(\(AE,\s\up6(→))·\(BD,\s\up6(→)),|\a\vs4\al(\(AE,\s\up6(→)))||\a\vs4\al(\(BD,\s\up6(→)))|)＝eq \f(－2,\r(5)×2\r(2))＝－eq \f(\r(10),10).
法二：因为2eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，所以E为BC的中点．
设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则点A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－2，2)，所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cs θ＝eq \f(\(AE,\s\up6(→))·\(BD,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(AE,\s\up6(→))||\(BD,\s\up6(→))|))＝eq \f(－2,\r(5)×2\r(2))＝－eq \f(\r(10),10).
答案：－eq \f(\r(10),10)
平面向量与三角函数(师生共研)
已知两个不共线的向量a，b满足a＝(1，eq \r(3))，b＝(cs θ，sin θ)，θ∈R.
(1)若2a－b与a－7b垂直，求|a＋b|的值；
(2)当θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，若存在两个不同的θ，使得|a＋eq \r(3)b|＝|ma|成立，求正数m的取值范围．
【解】 (1)由条件知|a|＝2，|b|＝1，又2a－b与a－7b垂直，所以(2a－b)·(a－7b)＝8－15a·b＋7＝0，所以a·b＝1.
所以|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋2＋1＝7，故|a＋b|＝eq \r(7).
(2)由|a＋eq \r(3)b|＝|ma|，得|a＋eq \r(3)b|2＝|ma|2.
即|a|2＋2eq \r(3) a·b＋3|b|2＝m2|a|2，
即4＋2eq \r(3)a·b＋3＝4m2，7＋2eq \r(3)(cs θ＋eq \r(3)sin θ)＝4m2.
所以4eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝4m2－7.
由θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，得θ＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，
因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知4eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))∈[6，4eq \r(3))，即6≤4m2－7＜4eq \r(3)，即eq \f(13,4)≤m2＜eq \f(7＋4\r(3),4)，又m＞0，所以eq \f(\r(13),2)≤m＜eq \f(2＋\r(3),2).
即实数m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),2)，\f(2＋\r(3),2))).
eq \a\vs4\al()
平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cs(A－B)，sin(A－B))，n＝(cs B，－sin B)，且m·n＝－eq \f(3,5).
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4eq \r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影．
解：(1)由m·n＝－eq \f(3,5)，
得cs(A－B)cs B－sin(A－B)sin B＝－eq \f(3,5)，
所以cs A＝－eq \f(3,5).因为0
(2)由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(5×\f(4,5),4\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
因为a>b，所以A>B，则B＝eq \f(π,4)，
由余弦定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4\r(2)))eq \s\up12(2)＝52＋c2－2×5c×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))，解得c＝1.
故向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影为
|eq \(BA,\s\up6(→))|cs B＝ccs B＝1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2).
数学运算 平面向量的综合运用
一、平面向量在平面几何中的应用
(1)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
(2)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝1，则AB＝________．
【解析】 (1)由原等式，得eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，即eq \(AP,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，根据平行四边形法则，知eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))(D为BC的中点)，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．故选C.
(2)在平行四边形ABCD中，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，又因为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2＝|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,2)|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(AB,\s\up6(→))|cs 60°－eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝1＋eq \f(1,2)×1×eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|－eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝1.所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－|\(AB,\s\up6(→))|))|eq \(AB,\s\up6(→))|＝0，又|eq \(AB,\s\up6(→))|≠0，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2).
【答案】 (1)C (2)eq \f(1,2)
eq \a\vs4\al()
向量与平面几何综合问题的解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
二、平面向量与函数、不等式的综合应用
(1)设θ是两个非零向量a，b的夹角，若对任意实数t，|a＋tb|的最小值为1，则下列判断正确的是( )
A．若|a|确定，则θ唯一确定
B．若|b|确定，则θ唯一确定
C．若θ确定，则|b|唯一确定
D．若θ确定，则|a|唯一确定
(2)(一题多解)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－eq \f(1,2)，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为________．
【解析】 (1)设g(t)＝(a＋tb)2＝b2t2＋2ta·b＋a2，当且仅当t＝－eq \f(2a·b,2b2)＝－eq \f(|a|cs θ,|b|)时，g(t)取得最小值1，所以b2×eq \f(|a|2cs2 θ,|b|2)－2a·b×eq \f(|a|cs θ,|b|)＋a2＝1，化简得a2sin 2θ＝1，所以当θ确定时，|a|唯一确定．
(2)法一：因为向量c与a＋b共线，所以可设c＝t(a＋b)(t∈R)，所以a＋c＝(t＋1)a＋tb，所以(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2，因为向量a，b为单位向量，且a·b＝－eq \f(1,2)，所以(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥eq \f(3,4)，所以|a＋c|≥eq \f(\r(3),2)，所以|a＋c|的最小值为eq \f(\r(3),2).
法二：因为向量a，b为单位向量，且a·b＝－eq \f(1,2)，所以向量a，b的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a＝(1，0)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，因为向量c与a＋b共线，所以可设c＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))(t∈R)，所以a＋c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(t,2)，\f(\r(3),2)t))，所以|a＋c|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(t,2)))\s\up12(2)＋\f(3t2,4))＝eq \r(t2＋t＋1)≥eq \f(\r(3),2)，所以|a＋c|的最小值为eq \f(\r(3),2).
【答案】 (1)D (2)eq \f(\r(3),2)
eq \a\vs4\al()
通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算，再结合函数、不等式的知识解决，同时也要注意平面向量的坐标运算在这方面的应用．
三、平面向量与解三角形的综合应用
已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求c.
【解】 (1)m·n＝sin A·cs B＋sin B·cs A＝sin(A＋B)，
对于△ABC，A＋B＝π－C，0
所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，cs C＝eq \f(1,2)，又因为C∈(0，π)，
所以C＝eq \f(π,3).
(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得2c＝a＋b.
因为eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，所以eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝18，
即abcs C＝18，ab＝36.
由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcs C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.
eq \a\vs4\al()
(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．
(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．
四、平面向量与解析几何的综合应用
(1)若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的最大值为________．
(2)已知F为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(FA,\s\up6(→))，则此双曲线的离心率为________．
【解析】 (1)由椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1可得F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，
则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x2,4)))
＝eq \f(1,4)x2＋x＋3＝eq \f(1,4)(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当且仅当x＝2时，eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))取得最大值6.
(2)由F(－c，0)，A(0，b)，得直线AF的方程为y＝eq \f(b,c)x＋b.
根据题意知，直线AF与渐近线y＝eq \f(b,a)x相交，
联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,c)x＋b，,y＝\f(b,a)x，))消去x得，yB＝eq \f(bc,c－a).
由eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(FA,\s\up6(→))，得yB＝4b，所以eq \f(bc,c－a)＝4b，化简得3c＝4a，
所以离心率e＝eq \f(4,3).
【答案】 (1)6 (2)eq \f(4,3)
eq \a\vs4\al()
向量在解析几何中的2个作用
[基础题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选C.因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，t－3)，所以|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(1＋（t－3）2)＝1，解得t＝3，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，0)，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2×1＋3×0＝2，故选C.
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
解析：选B.设a与b的夹角为α，
因为(a－b)⊥b，
所以(a－b)·b＝0，
所以a·b＝b2，
所以|a|·|b|cs α＝|b|2，又|a|＝2|b|，
所以cs α＝eq \f(1,2)，因为α∈(0，π)，所以α＝eq \f(π,3).故选B.
3．(2020·河北衡水模拟三)已知向量a＝(1，k)，b＝(2，4)，则“k＝－eq \f(1,2)”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得(1，k)·(2，4)＝0，解得k＝－eq \f(1,2)，所以“k＝－eq \f(1,2)”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要条件．故选 C.
4.
(2020·河南安阳二模)如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若eq \(CE,\s\up6(→))＝－7eq \(DE,\s\up6(→))，3eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))，则eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝( )
A．11 B．10
C．－10 D．－11
解析：选D.
以A为坐标原点，建立直角坐标系如图所示．
则A(0，0)，B(4，0)，E(1，4)，F(5，1)，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝(5，1)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(－3，4)，则eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝－15＋4＝－11.故选D.
5．已知向量|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，若eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，且eq \(OC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，则实数eq \f(m,n)的值为( )
A.eq \f(1,6) B．eq \f(1,4)
C．6 D．4
解析：选A.因为向量|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))夹角为60°，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3×2×cs 60°＝3，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→)))
＝(m－n)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))－m|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋n|eq \(OB,\s\up6(→))|2
＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以eq \f(m,n)＝eq \f(1,6)，故选A.
6．(2020·河南郑州一模)已知e1，e2为单位向量且夹角为eq \f(2π,3)，设a＝3e1＋2e2，b＝3e2，则a在b方向上的投影为________．
解析：根据题意得，a·b＝9e1·e2＋6eeq \\al(2,2)＝9×1×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋6＝－eq \f(9,2)＋6＝eq \f(3,2)，又因为|b|＝3，所以a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|)＝eq \f(\f(3,2),3)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
7．(2020·江西临川九校3月联考)已知平面向量a＝(2m－1，2)，b＝(－2，3m－2)，且a⊥b，则|2a－3b|＝________．
解析：因为a⊥b，所以a·b＝－2(2m－1)＋2(3m－2)＝0，解得m＝1，
所以a＝(1，2)，b＝(－2，1)，所以2a－3b＝(2，4)－(－6，3)＝(8，1)，
所以|2a－3b|＝eq \r(64＋1)＝eq \r(65).
答案：eq \r(65)
8．(2020·石家庄质量检测(一))已知eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为90°，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，且eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，则eq \f(λ,μ)的值为________．
解析：
根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(1，－2)．设M(x，y)，则eq \(AM,\s\up6(→))＝(x，y)，所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，
所以x＝μ，y＝2λ，
所以eq \f(λ,μ)＝eq \f(\f(1,2)y,x)＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
9．已知向量m＝(sin α－2，－cs α)，n＝(－sin α，cs α)，其中α∈R.
(1)若m⊥n，求角α；
(2)若|m－n|＝eq \r(2)，求cs 2α的值．
解：(1)若m⊥n，则m·n＝0，
即为－sin α(sin α－2)－cs2 α＝0，
即sin α＝eq \f(1,2)，
可得α＝2kπ＋eq \f(π,6)或α＝2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z.
(2)若|m－n|＝eq \r(2)，即有(m－n)2＝2，
即(2sin α－2)2＋(2cs α)2＝2，
即为4sin2α＋4－8sin α＋4cs2α＝2，
即有8－8sin α＝2，
可得sin α＝eq \f(3,4)，
即有cs 2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \f(9,16)＝－eq \f(1,8).
10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．
解：(1)由题设知eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，1)，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，6)，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，4)．
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(10)，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝4eq \r(2).
故所求的两条对角线的长分别为4eq \r(2)，2eq \r(10).
(2)法一：由题设知：eq \(OC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→))＝(3＋2t，5＋t)．
由(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，得：
(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，
所以t＝－eq \f(11,5).
法二：eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝teq \(OC,\s\up6(→))2，eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，
t＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(OC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(OC,\s\up6(→))|2))＝－eq \f(11,5).
[综合题组练]
1．(2020·安徽滁州一模)△ABC中，AB＝5，AC＝10，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝25，点P是△ABC内(包括边界)的一动点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,5)λeq \(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，则|eq \(AP,\s\up6(→))|的最大值是( )
A.eq \f(3\r(3),2) B．eq \r(37)
C.eq \r(39) D．eq \r(41)
解析：选B.△ABC中，AB＝5，AC＝10，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝25，所以5×10×cs A＝25，cs A＝eq \f(1,2)，
所以A＝60°，BC＝eq \r(52＋102－2×5×10×\f(1,2))＝5eq \r(3)，因为AB2＋BC2＝AC2，所以B＝90°.以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，
则A(0，0)，B(5，0)，C(5，5eq \r(3))，设点P为(x，y)，0≤x≤5，0≤y≤5eq \r(3)，
因为eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,5)λeq \(AC,\s\up6(→))，
所以(x，y)＝eq \f(3,5)(5，0)－eq \f(2,5)λ(5，5eq \r(3))＝(3－2λ，－2eq \r(3)λ)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3－2λ，,y＝－2\r(3)λ，))所以y＝eq \r(3)(x－3)，直线BC的方程为x＝5，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)（x－3），,x＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝2\r(3).))此时|eq \(AP,\s\up6(→))|最大，为eq \r(52＋（2\r(3)）2)＝eq \r(37).故选B.
2.
(2020·广东广雅中学模拟)如图所示，等边△ABC的边长为2，AM∥BC，且AM＝6.若N为线段CM的中点，则eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝( )
A．24 B．23
C．22 D．18
解析：选B.
法一：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A作垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，eq \r(3))，因为△ABC为等边三角形，且AM∥BC，所以∠MAB＝120°，所以M(－3，3eq \r(3))．因为N是CM的中点，所以N(－1，2eq \r(3))，所以eq \(AN,\s\up6(→))＝(－1，2eq \r(3))，eq \(BM,\s\up6(→))＝(－5，3eq \r(3))，所以eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝23.
法二：依题意知|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))的夹角为60°，
且eq \(AM,\s\up6(→))＝3eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(3eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up6(→)).
eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝3(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))－eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(AC,\s\up6(→))－4eq \(AB,\s\up6(→)).则eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\(AC,\s\up6(→))－\f(3,2)\(AB,\s\up6(→))))·(3eq \(AC,\s\up6(→))－4eq \(AB,\s\up6(→)))＝6eq \(AC2,\s\up6(→))＋6eq \(AB2,\s\up6(→))－8eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(9,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝23.
3.如图，AB是半圆O的直径，P是eq \(AB,\s\up8(︵))上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝________．
解析：连接AP，BP，则eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))，所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→)))·(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→)))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))－|eq \(AM,\s\up6(→))|2＝－eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))－|eq \(AM,\s\up6(→))|2＝eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－|eq \(AM,\s\up6(→))|2＝1×6－1＝5.
答案：5
4．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))的最小值是________．
解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，eq \r(3))，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x，eq \r(3)－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))＝(－x，eq \r(3)－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－eq \f(\r(3),2))2－eq \f(3,2)，当x＝0，y＝eq \f(\r(3),2)时，eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))取得最小值为－eq \f(3,2).
答案：－eq \f(3,2)
5．(创新型)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cs B，2cs2 eq \f(C,2)－1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(7)，c＝2eq \r(3)，求△ABC的面积．
解：(1)因为m＝(cs B，cs C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccs B＋(b－2a)cs C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin Ccs B＋(sin B－2sin A)cs C＝0，
sin A＝2sin Acs C，又sin A≠0，
所以cs C＝eq \f(1,2)，而C∈(0，π)，所以∠C＝eq \f(π,3).
(2)由eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))知，eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))，
所以2eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))，
两边平方得4|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝b2＋a2＋2bacs ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcs ∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absin ∠ACB＝2eq \r(3).
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cs_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs_θ的乘积
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
载体
作用
向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题
工具
作用
利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法
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