2027年高考数学一轮复习（全国通用）第五章5.3平面向量的数量积课件

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1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
4.向量数量积的运算律(1)a·b= .(2)(λa)·b= = (λ∈R).(3)(a+b)·c= .
5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
x1x2+y1y2=0
2.(多选)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是A.(a+b)·c=a·c+b·cB.(a·b)·c=a·(b·c)C.a·b≤|a||b|D.|a-b|≤|a|+|b|
解析　根据数量积的分配律可知A正确；B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，等式不一定成立，故B不正确；C中，根据数量积的定义可知a·b=|a||b|cs〈a，b〉≤|a||b|，故C正确；D中，|a-b|2-(|a|+|b|)2=-2a·b-2|a||b|=-2|a||b|(cs〈a，b〉+1)≤0，故|a-b|2≤(|a|+|b|)2，即|a-b|≤|a|+|b|，故D正确.
计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b=|a||b|cs〈a，b〉.(2)利用坐标运算，若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2.(3)利用基底法求数量积.(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
例2　(1)(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=　　　 . 
(2)若向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，已知2a-3b与c的夹角为钝角，则实数k的取值范围是　　　　　　　　　　　　　. 
例4　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x等于A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析　因为b⊥(b-4a)，所以b·(b-4a)=0，所以b2-4a·b=0，即4+x2-4x=0，解得x=2.
例5　(1)(2025·西安模拟)已知向量a，b满足a=(1，1)，b=(0，-1)，则(b-2a)在b上的投影向量为A.(-3，0)B.(0，-3)C.(3，0)D.(0，3)
用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3　冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜.小赵同学在练习冰球的过程中，以力F=(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(-1，-1)移动到点B(1，-1)，则F对冰球所做的功为A.-18 B.18 C.-12 D.12
解　∵(2a-λb)⊥(λa+3b)，则(2a-λb)·(λa+3b)=0，即2λa2+(6-λ2)a·b-3λb2=0，∴32λ+4×(6-λ2)-12λ=0，即λ2-5λ-6=0，∴λ=-1或λ=6.