2027年高考数学一轮复习第十章　必刷小题20　计数原理、概率、随机变量及其分布学案含解析

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一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2026·泰安模拟)已知随机变量X~N(2，σ2)，若P(X≥-1)=0.7，则P(2≤X≤5)等于( )
A.0.2B.0.3C.0.4D.0.7
答案 A
解析 因为X~N(2，σ2)，所以P(X≥2)=0.5，
若P(X≥-1)=0.7，则P(X5)=P(X5)=0.5-0.3=0.2.
2.(2026·临沂模拟)已知A，B，C，D四个同学站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法种数是( )
A.8B.10C.12D.16
答案 A
解析 若C排在从左到右的第二个位置，
则D只能排在从左到右的第三或第四个位置，
此时有C21A22=4(种)不同的排法；
同理，若C排在从左到右的第三个位置，根据对称性可知，此时也有4种不同的排法，
由分类加法计数原理可知，
不同的排法种数是4+4=8.
3.(2026·贵阳模拟)二项式x−ax6(a>0)的展开式中含x2的项的系数是60，则下列说法不正确的是( )
A.a=2
B.展开式中含x4的项的系数是-12
C.展开式中一定含x-1的项
D.展开式中的常数项是-160
答案 C
解析 x−ax6(a>0)的展开式的通项为Tk+1=C6kx6-k−axk=(-a)kC6kx6-2k，k=0，1，2，3，4，5，6，令6-2k=2，得k=2，可得(-a)2C62=60，解得a=2(负值舍去)，A正确；
故通项为Tk+1=(-2)kC6kx6-2k，k=0，1，2，3，4，5，6，令6-2k=4，得k=1，可得含x4项的系数为(-2)1C61=-12，B正确；
由6-2k=-1，得k=3.5，不符合题意，所以展开式中一定不含x-1的项，C错误；
对于D，令6-2k=0，得k=3，可得展开式中的常数项是(-2)3C63=-160，D正确.
4.(2026·武汉模拟)从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的均值为( )
A.43B.2C.83D.103
答案 C
解析 设得分为X，X的所有可能取值为4，3，2，
则P(X=4)=C22C62=115，P(X=3)=C21C41C62=815，
P(X=2)=C42C62=615=25，
则分布列为
所以所得分数的均值为E(X)=4×115+3×815+2×25=83.
5.已知离散型随机变量X的分布列如下，若E(12X)=7，则D(2X+3)等于( )
A.15536B.15572C.155144D.49144
答案 A
解析 由分布列可得16+b+14+14=1，解得b=13，
由E(12X)=7，得12E(X)=7，即E(X)=712，
所以-16+0+a4+12=712，解得a=1，
D(X)=16×−1−7122+13×0−7122+14×1−7122+14×2−7122=155144，
所以D(2X+3)=22·D(X)=4×155144=15536.
6.现有分别标有数字1，2，3，4的小球各2个，它们的形状、大小、材质完全相同，现从这8个小球中任取4个，则取出的小球上的数字之和为10的概率为( )
A.835B.1770C.935D.1970
答案 C
解析 从这8个小球中任取4个的样本点共有C84=70(个)，
又满足4个小球上的数字之和为10的情况有
①4个小球上的数字分别是1，1，4，4，即有1种情况；
②4个小球上的数字分别是1，2，3，4，即有C21C21C21C21=16(种)情况；
③4个小球上的数字分别是2，2，3，3，即有1种情况，
即取出的小球上的数字之和为10的样本点有1+16+1=18(个)，
所以取出的小球上的数字之和为10的概率为1870=935.
7.(2026·成都模拟)连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则( )
A.P(A)=136B.A与C相互独立
C.A与C对立D.B与C互斥
答案 B
解析 根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，
样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36个样本点.
对于A，事件A为“第一次的点数是2”，包含6个样本点，则P(A)=636=16，A错误；
对于B，事件C为“两次的点数之和为偶数”，包含18个样本点，则P(C)=1836=12，
事件AC，即{(2，2)，(2，4)，(2，6)}，包含3个样本点，则P(AC)=336=112，
则有P(AC)=P(A)P(C)，事件A，C相互独立，B正确；
对于C，事件A，C可以同时发生，故不互斥，于是更不对立，C错误；
对于D，事件B，C可以同时发生，不互斥，D错误.
8.(2026·赣州模拟)某百货商场为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次，且其中有1张甲奖券中奖，则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为( )
B.0.2
答案 C
解析 设事件A为“恰好中奖2次且其中有1张甲奖券中奖”，即“甲奖券中奖1次且乙奖券中奖1次或甲奖券中奖2次且乙奖券不中奖”，
事件B为“恰好中奖2次且均为甲奖券”，即“甲奖券中奖2次且乙奖券不中奖”，
则P(A)=0.4×0.4×(1-0.5)+C21×0.4×(1-0.4)×0.5=0.32，P(B)=0.4×0.4×(1-0.5)=0.08，
又由A∩B=B，即P(AB)=P(B)，
所以所求概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则( )
A.q=0.2B.E(X)=1
C.E(5X-1)=4D.D(X)=0.2
答案 ABC
解析 由分布列的性质可知，0.2+1-2q+q=1，所以q=0.2，
E(X)=0×0.2+1×0.6+2×0.2=1，E(5X-1)=5E(X)-1=4，故A，B，C正确；
D(X)=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4，故D错误.
10.(2026·武汉模拟)下列命题正确的是( )
A.若三个事件A，B，C两两相互独立，则满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
B.若0