2027年高考数学一轮复习第十章　必刷小题19　计数原理与概率学案含解析

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一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.已知一个系统由A，B两个部件并联组成，当A或B正常工作时，系统就能正常工作，若A正常工作的概率为0.65，B正常工作的概率为0.6，则该系统正常工作的概率为( )
答案 A
解析 根据题意，A，B两个部件都不能正常工作的概率为(1-0.65)×(1-0.6)=0.14，所以该系统正常工作的概率为1-0.14=0.86.
2.对于(x-3)5的展开式，下列说法不正确的是( )
A.展开式共有6项
B.展开式的各项系数之和为-32
C.展开式的第2项是90x3
D.展开式的二项式系数和为32
答案 C
解析 由n=5可知(x-3)5的展开式共有6项，故选项A正确；
令x=1，则(1-3)5=-32，故选项B正确；
展开式中的第2项是T2=C51x4(-3)1=-15x4，故选项C错误；
展开式的二项式系数和为25=32，故选项D正确.
3.有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个蓝球，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是( )
A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件
B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件但不对立事件
C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率
D.“同时取到2个红球”的概率为310，即重复进行10次这样的取球试验，一定会有3次同时取到2个红球
答案 C
解析 有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个蓝球，从中一次性随机取2个球.
对于A，“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
对于C，“至少取到1个红球”的概率P=C32+C31C21C52=910，“至少取到1个蓝球”的概率P=C22+C31C21C52=710，
所以“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率，故C正确；
对于D，由概率的意义可知，“同时取到2个红球”的概率为C32C52=310，即重复进行10次这样的取球试验，可能会有3次同时取到2个红球，而不是一定，故D错误.
4.甲、乙等四个人一起随机手牵手围成一圈做游戏，甲与乙牵手的概率是( )
A.12B.13C.14D.23
答案 D
解析 以甲为中心，其他三人的位置是甲的左边、右边、对面，共有A33种情况，其中乙在甲的左边或右边，即甲与乙能牵手有2A22种情况，所以所求概率为P=2A22A33=23.
5.(2026·大同模拟)某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”(如2 024是“幸运数”)，并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有( )
A.32个B.28个C.27个D.24个
答案 B
解析 依题意，首位数字为2的“幸运数”中其他三位数字的组合有以下七类：
①“0，0，6”组合，有C31种，②“0，1，5”组合，有A33种，③“0，2，4”组合，有A33种，④“0，3，3”组合，有C31种，⑤“1，1，4”组合，有C31种，⑥“1，2，3”组合，有A33种，⑦“2，2，2”组合，有1种.
由分类加法计数原理，首位数字为2的“幸运数”共有3C31+3A33+1=9+18+1=28(个).
6.某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三这三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为( )
A.25B.40C.150D.240
答案 C
解析 先将五门课程分成3，1，1和2，2，1这两种情况，再安排到三个学年中，则共有C53+C52C32A22·A33=(10+15)×6=150(种)选修方式.
7.在二项式2x−1xn的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项(未知数x的指数为奇数的项)都互不相邻的概率为( )
A.135B.16C.14D.27
答案 A
解析 在二项式2x−1xn的展开式中，二项式系数的和为2n=64=26，所以n=6.
二项式2x−1xn即为2x−1x6，
展开式的通项为Tk+1=C6k·26-k(-1)k·x3-k，k=0，1，2，…，6，
故展开式共有7项，当k=0，2，4，6时，第k+1项为奇次项，
把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其他的3个偶次项先任意排，
再把这4个奇次项插入其中的4个空中，方法共有A33A44种，
故奇次项都互不相邻的概率为P=A33A44A77=135.
8.某规范化考场的规格为每场30名考生，分为6排5列，依照如表所示的方式进行座位号的编排.为了确保考试的公平性，考生的试卷分为A卷和B卷，座位号为奇数的考生使用A卷，座位号为偶数的考生使用B卷.已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加考试，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一排或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有( )
A.2 016种B.1 008种C.1 440种D.720种
答案 A
解析 先考虑甲、乙、丙三人使用A卷，则这三个人的座位号都为奇数，分以下几种情况讨论：
(1)若这三人都在奇数列，则有一人需在第1列选一个奇数号的座位，有3种情况，
然后有一人在第3列要选一个奇数号的座位，但与第一人不能在同一排，只有2种情况，
最后一人只能在第5列选择一个奇数号的座位，但该人不能与前两人在同一排，最后一人的座位只有一种选择，
此时，不同的排法有3×2×1×A33=36(种)；
(2)三人中只有两人在奇数列，首先在第1，3，5列中选两列，有C32种选择，
其次，第一个人在其中的第一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有3种选择，
第二个人在另一个奇数列中选择一个奇数号的位置，有2种选择，
第三个人在两个偶数列中选择一个奇数号的位置，有6种选择，
此时，共有C32×(3×2×6)×A33=648(种)不同的排法；
(3)三人中只有一人在奇数列，第一个人在第1，3，5列中随便选择一个奇数号的位置，有9种选择，
其次，第二个人在第2列中选择一个奇数号的位置，有3种选择，例如第二个人选择11号座位，
由于第三个人不能与第二个人同排或同列，则第三个人只有2种选择，即19号和21号两个位置可供选择，
此时，不同的排法有9×3×2×A33=324(种).
综上所述，当三人都使用A卷时，不同的排法种数为36+648+324=1 008.
由对称性可知，当三人都使用B卷时，不同的排法种数也为1 008.
综上，当三人的试卷类型相同时，不同的座位安排方案种数为1 008×2=2 016.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，则下列结论一定正确的是( )
A.P(AB)=0.18
B.A，B不可能为互斥事件
C.若P(AB)=0.42，则事件A，B相互独立
D.若A，B相互独立，则P(A+B)=0.7
答案 BC
解析 若P(AB)=0.18=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，无法确定，故A错误；
若A，B为互斥事件，则P(AB)=0，所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.6+1-0.3=1.3>1，故A，B不可能为互斥事件，故B正确；
若P(AB)=0.42=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，故C正确；
若A，B相互独立，则A，B相互独立，所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)=0.4+0.3-0.4×0.3=0.58，故D错误.
10.(2026·齐齐哈尔模拟)已知f(x)=(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则( )
A.a0+a1+a2+…+a8=1
B.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38
C.f(-1)除以5所得的余数是1
D.a0-a1+a2-a3+…+a8=38
答案 ACD
解析 因为(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，
令x=1，得a0+a1+a2+…+a8=1，所以选项A正确；
因为(2-x)8的展开式的通项为Tk+1=C8k28-k(-x)k=(-1)k28-kC8kxk，k=0，1，2，…，8，
由通项公式知，a0，a2，a4，a6，a8>0，a1，a3，a5，a7