2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第十章10.7概率、统计与其他知识的交汇问题（Word版附答案）

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1.(15分)某种药材的种植、加工过程受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材.
(1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望；(7分)
(2)已知每箱药材的利润如表：
今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m(m∈N*)箱，成本相应增加(1 000m-2 000ln m)元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.(8分)
2.(15分)(2024·福州质检)从一副扑克牌中挑出4张Q和4张K，将其中2张Q和2张K装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q和2张K放在外面.现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q，则把它放回袋中；若抽出K，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的K全部置换为Q.
(1)在操作2次后，袋中K的张数记为随机变量X，求X的分布列及数学期望；(3分)
(2)记事件“在操作n+1(n∈N*)次后，恰好将袋中的K全部置换为Q”为An，记Pn=P(An).
①在第1次取到Q的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率；(5分)
②试探究Pn+1与Pn的递推关系，并说明理由.(7分)
答案精析
1.解 (1)X的可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C20C64C84=314，
P(X=1)=C21C63C84=47，
P(X=2)=C22C62C84=314，
X的分布列为
X的数学期望为E(X)=0×314+1×47+2×314=1.
(2)按原计划生产药材每箱平均利润为14×4 000+14×2 000+12×(-1 200)=900(元)，
则增加m箱药材，利润增加为900m元，成本相应增加(1 000m-2 000ln m)元，
所以增加净利润为900m-1 000m+2 000ln m=2 000ln m-100m(m∈N*).
设f(x)=2 000ln x-100x(x∈N*)，
则f'(x)=2 000x-100，
令f'(x)=0，得x=20，
当1≤x