2027年高考数学一轮复习第十章　§10.5　离散型随机变量及其分布列、数字特征学案含解析

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1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
3.离散型随机变量分布列的性质
(1)pi≥0，i=1，2，…，n.
(2)p1+p2+…+pn=1.
4.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值(数学期望)
称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=nΣi=1xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=nΣi=1(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差，并称D(X)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.
5.均值(数学期望)与方差的性质
(1)E(aX+b)=aE(X)+b.
(2)D(aX+b)=a2D(X)(a，b为常数).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( √ )
(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.( √ )
(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小.( √ )
2.(北师大版选择性必修第一册P197练习T3)同时抛掷两枚均匀的骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则{ξ>4}表示的随机事件是( )
A.第一枚掷出6点，第二枚掷出2点
B.第一枚掷出5点，第二枚掷出1点
C.第一枚掷出1点，第二枚掷出6点
D.第一枚掷出6点，第二枚掷出1点
答案 D
解析 ∵第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，
若ξ>4，则ξ=5，
表示的随机事件是第一枚掷出6点，第二枚掷出1点.
3.(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)已知随机变量X的分布列为
则D(X)= ；D(2X+7)= .
答案 0.84 3.36
解析 E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4.
D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84，
D(2X+7)=4D(X)=3.36.
4.(苏教版选择性必修第二册P120练习T3改编)从甲、乙两名射击运动员中选择一名参加比赛，现统计了这两名运动员在训练中命中环数X，Y的概率分布如下表，则甲、乙两人平均成绩较好的是 .
答案 甲
解析 E(X)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3，
E(Y)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1.
这就是说甲射击所得环数的均值比乙射击所得环数的均值大，从而说明甲的平均成绩较好.
1.(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.
(3)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确.
2.(1)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).
(2)D(X)=E(X2)-(E(X))2.
(3)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2).
题型一 分布列的性质
例1 (1)若随机变量X的分布列为
则当P(X