2027年高考数学一轮复习第十章　§10.3　随机事件与概率学案含解析

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1.样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示.
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示.
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件.
②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示.
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.
2.两个事件的关系和运算
3.古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个.
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
4.古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)=kn=n(A)n(Ω).
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
5.概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B)；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1；
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
6.频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.
(2)频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( × )
(2)事件A与事件B同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小.( × )
(3)事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大.( × )
(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件.( × )
2.(人教A版必修第二册P235练习T1)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( )
A.至多一次中靶B.两次都中靶
C.只有一次中靶D.两次都没有中靶
答案 D
解析 “至少一次中靶”表示两次射击中一次中靶，另一次没中靶或两次都中靶，其对立事件为两次都没有中靶.
3.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )
A.16B.13C.12D.23
答案 D
解析 记高一2名学生分别为A，B；高二2名学生分别为a，b.从这4名学生中随机选2名有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(a，b)，共6种选法，其中这2名学生来自不同年级有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，共4种选法，
所以这2名学生来自不同年级的概率为46=23.
4.抛掷一枚骰子，记事件A为“出现点数是奇数”，事件B为“出现点数是3的倍数”，则P(A∪B)= ，P(A∩B)= .
答案 23 16
解析 抛掷一枚骰子，所有可能出现的点数是1，2，3，4，5，6，共6个样本点，
事件A∪B包括出现的点数是1，3，5，6，共4个样本点，故P(A∪B)=23；
事件A∩B包括出现的点数是3，共1个样本点，故P(A∩B)=16.
1.当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件.
2.若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
题型一 随机事件的关系
命题点1 随机事件关系的判断
例1 (多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”，G=“点数大于2”，H=“点数小于2”，R=“点数为3”.则下列结论正确的是( )
A.E，F为对立事件
B.G，H为互斥不对立事件
C.E，G不是互斥事件
D.G，R是互斥事件
答案 ABC
解析 “点数为奇数”与“点数为偶数”不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确；
“点数大于2”与“点数小于2”不可能同时发生，且不是必有一个发生，G，H为互斥不对立事件，选项B正确；
“点数为奇数”与“点数大于2”可能同时发生，E，G不是互斥事件，选项C正确；
“点数大于2”与“点数为3”可能同时发生，G，R不是互斥事件，选项D不正确.
命题点2 利用互斥、对立事件求概率
例2 (1)(多选)(2026·长沙模拟)设A，B为两个随机事件，以下命题正确的有( )
A.若A，B是对立事件，则P(AB)=1
B.若A，B是对立事件，则P(A∪B)=1
C.若A，B是互斥事件，P(A)=13，P(B)=12，则P(A∪B)=16
D.若A，B是互斥事件，P(A)=14，P(B)=13，则P(A∪B)>12
答案 BD
解析 对于A，B，若A，B是对立事件，则A∪B=Ω，A∩B=∅，
则P(A∪B)=1，P(AB)=0，故A错误，B正确；
对于C，若A，B是互斥事件，P(A)=13，P(B)=12，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=56，C错误；
对于D，若A，B是互斥事件，P(A)=14，P(B)=13，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=712>12，D正确.
(2)某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.2，则这个射手在一次射击中射中的环数小于7环的概率为 .
答案 0.11
解析 记“射中的环数小于7环”为事件A，则事件A为“射中10环或9环或8环或7环”，
所以P(A)=0.21+0.23+0.25+0.2=0.89，
所以P(A)=1-P(A)=1-0.89=0.11.
命题点3 利用频率估计概率
例3 (多选)下列命题正确的是( )
A.随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B.抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是950
C.有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则一定有190件正品，10件次品
D.抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51
答案 AB
解析 随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故A正确；
抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是18100=950，故B正确；
有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则不一定抽取到190件正品和10件次品，故C错误；
100次并不是无穷多次，抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则不能得出抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51，故D错误.
思维升华 事件关系的运算策略
进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式.
跟踪训练1 (1)(多选)(2025·邵阳模拟)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.1，0.2，0.3，0.4，则下列说法错误的是( )
A.A+B与C是互斥事件，也是对立事件
B.B+C与D是互斥事件，也是对立事件
C.A+C与B+D是互斥事件，但不是对立事件
D.A与B+C+D是互斥事件，也是对立事件
答案 ABC
解析 因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A+B与C也互斥，
但是P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.2=0.3，又P(A+B)+P(C)=0.3+0.3=0.6，
所以A+B与C不是对立事件，故A错误；
因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以B+C与D也互斥，
但是P(B+C)=P(B)+P(C)=0.2+0.3=0.5，P(B+C)+P(D)=0.5+0.4=0.9，
所以B+C与D不是对立事件，故B错误；
因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A+C与B+D也互斥，
又因为P(A+C)=P(A)+P(C)=0.1+0.3=0.4，P(B+D)=P(B)+P(D)=0.2+0.4=0.6，
又因为P(B+D)+P(A+C)=0.6+0.4=1，所以A+C与B+D是对立事件，故C错误；
因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A与B+C+D也互斥，
又因为P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.2+0.3+0.4=0.9，
所以P(B+C+D)+P(A)=0.9+0.1=1，所以A与B+C+D也是对立事件，故D正确.
(2)若事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.5，P(B)=0.3，则P(A)= .
答案 0.8
解析 因为事件A和B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)+0.3=0.5，
解得P(A)=0.2，故P(A)=1-P(A)=0.8.
题型二 古典概型
例4 (1)(2022·新高考全国Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A.16B.13C.12D.23
答案 D
解析 从7个整数中随机取2个不同的数，共有C72=21(种)取法，取得的2个数互质的情况有{2，3}，{2，5}，{2，7}，{3，4}，{3，5}，{3，7}，{3，8}，{4，5}，{4，7}，{5，6}，{5，7}，{5，8}，{6，7}，{7，8}，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为1421=23.故选D.
(2)(2025·烟台模拟)安排4名大学生到两家公司实习，每名大学生只去一家公司，每家公司至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家公司实习的概率为( )
A.15B.310C.325D.37
答案 D
解析 4名大学生分两组，每组至少一人，有两种情形，分别为3人、1人或2人、2人，即共有C43A22+C42=8+6=14(种)实习方案，其中甲、乙到同一家公司实习的情况有C21A22+A22=4+2=6(种)，故大学生甲、乙到同一家公司实习的概率为614=37.
思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤
跟踪训练2 (1)(2026·上海模拟)盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是( )
A.427B.29C.49D.89
答案 C
解析 每个盲盒有3种可能，4个盲盒的总情况数为34，即81种，
要集齐三种玩偶，需在4个盲盒中包含所有3种玩偶，即一种玩偶出现2次，其余两种出现1次，
出现2次的玩偶有C31=3(种)，
将4个位置中选2个给该玩偶，有C42=6(种)情况，剩余2个位置分别给另外两种玩偶，有A22=2(种)情况，
符合条件的情况数共3×6×2=36(种)，
因此所求概率为3681=49.
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
答案 12
解析 因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为3.
若甲的总得分为3，则甲出卡片3，5，7时都赢，所以只有1种组合：3-2，5-4，7-6，1-8.
若甲的总得分为2，有以下三类情况：
第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，
为3-2，5-4，1-6，7-8；
第二类，当甲出卡片3和7时赢，有3-2，7-4，1-6，5-8或3-2，7-4，1-8，5-6或3-2，7-6，1-4，5-8，共3种组合；
第三类，当甲出卡片5和7时赢，有5-2，7-4，1-6，3-8或5-2，7-4，1-8，3-6或5-4，7-2，1-6，3-8或5-4，7-2，1-8，3-6或5-2，7-6，1-4，3-8或5-2，7-6，1-8，3-4或5-4，7-6，1-2，3-8，共7种组合.
综上，甲的总得分不小于2共有12种组合，而所有不同的组合共有4×3×2×1=24(种)，所以甲的总得分不小于2的概率P=1224=12.
题型三 概率的综合问题
例5 (2026·上海徐汇区期中)人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1 200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况，数据如下.
假设用频率估计概率.
(1)求a的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
(2)事件“在甲类题材‘新闻稿’中随机抽取2个‘一’，其中搭配‘一个’出现的次数仅为1次”，求该事件发生的概率；
(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B并进行统计，其中“一”出现了24次，“一格”出现了2次，则在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？
解 (1)由题可得a=30-(6+4+2+2)=16，
因为随机选取甲类题材“新闻稿”中1 200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，
所以估计甲类题材中“一”出现的概率为301 200=140.
(2)由题意可得在甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一个”出现的概率为630=15，
则在甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，不搭配“一个”出现的概率为1-15=45，
所以在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1次的概率为15×45+45×15=825.
(3)甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一个”出现的概率为61 200=1200，
甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一格”出现的概率为2800=14002.706=x0.1，
∴依据小概率值α=0.1的独立性检验，我们认为H0不成立，即认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关.
(2)由(1)知，对菜品的性价比“满意”的人群中有40名男性和20名女性，用按比例分配的分层随机抽样的方法分别抽取男性4人和女性2人，
∴从这6人中抽取的3人中恰有2人是女性的概率为P=C22C41C63=420=15.
[每小题5分，共10分]
13.整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮.已知220和284，1 184和1 210，2 924和2 620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为( )
A.115B.25C.715D.15
答案 C
解析 由题意可得一共有C62种分组方法，若要满足220和284在同一组，则分两种情况讨论：①220和284在2个数这一组中，有C22种分组方法，②220和284在4个数这一组中，有C42种分组方法.故所求概率P=C22+C42C62=715.
14.(2025·泉州模拟)如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为 .
答案 116
解析 由题意可知所有可能情况共有83种，按顺序记录的三个数恰好构成等差数列，
可以按照公差为-3，-2，-1，0，1，2，3分类，其中公差为-3，-2，-1和3，2，1的情况数对应相等.
公差为0的有(1，1，1)，(2，2，2)，…，(8，8，8)，共8种情况；
公差为1的有(1，2，3)，(2，3，4)，…，(6，7，8)，共6种情况，同公差为-1的；
公差为2的有(1，3，5)，(2，4，6)，(3，5，7)，(4，6，8)，共4种情况，同公差为-2的；
公差为3的有(1，4，7)，(2，5，8)，共2种情况，同公差为-3的.
所以三个数恰好构成等差数列的概率P=8+6×2+4×2+2×28×8×8=32512=116.
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含义
符号表示
包含关系
若事件A发生，则事件B一定发生
A⊆B
相等关系
B⊇A且A⊇B
A=B
并事件(和事件)
事件A与事件B至少有一个发生
A∪B或A+B
交事件(积事件)
事件A与事件B同时发生
A∩B或AB
互斥(互不相容)
事件A与事件B不能同时发生
A∩B=∅
互为对立
事件A与事件B有且仅有一个发生
A∩B=∅，
且A∪B=Ω
“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况
频数
“一个”
6
“一些”
4
“一群”
2
“一条”
2
其他
a
日销售量/杯
[25，35)
[35，45)
[45，55)
[55，65)
[65，75]
天数
4
6
9
5
6
满意
不满意
合计
男
40
女
20
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
满意
不满意
合计
男
40
20
60
女
20
20
40
合计
60
40
100