2027年高考数学一轮复习第十章　§10.2　二项式定理学案含解析

这是一份2027年高考数学一轮复习第十章　§10.2　二项式定理学案含解析，共13页。

1.二项式定理
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
(2)增减性与最大值：
①当kn+12时，Cnk随k的增加而减小.
②当n是偶数时，中间的一项Cnn2取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cnn−12与Cnn+12相等，且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和：(a+b)n的展开式的各二项式系数的和为Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Cnkan-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项.( × )
(2)(a+b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关.( √ )
(3)二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项.( × )
(4)二项展开式项的系数是先增后减的.( × )
2.若3x+12xn的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n等于( )
A.13B.14C.11D.12
答案 D
解析 由3x+12xn的展开式中只有第7项的二项式系数最大，得展开式共有13项，所以n=12.
3.(2022·天津)x+3x25的展开式中的常数项为 .
答案 15
解析 由题意知x+3x25的展开式的通项为Tk+1=C5k·(x)5-k·3x2k=C5k·3k·x5−5k2，
令5−5k2=0，得k=1，
则C5k·3k=C51·3=15，
所以x+3x25的展开式中的常数项为15.
4.(2026·北京模拟)若二项式x2−2xn的展开式的二项式系数之和为8，则n= ，该展开式每一项的系数之和为 .
答案 3 -1
解析 由已知可得2n=8，解得n=3.
令x=1，则展开式每一项的系数之和为12−213=-1.
1.二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k+1项.
2.牢记一个注意点：(a+b)n与(b+a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒.
3.理清二项式系数与项的系数的区别.
题型一 通项公式的应用
命题点1 形如(a+b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1 (1)(2024·北京)在(x-x)4的展开式中，x3的系数为( )
A.6B.-6C.12D.-12
答案 A
解析 方法一 (x-x)4的展开式的通项
Tr+1=C4rx4-r(-x)r=(-1)rC4rx4−r2(r=0，1，2，3，4).
由4-r2=3，得r=2，
所以在(x-x)4的展开式中，x3的系数为(-1)2C42=6.
方法二 (x-x)4的展开式中含x3的项是由(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)中任意取2个括号内的x与剩余的2个括号内的(-x)相乘得到的，
所以(x-x)4的展开式中含x3的项为
C42x2·C22(-x)2=6x3，
所以在(x-x)4的展开式中，x3的系数为6.
(2)(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T5(2)改编)已知9x+13xn的展开式中，第13项为常数项，则正整数n等于( )
A.8B.12C.18D.25
答案 C
解析 9x+13xn的展开式的通项为Tk+1
=Cnk(9x)n-k13xk=Cnk9n-k13kxn−3k2，
∵第13项为常数项，∴k+1=13，∴k=12，
∴n-3k2=n-3×122=0，∴n=18.
命题点2 形如(a+b)m(c+d)n(m，n∈N*)的展开式问题
例2 (1)(2025·西安模拟)(2x3-2)1x−28的展开式的常数项为( )
A.-288B.-312C.480D.736
答案 A
解析 因为1x−28的展开式的通项Tk+1
=C8k1x8−k(-2)k(0≤k≤8，k∈N)，
所以(2x3-2)1x−28的展开式的项为
2x3C8k1x8−k(-2)k(0≤k≤8，k∈N)或
-2C8k1x8−k(-2)k(0≤k≤8，k∈N)，
当k=2时，2x3C8k1x8−k(-2)k
=2x3C82x-3(-2)2=224，
当k=8时，-2C8k1x8−k(-2)k=-2C88(-2)8
=-512，
所以(2x3-2)1x−28的展开式的常数项为-512+224=-288.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ卷)1−yx(x+y)8的展开式中x2y6的系数为 (用数字作答).
答案 -28
解析 (x+y)8展开式的通项Tr+1=C8rx8-ryr，r=0，1，…，7，8.令r=6，得T6+1=C86x2y6；令r=5，得T5+1=C85x3y5，所以1−yx(x+y)8的展开式中x2y6的系数为C86-C85=-28.
思维升华 (1)求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项即可.
(2)对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
跟踪训练1 (1)(多选)已知x2−1xn的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论成立的是( )
A.n=10
B.展开式中的常数项为45
C.含x5的项的系数为210
D.展开式中的有理项有5项
答案 ABC
解析 二项展开式的通项为Tk+1=Cnkx2n-2k(-1)kx−k2
=(-1)kCnkx2n−5k2，
由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，
则Cn2Cn4=314，故n(n−1)1×2n(n−1)(n−2)(n−3)1×2×3×4=314，
得n2-5n-50=0，解得n=10(负值舍去)，故A正确；
则Tk+1=(-1)kC10kx20−5k2，
令20-5k2=0，解得k=8，
则展开式中的常数项为(-1)8C108=45，故B正确；
令20-5k2=5，解得k=6，
则含x5的项的系数为(-1)6C106=210，故C正确；
令20-5k2∈Z，则k为偶数，
此时k=0，2，4，6，8，10，故有6项为有理项，故D错误.
(2)若x+mxx−1x5的展开式中常数项是20，则m等于( )
A.-2B.-3C.2D.3
答案 D
解析 x+mxx−1x5=xx−1x5+mxx−1x5，
x−1x5的展开式的通项为
Tk+1=C5kx5-k−1xk=C5k(-1)kx5-2k，
令5-2k=-1，解得k=3，则xx−1x5的展开式的常数项为-C53=-10，
令5-2k=1，解得k=2，则mxx−1x5的展开式的常数项为mC52=10m，
因为x+mxx−1x5的展开式中常数项是20，所以10m-10=20，解得m=3.
题型二 二项式系数与项的系数的问题
命题点1 二项式系数和与系数和
例3 (1)(多选)已知(1-2x)2 026=a0+a1x+a2x2+…+a2 025x2 025+a2 026x2 026，则( )
A.展开式中二项式系数和为1
B.展开式中所有项的系数和为1
C.a12+a222+a323+…+a2 02522 025+a2 02622 026=-1
D.a1+2a2+3a3+…+2 025a2 025+2 026a2 026=4 052
答案 BCD
解析 二项展开式中的二项式系数和为22 026，故A错误；
令x=1，可得(1-2)2 026=a0+a1+a2+…+a2 025+a2 026=1，即展开式中所有项的系数和为1，故B正确；
令x=0，可得a0=1，令x=12，可得1−2×122 026=a0+a12+a222+…+a2 02522 025+a2 02622 026=0，所以a12+a222+a323+…+a2 02522 025+a2 02622 026=-1，故C正确；
将等式(1-2x)2 026=a0+a1x+a2x2+…+a2 025x2 025+a2 026x2 026两边同时求导可得，
2 026×(-2)×(1-2x)2 025=a1+2a2x+3a3x2+…+2 025a2 025x2 024+2 026a2 026x2 025，
再令x=1，可得a1+2a2+3a3+…+2 025a2 025+2 026a2 026=4 052，故D正确.
(2)(链接教材，人教A版选择性必修第三册P39数学探究)(多选)“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的一种几何排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，如图所示.下列关于“杨辉三角”的说法中正确的是( )
A.Cnr=Cn−1r−1+Cn−1r
B.Cn1+Cn2+…+Cnn=2n
C.C43+C53+C63+C73+C83=126
D.第10行从左往右第5个数与第6个数之比为5∶6
答案 AD
解析 根据组合数性质，A正确；
由Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n，得Cn1+Cn2+…+Cnn=2n-1，故B错误；
C43+C53+C63+C73+C83=C44+C43+C53+C63+C73+C83-1=C94-1=125，故C错误；
第10行从左往右第5个数与第6个数分别为C104和C105，比值为210∶252=5∶6，故D正确.
命题点2 系数与二项式系数的最值
例4 (多选)关于2x−1x6的展开式，下列结论正确的是( )
A.二项式系数和为64
B.所有项的系数之和为2
C.第三项的二项式系数最大
D.系数的最大值为240
答案 AD
解析 由二项式系数和公式知2x−1x6的二项式系数和为26=64，故A正确；
令x=1，则2x−1x6的展开式所有项的系数之和为2×1−116=1，故B错误；
易知2x−1x6的展开式共7项，所以二项式系数最大的项为第四项，故C错误；
2x−1x6的展开式通项为Tk+1=C6k(2x)6-k·(−x−1)k=26-kC6k·(-1)k·x6-2k，k=0，1，2，3，4，5，6，
记f(k)=26-kC6k·(-1)k，显然k取偶数时各项系数为正数，f(0)=26=64，f(2)=16×15=240，f(4)=4×15=60，f(6)=1，可知系数的最大值为240，故D正确.
思维升华 (1)赋值法的应用
令g(x)=(a+bx)n，则(a+bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a+bx)n的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)+g(-1)]，(a+bx)n的展开式中偶数项的系数和为12[g(1)-g(-1)].
(2)二项展开式系数最大项的求法
设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An+1，且第k项系数最大，应用Ak≥Ak−1,Ak≥Ak+1,从而解得k.
跟踪训练2 (1)(多选)已知(2x-5)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a9(x-2)9，则下列结论成立的是( )
A.a0+a1+…+a9=1
B.28a0+27a1+26a2+25a3+…+a8=256
C.a0-a1+a2-a3+…-a9=39
D.a1+2a2+3a3+…+9a9=18
答案 AD
解析 设x-2=t，原式为(2t-1)9=a0+a1t+a2t2+a3t3+…+a9t9，令t=1，a0+a1+…+a9=1，故A正确；
令t=12，则(1-1)9=a0+a12+a222+a323+…+a929，等式两边同乘28得0=28a0+27a1+26a2+25a3+…+a8+a92，又a9=29，所以28a0+27a1+26a2+25a3+…+a8=-a92=-28=-256，故B错误；
令t=-1，则(-3)9=a0-a1+a2-a3+…-a9，即a0-a1+a2-a3+…-a9=-39，故C错误；
两边同时求导得18(2t-1)8=a1+2a2t+3a3t2+…+9a9t8，再令t=1，得a1+2a2+3a3+…+9a9=18，故D正确.
(2)(2024·全国甲卷)13+x10的展开式中，各项系数的最大值是 .
答案 5
解析 二项展开式的通项为
Tk+1=C10k1310−kxk，
0≤k≤10且k∈Z，
设展开式中第k+1项系数最大，
则C10k1310−k≥C10k+1139−k,C10k1310−k≥C10k−11311−k⇒k≥294,k≤334,
即294≤k≤334，
又k∈Z，故k=8，
所以展开式中系数最大的项是第9项，
且该项系数为C108132=5.
题型三 二项式定理的综合应用
例5 (1)设a∈Z，且0≤a≤12，若512 026+a能被13整除，则a等于( )
A.0B.1C.11D.12
答案 D
解析 512 026+a=(52-1)2 026+a
=C2 0260·522 026-C2 0261·522 025+C2 0262·522 024-…-C2 0262 025·52+C2 0262 026+a，
因为512 026+a能被13整除，
所以C2 0262 026+a=1+a能被13整除，
又0≤a≤12，且a∈Z，
所以a=12.
(2)用二项式定理估算1.0110= .(精确到0.001)
答案 1.105
解析 1.0110=(1+0.01)10=1+C101×0.01+C102×0.012+C103×0.013+…≈1+0.1+0.004 5
=1.104 5≈1.105.
思维升华 二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式(数)的因式.
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1+x)n≈1+nx.
跟踪训练3 (多选)下列说法正确的是( )
A.若(x-2)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则|a0|+|a1|+…+|a6|=729
B.若3n+3n-1Cn1+3n-2Cn2+…+Cnn=218，则Cn1+Cn2+…+Cnn=512
精确到0.01的近似值为0.85
D.22 026除以15的余数为3
答案 AC
解析 在(x-2)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6中，令x=-1，则|a0|+|a1|+…+|a6|=(-3)6=729，故A正确；
因为3n+3n-1Cn1+3n-2Cn2+…+Cnn=(3+1)n=4n=22n=218，所以n=9，所以Cn1+Cn2+…+Cnn=(1+1)n-1=2n-1=29-1=511，故B错误；
0.988=(1-0.02)8=C80×(-0.02)0+C81×(-0.02)1+C82×(-0.02)2+…+C88×(-0.02)8，取展开式的前3项，则0.988精确到0.01的近似值为1-0.16+0.011 2=0.851 2≈0.85，故C正确；
22 024=(24)506=(15+1)506=C506015506+C506115505+…+C50650515+C506506
=15(C506015505+C506115504+…+C506505)+1，其中15(C506015505+C506115504+…+C506505)能被15整除，
所以22 024除以15的余数为1，
又22 026=4×22 024，所以22 026除以15的余数为4，故D错误.
课时精练
[分值：90分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2026·天津模拟)2x−1x7的展开式中x的系数是( )
A.84B.-84
C.280D.-280
答案 C
解析 由题意，二项展开式的通项为Tk+1=C7k(2x)7-k(-1)k(x−12)k=(-1)k27-kC7kx7−32k，
令7-32k=1，解得k=4，所以x的系数为(-1)4×27-4×C74=280.
2.若实数a=2-2，则a12-2C121a11+22C122a10-…+212等于( )
A.-32B.32C.-64D.64
答案 D
解析 由题意可得a12-2C121a11+22C122a10-…+212=(a-2)12=(2−2−2)12=64.
3.(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T5(1)改编)(1-2x)5(1+3x)4的展开式中按x的升幂排列的第3项为( )
A.32x3B.-32x3
C.-26x2D.26x2
答案 C
解析 展开式中有常数项、一次项、二次项等，故按x的升幂排列的第3项是x2项，整个式子中x2项可由(1-2x)5与(1+3x)4展开式的常数项与二次项、一次项与一次项相乘得到，其中(1-2x)5展开式的通项为Tr+1=C5r(-2x)r，r=0，1，2，3，4，5，(1+3x)4展开式的通项为Tk+1=C4k(3x)k，k=0，1，2，3，4，故所求为C50C42(3x)2+C51(-2x)C41(3x)+C52(-2x)2C40=-26x2.
4.(2025·永州模拟)(x2-x-2y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A.80B.40C.-60D.-120
答案 D
解析 5个因式，2个因式中取x2，1个因式中取-x，2个因式中取-2y，
即可得出含x5y2的项，其为C52(x2)2·C31(-x)·C22(-2y)2=-120x5y2，
故x5y2的系数为-120.
5.已知(x2-2)(x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9，则(a1+a3+a5+a7+a9+2)(a2+a4+a6+a8)等于( )
A.1B.2C.3D.4
答案 D
解析 令x=2，则2=a0+a1+a2+…+a9，
令x=0，则2=a0-a1+a2-…-a9，
两式相加可得2=a0+a2+a4+a6+a8，
两式相减可得0=a1+a3+a5+a7+a9，
再令x=1，得0=a0，则a2+a4+a6+a8=2，
则(a1+a3+a5+a7+a9+2)(a2+a4+a6+a8)=(0+2)×2=4.
6.在x−1xn的展开式中含x3项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的项是( )
A.第4项B.第5项
C.第6项D.第3项
答案 A
解析 由x−1xn可得x>0，
当0a>bD.b>c>a
答案 B
解析 因为b=(1.12)0.1=1.210.1，
又y=x0.1在(0，+∞)上单调递增，
所以1.20.1a；
又(1.210.1)10=1.21，
1.0210=(1+0.02)10=1+C101×0.02+C102×0.022+…+C1010×0.0210
=1+0.2+0.018+…+C1010×0.0210>1.218，
所以1.0210>(1.210.1)10，则1.02>1.210.1，即c>b.
所以c>b>a.
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二项式定理
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn(n∈N*)
二项展开式的通项
Tk+1=Cnkan-kbk，它表示展开式的第k+1项
二项式系数
Cnk(k=0，1，…，n)