第十章　§10.3　随机事件与概率-2027年高考数学大一轮复习课件（课件+解析版讲义）

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1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率.
1.样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示.全体样本点的集合称为试验E的 ，常用Ω表示.②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.(2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件.②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示.③随机事件的极端情形： 、 .
2.两个事件的关系和运算
A∩B=∅，且A∪B=Ω
5.概率的性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(⌀)=0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)= ；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)= ；性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为⌀⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1；性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=_______ .
P(B)-P(A∩B)
6.频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.(2)频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.(　　)(2)事件A与事件B同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小.(　　)(3)事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大.(　　)(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件.(　　)
2.(人教A版必修第二册P235练习T1)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是A.至多一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都没有中靶
解析　 “至少一次中靶”表示两次射击中一次中靶，另一次没中靶或两次都中靶，其对立事件为两次都没有中靶.
4.抛掷一枚骰子，记事件A为“出现点数是奇数”，事件B为“出现点数是3的倍数”，则P(A∪B)=　　，P(A∩B)=　　.
1.当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件.2.若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
命题点1　随机事件关系的判断
例1　(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”，G=“点数大于2”，H=“点数小于2”，R=“点数为3”.则下列结论正确的是A.E，F为对立事件B.G，H为互斥不对立事件C.E，G不是互斥事件D.G，R是互斥事件
解析　 “点数为奇数”与“点数为偶数”不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确；“点数大于2”与“点数小于2”不可能同时发生，且不是必有一个发生，G，H为互斥不对立事件，选项B正确；“点数为奇数”与“点数大于2”可能同时发生，E，G不是互斥事件，选项C正确；“点数大于2”与“点数为3”可能同时发生，G，R不是互斥事件，选项D不正确.
命题点2　利用互斥、对立事件求概率
(2)某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.2，则这个射手在一次射击中射中的环数小于7环的概率为　　　　.
命题点3　利用频率估计概率
事件关系的运算策略进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式.
跟踪训练1　(1)(多选)(2025·邵阳模拟)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.1，0.2，0.3，0.4，则下列说法错误的是A.A+B与C是互斥事件，也是对立事件B.B+C与D是互斥事件，也是对立事件C.A+C与B+D是互斥事件，但不是对立事件D.A与B+C+D是互斥事件，也是对立事件
解析　因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A+B与C也互斥，但是P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.2=0.3，又P(A+B)+P(C)=0.3+0.3=0.6，所以A+B与C不是对立事件，故A错误；因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以B+C与D也互斥，但是P(B+C)=P(B)+P(C)=0.2+0.3=0.5，P(B+C)+P(D)=0.5+0.4=0.9，所以B+C与D不是对立事件，故B错误；
解析　因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A+C与B+D也互斥，又因为P(A+C)=P(A)+P(C)=0.1+0.3=0.4，P(B+D)=P(B)+P(D)=0.2+0.4=0.6，又因为P(B+D)+P(A+C)=0.6+0.4=1，所以A+C与B+D是对立事件，故C错误；因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A与B+C+D也互斥，又因为P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.2+0.3+0.4=0.9，所以P(B+C+D)+P(A)=0.9+0.1=1，所以A与B+C+D也是对立事件，故D正确.
利用公式法求解古典概型问题的步骤
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为　　.
解析　因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为3.若甲的总得分为3，则甲出卡片3，5，7时都赢，所以只有1种组合：3-2，5-4，7-6，1-8.若甲的总得分为2，有以下三类情况：第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为3-2，5-4，1-6，7-8；第二类，当甲出卡片3和7时赢，有3-2，7-4，1-6，5-8或3-2，7-4，1-8，5-6或3-2，7-6，1-4，5-8，共3种组合；
例5　(2026·上海徐汇区期中)人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1 200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况，数据如右.假设用频率估计概率.(1)求a的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
例5　(2026·上海徐汇区期中)人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1 200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况，数据如右.假设用频率估计概率.(2)事件“在甲类题材‘新闻稿’中随机抽取2个‘一’，其中搭配‘一个’出现的次数仅为1次”，求该事件发生的概率；
例5　(2026·上海徐汇区期中)人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1 200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况，数据如右.假设用频率估计概率.(3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B并进行统计，其中“一”出现了24次，“一格”出现了2次，则在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？
求解概率的综合问题时，一要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型，二要根据公式准确计算.
级学生一个学期自修时间(单位：小时)，所得数据都在[50，150]内，将所得的数据分成4组：[50，75)，[75，100)，[100，125)，[125，150]，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值；
跟踪训练3　假日留校自修是某中学的优良传统，学校调查统计了高二年
解　由频率分布直方图可知(0.004+0.008+0.012+a)×25=1，解得a=0.016.
跟踪训练3　假日留校自修是某中学的优良传统，学校调查统计了高二年级学生一个学期自修时间(单位：小时)，所得数据都在[50，150]内，将所得的数据分成4组：[50，75)，[75，100)，[100，125)，[125，150]，得到如图所示的频率分布直方图.(2)从[75，100)和[100，125)这两组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生来自不同组的概率.
(1)①由题意，问卷调查人数为118-(13+5)=100，其中男性60人，女性40人，得完整2×2列联表如表.
解析　从5个男生、2个女生中任意选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件.
一、单项选择题1.从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是A.3个都是男生B.至少有1个男生C.3个都是女生D.至少有1个女生
二、多项选择题7.(2025·许昌模拟)柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件A=“取出的鞋不成双”，事件B=“取出的鞋都是左脚的”，事件C=“取出的鞋都是一只脚的”，事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列结论成立的是A.D⊆AB.A=C∪DC.B与D互斥D.C与D对立
解析　选项A，事件A=“取出的鞋不成双”，事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，D发生时A一定发生，所以D⊆A，A正确；选项B，事件C=“取出的鞋都是一只脚的”，包含“都是左脚”和“都是右脚”，事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，A(不成双)就是“都是一只脚(C)”或“一只左脚一只右脚但不成双(D)”，即A=C∪D，B正确；
解析　选项C，事件B(都是左脚)与事件D(一只左脚一只右脚但不成双)不可能同时发生，所以B与D互斥，C正确；选项D，事件C(都是一只脚)与事件D(一只左脚一只右脚但不成双)，除了C和D的情况，还有“取出的鞋是一双”的情况，所以C与D不对立，D错误.
8.某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的双皮奶，同时尽量减少滞销，统计了30天的销售情况，得到如下数据：
三、填空题9.(2025·八省联考)有8张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为　　　.
10.从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点，则这4个点在同一个平面的概率为　　.
四、解答题11.某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
11.某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生不少于2人的概率.
(1)①完成上面2×2列联表；
解　由题意，问卷调查人数为118-(13+5)=100，其中男性60人，女性40人，得完整2×2列联表如表.
(1)②依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关？
(2)用按比例分配的分层随机抽样的方法在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中恰有2人是女性的概率.
14.(2025·泉州模拟)如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为　　　.