2027年高考数学一轮复习第三章　进阶篇　导数中的零点问题　进阶2　隐零点学案含解析

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题型一 隐零点问题
例1 (2026·开封模拟)已知函数f(x)=aex-lnx+1x-1，a>0.
(1)当a=2时，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有唯一的零点，求a的值.
解 (1)当a=2时，f(x)=2ex-lnx+1x-1，x>0，
f'(x)=2ex+lnxx2，
所以f(1)=2e-2，f'(1)=2e，
所以f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y-(2e-2)=2e(x-1)，
即2ex-y-2=0.
(2)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
f'(x)=aex+lnxx2=1x2(ax2ex+ln x)，
令g(x)=ax2ex+ln x，x>0，a>0，
则g'(x)=a(x2+2x)ex+1x>0，
即g(x)在(0，+∞)上单调递增，
当x→0时，g(x)→-∞，
当x=1时，g(1)=ae>0，
所以∃x0∈(0，1)，使得g(x0)=0，
即f'(x0)=0，
且当x∈(0，x0)时，g(x)0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x=x0处取得极小值，也是最小值，
又当x→0时，f(x)→+∞，
当x→+∞时，f(x)→+∞，
故若f(x)有唯一的零点，则必有f(x0)=0，
即aex0+ln x0x02=0, ①aex0−ln x0+1x0−1=0, ②
消去a可得ln x0x02+ln x0+1x0+1=0，
即(x0+ln x0)(x0+1)=0，
又因为x0∈(0，1)，所以x0+ln x0=0，
由②式可得ax0ex0-ln x0-x0-1=0，
即aex0+ln x0-(x0+ln x0)-1=0，
将x0+ln x0=0代入可得a-1=0，即a=1，
综上可知，若f(x)有唯一的零点，则a=1.
思维升华 (1)零点确定性过程：确认隐零点可直接利用函数零点存在定理，也可由函数的图象特征，以及题设条件来确定隐零点的存在.
(2)虚设零点，单调性分析：零点不可解，不妨设为x0，以零点为分界点，说明导函数符号的正负，进而得到题设函数最值的表达式.
(3)代换化简(难点)：找到隐零点满足的方程，可以用来对目标式进行代换与化简.
跟踪训练1 已知函数f(x)=sin x+ax2.
(1)若a=12，求f(x)在(0，π)上的值域；
(2)若a≤0，求f(x)在(0，π)上的零点个数.
解 (1)当a=12时，f(x)=sin x+12x2，x∈(0，π)，
此时f'(x)=cs x+x，
令g(x)=cs x+x，x∈(0，π)，
则g'(x)=1-sin x≥0，
则g(x)(即f'(x))在(0，π)上单调递增，
所以f'(x)>f'(0)=1>0，
故f(x)在(0，π)上单调递增，
又f(0)=0，f(π)=π22，
所以f(x)在(0，π)上的值域为0，π22.
(2)由题f'(x)=cs x+2ax，
令h(x)=cs x+2ax，x∈(0，π)，
则h'(x)=-sin x+2a，x∈(0，π)，sin x∈(0，1]，
当a=0时，f(x)=sin x，根据正弦函数性质知f(x)在(0，π)上的零点个数为0；
当a0⇒x∈(0，x0)；f'(x)0，f(x0)>0，
又f(π)=aπ20，
得g'(x)=1x-aex，
显然g'(x)在(0，+∞)上单调递减，
令h(x)=ex-x-1，h'(x)=ex-1，
当x0，
则h(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，
∀x∈R，h(x)≥h(0)=0，即ex≥x+1，
当且仅当x=0时等号成立，
因此，e-x≥-x+1，当00，
而g'1a=a-ae1a0，
当x>x0时，g'(x)0，f(x)在(1，x0)上单调递增，
当x∈(1，x0)时，f(x)>f(1)=0，不符合题意，
当x0=1时，f'(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，∀x∈(0，+∞)，f'(x)≤f'(1)=0，
得f(x)在(0，+∞)上单调递减，而f(1)=0，即当x∈(0，1)时，f(x)>0，
当x∈(1，+∞)时，f(x)0在(1，+∞)上恒成立，
所以函数f(x)在区间(1，+∞)上单调递增.
(3)解 由(2)知f(x)=x-x−1ex，f'(x)=ex+x−2ex，
令f'(x)=0，得ex+x-2=0，
由(2)知h(x)在R上是增函数，
且h(0)=-10，
故存在唯一零点x0∈(0，1)，使得h(x0)=0，
即存在唯一零点x0∈(0，1)，满足f'(x0)=0，
即ex0+x0-2=0，则ex0=2-x0，
且当x∈(-∞，x0)时，f'(x)0，
即h(x)在(0，+∞)上单调递增.
又h1e=e1e−2-10，
故存在唯一的x0∈1e，1，使得h(x0)=0，
当x∈(0，x0)时，h(x)0，g(x)在(x0，+∞)上单调递增，
且x02ex0+ln x0=0，
则x0ex0=-ln x0x0，
所以x0ex0=ln1x0·eln 1x0，
设t(x)=xex，x>0，则t'(x)=ex(x+1)>0，
所以t(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以t(x0)=tln1x0，x0∈1e，1，ln1x0∈(0，1)，
所以x0=ln1x0，即ex0=1x0，
所以g(x)的最小值为g(x0)=x0ex0−ln x0−1x0=x0·1x0+x0−1x0=1，
所以a≤1，即实数a的取值范围是(-∞，1].
2.(17分)设函数y=f(x)在区间D上的导函数为f'(x)，且f'(x)在D上存在导函数f″(x)(其中f″(x)=[f'(x)]').定义：若区间D上f″(x)0，
即g(x)在(0，x0)上单调递增；
又g(0)=2sin 0-02+1=1，显然在(0，x0)上g(x)不存在零点，且g(x0)>0，
而g(π)=2sin π-π2+1=1-π2