2027年高考数学一轮复习第三章　进阶篇　导数中的零点问题　进阶1　零点个数问题学案含解析

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重点解读 导数在研究函数的单调性、极值和最值方面有着重要的作用，而这些问题的解决都离不开一个基本要点，即函数的零点.比如，导函数的零点既可能是原函数单调区间的分界点，也可能是原函数的极值点，或是最值点.可以说，抓住了函数的零点，也就抓住了导数问题的要点.
题型一 利用导数研究零点个数
例1 (2026·湛江模拟)已知函数f(x)=aln(x-1)+x2-2x，其中a∈R.
(1)若a=-8，求函数f(x)的单调区间；
(2)当a1，f'(x)=ax−1+2x-2=2(x−1)2+ax−1，
当a=-8时，f'(x)=2(x−1)2−8x−1.
令f'(x)=0，得x=3或x=-1(舍去).
当x∈(1，3)时，f'(x)0，故f(x)单调递增，
当a1，
所以x0=1+−a2.
当x∈(1，x0)时，f'(x)0，g(x)单调递增，
从而g(x)≥g(1)=0，
所以当x>1时，ln(x-1)≤x-2，
又a2-a，则x1+a-2>0，则f(x1)>0.
易得当ax0，所以f(x)=0在(x0，+∞)上有唯一解.
综上，当a1且x≠2)，
易得g(x)在(1，2)和(2，+∞)上单调递减.
因为limx→2−x2+2xln(x−1)=limx→2−2(x−1)1x−1=-2(洛必达法则)，
所以当x∈(2，+∞)时，g(x)0，f(x)单调递增；
当x∈(2，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)的极大值为f(-2)=(2+22)e−2，极小值为f(2)=(2-22)e2.
(2)g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点个数即为y=f(x)与y=a图象的交点个数，
由f(x)=(x2-2x)ex，可得f(0)=0，f(2)=0，
当x0；当0e-1，a>e−12，
所以a的取值范围是e−12，+∞.
思维升华 (1)分离参数法：分离之后函数无参数，则可得到函数的图象，然后上下移动参数的值，观察直线与函数图象交点个数即可.
(2)隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个为容易求导的不含参函数，另一个为图象是一条直线的含参函数，观察它们图象的变化趋势，找到临界的位置，易求得参数的取值范围.
(3)直接构造法：直接研究函数f(x)，对参数进行分类讨论，判断函数单调性，利用函数零点存在定理，判断零点个数，从而求出参数的取值范围.
跟踪训练2 已知函数f(x)=aln x+bx2在点P(1，f(1))处的切线方程为2x-y-3=0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)=f(x)+m在[1，e]上有两个零点，求实数m的取值范围.
解 (1)由题意可知f'(x)=ax+2bx(x>0)，
因为函数f(x)=aln x+bx2在点P(1，f(1))处的切线方程为2x-y-3=0，
所以f'(1)=a+2b=2，f(1)=b=-1，
解得a=4，b=-1，
所以f(x)=4ln x-x2.
(2)由g(x)=f(x)+m=0，
可得m=-f(x)=x2-4ln x，
令h(x)=x2-4ln x，1≤x≤e，
则h'(x)=2x-4x=2x2−4x，
当1≤x0，函数h(x)单调递增，
所以函数h(x)在[1，e]上的最小值为h(2)=2-4ln2=2-2ln 2，h(1)=1，h(e)=e2-4，
由题意可知，直线y=m与函数h(x)在[1，e]上的图象有且只有两个交点，如图所示，
由图可知，实数m的取值范围是(2-2ln 2，1].
课时精练
[分值：30分]
1.(15分)已知函数f(x)=a(ex+a)-x-2.
(1)求函数f(x)的单调区间；(6分)
(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.(9分)
解 (1)f'(x)=aex-1，
当a≤0时，f'(x)0时，令f'(x)