2027年高考数学一轮复习第三章　§3.5　函数中的构造问题学案含解析

这是一份2027年高考数学一轮复习第三章　§3.5　函数中的构造问题学案含解析，共16页。
题型一 利用f(x)进行抽象函数构造
命题点1 构造和差型函数
例1 (多选)定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0，则下列结论正确的是( )
A.f(2)-ln 2>f(1)
B.f(4)-f(2)>ln 2
C.f(2)+ln 2>f(e)+1
D.f(e2)-f(e)>1
答案 ABD
解析 构造函数g(x)=f(x)-ln x，x>0，
则g'(x)=f'(x)-1x=xf'(x)−1x，
因为xf'(x)-1>0，所以g'(x)>0，故g(x)是增函数.
由g(2)>g(1)得f(2)-ln 2>f(1)-ln 1，
即f(2)-ln 2>f(1)，故A正确；
由g(4)>g(2)得f(4)-ln 4>f(2)-ln 2，
即f(4)-f(2)>ln 4-ln 2=ln 2，故B正确；
由g(e)>g(2)得f(e)-ln e>f(2)-ln 2，
即f(e)+ln 2>f(2)+1，故C错误；
由g(e2)>g(e)得f(e2)-ln e2>f(e)-ln e，
即f(e2)-2>f(e)-1，即f(e2)-f(e)>1，故D正确.
思维升华 此类问题一般将不等式的两端转化为相同形式，然后利用单调性求解.
命题点2 利用f(x)与xn构造
例2 已知函数f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，当x∈(0，+∞)时，xf'(x)0，
因此函数g(x)是增函数，
于是得g(2 026)>g(2 025)，
即f(2 026)+2e2 026>f(2 025)+2e2 025，
所以f(2 026)+2>e[f(2 025)+2]，
即f(2 026)-ef(2 025)>2(e-1).
思维升华 (1)出现f'(x)+nf(x)形式，构造函数F(x)=enxf(x).
(2)出现f'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=f(x)enx.
命题点4 利用f(x)与sin x，cs x构造函数
例4 (多选)定义在0，π2上的函数f(x)，已知f'(x)是它的导函数，且恒有cs x·f'(x)+sin x·f(x)3f π3
D.2f π6>3f π4
答案 ACD
解析 g(x)=f(x)csx，x∈0，π2，
则g'(x)=csx·f'(x)+sinx·f(x)cs 2x，
因为cs x·f'(x)+sin x·f(x)2ex+1的解集为( )
A.(-∞，0)B.(0，+∞)
C.(-∞，1)D.(1，+∞)
答案 B
解析 设g(x)=f(x)−1ex，
对g(x)求导，则g'(x)=f'(x)ex−ex[f(x)−1](ex)2=f'(x)−f(x)+1ex.
因为f(x)0，而ex>0恒成立，所以g'(x)>0恒成立，
所以函数g(x)是R上的增函数.
又f(0)=3，则g(0)=f(0)−1e0=3−11=2.
不等式f(x)>2ex+1可变形为f(x)-1>2ex，即f(x)−1ex>2，即g(x)>g(0).
因为g(x)是R上的增函数，所以x>0，
即不等式f(x)>2ex+1的解集为(0，+∞).
题型二 构造具体函数
例5 (1)已知a=ln109，b=19，c=e−89，则( )
A.ae0-1=0，
故f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(x)>f(0)=e0-0-1=0，
则f(0.05)=e0.05-0.05-1=e0.05-1.05>0，故e0.05>1.05，f(ln 1.05)=1.05-ln 1.05-1>0，
故1.05>ln 1.05+1，故e0.05>ln 1.05+1>1>2021，即a>b>c.
思维升华 通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜明的结构特点，然后依据此特点构造新函数.常用的不等式：sin xxD.z>x>y
答案 C
解析 令f(t)=ln t-2t，t>0，
则f'(t)=1t-12t=2−t2t，
则当t∈(0，2)时，f'(t)>0，
当t∈(2，+∞)时，f'(t)y>x.
泰勒展开式
1.泰勒公式
如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对∀x∈(a，b)，
有f(x)=f(x0)+f'(x0)1！(x-x0)+f″(x0)2！(x-x0)2+…+f(n)(x0)n！(x-x0)n+Rn(x)，
其中f(n)(x0)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，Rn(x)是余项，等号后的多项式称为函数f(x)在x=x0处的n阶泰勒展开式.
2.麦克劳林公式
f(x)=f(0)+f'(0)1！x+f″(0)2！x2+…+f(n)(0)n！xn+Rn(x)，
麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及.
3.常见函数的麦克劳林展开式((xn)是高阶无穷小量)
(1)ex=1+x+x22！+…+xnn！+(xn)；
(2)sin x=x-x33！+x55！-…+(-1)n-1x2n−1(2n−1)！+(x2n-1)；
(3)cs x=1-x22！+x44！-x66！+…+(-1)nx2n(2n)！+(x2n)；
(4)ln(1+x)=x-x22+x33-…+(-1)n-1xnn+(xn)，x∈(-1，1]；
(5)11−x=1+x+x2+…+xn+(xn)；
(6)(1+x)α=1+αx+α(α−1)2！x2+…+α(α−1)…(α−n+1)n！xn+(xn)，x∈(-1，1).
4.两个超越不等式(注意解答题需先证明后使用)
(1)对数型超越放缩：x−1x≤ln x≤x-1(x>0)；
(2)指数型超越放缩：x+1≤ex≤11−x(x0恒成立，
故f(x)在(1，+∞)上单调递增，
则f(π-2)=e(π-2)-1-(π-2)>f(1)=0，即a>c；
令g(x)=ln x-x+1，
当x>1时，g'(x)=1x-1=1−xx