2027年高考数学一轮复习第三章　§3.3　导数与函数的极值、最值学案含解析

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1.函数的极值
(1)函数的极小值
函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f'(a)=0；而且在点x=a附近的左侧f'(x)0，
则g(x)在(-∞，-2)和(0，+∞)上单调递增；
当-20,a0，f(x)单调递增；当-10，f(x)单调递增，
所以函数f(x)在x=1处取得极大值，不符合题意，
综上，f(x)的极大值为4.
(2)若函数y=x3-2ax在(0，3)上无极值，则实数a的取值范围是( )
A.0，92
B.(-∞，0]
C.(-∞，0]∪92，+∞
D.(-∞，0]∪92，+∞
答案 C
解析 由函数y=x3-2ax在(0，3)上无极值，得y'=3x2-2a在(0，3)上无变号零点，
而函数y'=3x2-2a在(0，3)上单调递增，则-2a≥0或9-2a≤0，解得a≤0或a≥92，
所以实数a的取值范围是(-∞，0]∪92，+∞.
题型二 利用导数求函数的最值
命题点1 不含参函数的最值
例4 (2025·全国Ⅰ卷改编)求函数f(x)=5cs x-cs 5x在区间0，π4的最大值.
解 方法一 f'(x)=5(sin 5x-sin x)=5[sin(3x+2x)-sin(3x-2x)]=10cs 3xsin 2x，
令f'(x)=0，因为x∈0，π4，解得x=0或x=π6，
当x∈0，π6时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈π6，π4时，f'(x)0，
当π60，得ln a0，则f(x)单调递增，所以当x=2时，f(x)有极小值f(2)，故B正确；
由f'(x)的图象结合单调性可知，当x=-2，2，4时，f(x)有极值，所以f(x)有3个极值点，故C错误；
当x∈(-3，-2)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(-3)0；
当10时，f(x)=(x2-3)ex+2，则( )
A.f(0)=0
B.当x2， 故C错误；
对于D，当x0；
当-30，令f'(x)>0，解得x>ln a，
令f'(x)0，
令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)0等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
[13题5分，14题6分，共11分]
13.(2025·上饶模拟)利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学的知识，探究函数f(x)=xx，x∈(0，+∞)，下列说法正确的是( )
A.f(x)有且只有一个极大值点
B.f(x)在0，1e上单调递增
C.存在实数a∈(0，+∞)，使得f(a)=1e
D.f(x)有最小值，最小值为1e1e
答案 D
解析 由x>0，则f(x)=xx=eln xx=exln x，x∈(0，+∞)，
令g(x)=xln x，x>0，则g'(x)=1+ln x，
令g'(x)=0，解得x=1e，
当00，g(x)在1e，+∞上单调递增，
f(x)由函数y=eu与u=g(x)复合而成，而y=eu在(-∞，+∞)上单调递增，
故f(x)在0，1e上单调递减，在1e，+∞上单调递增，
所以f(x)在x=1e处取得极小值f 1e=e−1e=1e1e，且无极大值，
又f(x)min=f 1e=e−1e>e-1=1e，故不存在实数a∈(0，+∞)，使得f(a)=1e.
故A，B，C错误，D正确.
14.(多选)已知可导函数y=f(x)(x≠0)的导函数为f'(x)=x(ln|x|+x2-1)，则( )
A.y=f(x)有2个极值点
B.y=f'(x)有3个零点
C.y=f(x)只可能在x=1或x=-1处取得最小值
D.对∀x∈(-1，0)∪(1，+∞)，f'(x)>0恒成立
答案 ACD
解析 由f'(x)=x(ln|x|+x2-1)，易知f'(x)为奇函数，令h(x)=ln|x|+x2-1，
当x>0时，h(x)=ln x+x2-1，h'(x)=1x+2x>0，故h(x)在(0，+∞)上单调递增，
h(1)=0，显然函数h(x)在(0，+∞)上存在唯一零点，所以函数f'(x)在(0，+∞)上存在唯一零点，
则当x∈(0，1)时，f'(x)