第三章　§3.3　导数与函数的极值、最值-2027年高考数学大一轮复习课件（讲义含答案）

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1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.
1.函数的极值(1)函数的极小值函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f'(a)=0；而且在点x=a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f'(b)=0；而且在点x=b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 .
2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y=f(x)在区间(a，b)内的 ；②将函数y=f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
端点处的函数值f(a)，f(b)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.(　　)(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.(　　)(3)函数的极小值一定是函数的最小值.(　　)(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.(　　)
4.若函数f(x)=x(x+a)在x=1处取得极小值，则实数a的值为　　　. 
解析　由已知可得f'(x)=x+a+x=2x+a，又函数f(x)=x(x+a)在x=1处有极小值，所以f'(1)=2+a=0，解得a=-2，所以f'(x)=2x-2，当x0，所以函数f(x)在x=1处取得极小值，故a=-2.
解题时灵活应用转化以下几个关键点(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1).(2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念.(3)有极值的函数一定不是单调函数.(4)“f'(x0)=0”是“x0为可导函数f(x)的极值点”的必要不充分条件.例如f(x)=x3，f'(0)=0，但0不是极值点.(5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.
例1　(多选)已知函数y=f(x)，其导函数y=f'(x)的部分图象如图，则对于函数y=f(x)的描述正确的是A.在(-2，-1)上单调递增B.在(1，2)上单调递增C.-1为极值点D.1为极值点
命题点1　根据函数图象判断极值
解析　由y=f'(x)的图象可得，当x≤-3或-1≤x≤3时，f'(x)≥0；当-30，则g(x)在(-∞，-2)和(0，+∞)上单调递增；当-20，解得x>ln a，令f'(x)g(1)，解得a>1，所以a的取值范围为(1，+∞).方法二　因为f(x)的定义域为R，且f'(x)=ex-a，若f(x)有极小值，
则f'(x)=ex-a有零点，令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a，可知y=ex与y=a有交点，则a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a；令f'(x)0等价于g(a)>g(1)，解得a>1，所以a的取值范围为(1，+∞).
2.(2025·楚雄模拟)已知定义域为[-3，5]的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)的图象如图所示，则A.f(x)在(-2，2)上先增后减B.f(x)有极小值f(2)C.f(x)有2个极值点D.f(x)在x=-3处取得最大值
解析　由f'(x)的图象可知，当x∈(-2，2)或x∈(4，5)时，f'(x)0，当x∈(1，+∞)时，h'(x)0，令f'(x)>0，解得x>ln a，令f'(x)g(1)，解得a>1，所以a的取值范围为(1，+∞).方法二　因为f(x)的定义域为R，且f'(x)=ex-a，若f(x)有极小值，
解　则f'(x)=ex-a有零点，令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a，可知y=ex与y=a有交点，则a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a；令f'(x)0等价于g(a)>g(1)，解得a>1，所以a的取值范围为(1，+∞).
14.(多选)已知可导函数y=f(x)(x≠0)的导函数为f'(x)=x(ln|x|+x2-1)，则A.y=f(x)有2个极值点B.y=f'(x)有3个零点C.y=f(x)只可能在x=1或x=-1处取得最小值D.对∀x∈(-1，0)∪(1，+∞)，f'(x)>0恒成立
解析　同理可得f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，0)上单调递增，x=-1为f(x)的极小值点，所以函数f(x)有2个极值点，由函数f'(x)为奇函数，h(1)=0，可得f'(x)存在2个零点：-1，1，故A，C，D正确，B错误.