2021高考数学一轮复习学案：第三章3.3导数与函数的极值、最值

§3.3　导数与函数的极值、最值

1．函数的极值与导数

2.函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值；若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值．

概念方法微思考

1．对于可导函数f (x)，“f′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)

提示　必要不充分

2．函数的最大值一定是函数的极大值吗？

提醒　不一定，函数的最值可能在极值点或端点处取到．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数的极大值不一定比极小值大．(　√　)

(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(　×　)

(3)开区间上的单调连续函数无最值．(　√　)

题组二　教材改编

2．函数f (x)＝2x－xln x的极值是(　　)

A.  B.  C．e  D．e2

答案　C

解析　因为f′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x，当f′(x)>0时，解得0<x<e；当f′(x)<0时，解得x>e，所以x＝e时，f (x)取到极大值，f (x)极大值＝f (e)＝e.故选C.

3．当x>0时，ln x，x，ex的大小关系是________．

答案　ln x<x<ex

解析　构造函数f (x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1，可得x＝1为函数f (x)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f (x)≤f (1)＝－1<0，所以ln x<x.同理可得x<ex，故ln x<x<ex.

4．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．

答案　a3

解析　容积V＝(a－2x)2x,0<x<，则V′＝2(a－2x)×(－2x)＋(a－2x)2＝(a－2x)(a－6x)，由V′＝0得x＝或x＝(舍去)，则x＝为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmax＝a3.

题组三　易错自纠

5．(多选)函数y＝f (x)的导函数f′(x)的图象如图所示，以下命题错误的是(　　)

A．－3是函数y＝f (x)的极值点

B．－1是函数y＝f (x)的最小值点

C．y＝f (x)在区间(－3,1)上单调递增

D．y＝f (x)在x＝0处切线的斜率小于零

答案　BD

解析　根据导函数的图象可知当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，＋∞)时，f′(x)≥0，

∴函数y＝f (x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，则－3是函数y＝f (x)的极值点，

∵函数y＝f (x)在(－3，＋∞)上单调递增，∴－1不是函数y＝f (x)的最小值点，

∵函数y＝f (x)在x＝0处的导数大于0，∴y＝f (x)在x＝0处切线的斜率大于零．

故错误的命题为BD.

6．若函数f (x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，m＝________.

答案　4

解析　f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f (x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f (0)＝m，f (3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f (x)max＝f (0)＝4，所以m＝4.

7．已知函数f (x)＝x3＋x2－2ax＋1，若函数f (x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________．

答案　

解析　f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在(1,2)上是单调递增函数，因此解得<a<4，故实数a的取值范围为.

用导数求解函数极值问题

命题点1　根据函数图象判断极值

例1　设函数f (x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (1)

B．函数f (x)有极大值f (－2)和极小值f (1)

C．函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (－2)

D．函数f (x)有极大值f (－2)和极小值f (2)

答案　D

解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；

当－2<x<1时，f′(x)<0；

当1<x<2时，f′(x)<0；

当x>2时，f′(x)>0.

由此可以得到函数f (x)在x＝－2处取得极大值，

在x＝2处取得极小值．

命题点2　求已知函数的极值

例2　已知函数f (x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f (x)的极值．

解　因为f (x)＝x2－1－2aln x(x>0)，

所以f′(x)＝2x－＝.

①当a<0时，因为x>0，且x2－a>0，所以f′(x)>0对x>0恒成立．所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，f (x)无极值．

②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．

所以当x变化时，f′(x)，f (x)的变化情况如下表：

所以当x＝时，f (x)取得极小值，且f ()＝()2－1－2aln ＝a－1－aln a．无极大值．

综上，当a<0时，函数f (x)在(0，＋∞)上无极值．

当a>0时，函数f (x)在x＝处取得极小值a－1－aln a，无极大值．

命题点3　已知极值点求参数

例3　(1)(2020·江西八校联考)若函数f (x)＝x2－x＋aln x在(1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为________．

(2)若函数f (x)的导数f′(x)＝(x－k)k，k≥1，k∈Z，已知x＝k是函数f (x)的极大值点，则k＝______.

答案　(1)(－∞，－1)　(2)1

解析　(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝2x－1＋＝，

由题意知2x2－x＋a＝0在R上有两个不同的实数解，且在(1，＋∞)上有解，

所以Δ＝1－8a>0，且2×12－1＋a<0，

所以a∈(－∞，－1)．

(2)因为函数的导数为f′(x)＝(x－k)k，k≥1，k∈Z，

所以若k是偶数，则x＝k不是极值点，则k是奇数，

若k<，由f′(x)>0，解得x>或x<k；

由f′(x)<0，解得k<x<，

即当x＝k时，函数f (x)取得极大值．

因为k≥1，k∈Z，所以k＝1，

若k>，由f′(x)>0，解得x>k或x<；

由f′(x)<0，解得<x<k，

即当x＝k时，函数f (x)取得极小值不满足条件．

思维升华 函数极值的两类热点问题

(1)求函数f (x)极值的一般解题步骤

①确定函数的定义域．

②求导数f′(x)．

③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根．

④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．

(2)根据函数极值情况求参数的两个要领

①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．

②验证：求解后验证根的合理性．

跟踪训练1　(1)(2019·镇江模拟)已知函数f (x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f (x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________．

答案　(－1,0)

解析　若a＝0，则f′(x)＝0，函数f (x)不存在极值；若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f (x)不存在极值；若a>0，当x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f (x)在x＝a处取得极小值；若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′(x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f (x)在x＝a处取得极大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f′(x)>0，所以函数f (x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1,0)．

(2)已知函数f (x)＝ax－1－ln x(a∈R)．讨论函数f (x)在定义域内的极值点的个数．

解　f (x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝a－＝，

当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，

∴f (x)在(0，＋∞)上没有极值点；

当a>0时，由f′(x)<0得0<x<，

由f′(x)>0，得x>，

∴f (x)在上单调递减，在上单调递增，即f (x)在x＝处有极小值，无极大值．

综上，当a≤0时，f (x)在(0，＋∞)上没有极值点，当a>0时，f (x)在(0，＋∞)上有一个极值点．

用导数求函数的最值

例4　已知函数f (x)＝＋kln x，k<，求函数f (x)在上的最大值和最小值．

解　f′(x)＝＋＝.

①若k≤0，则在上恒有f′(x)<0，

所以f (x)在上单调递减．

②若0<k<，则f′(x)＝＝，

由k<，得>e，

则x－<0在上恒成立，

所以<0在上恒成立，

所以f (x)在上单调递减．

综上，当k<时，f (x)在上单调递减，

所以f (x)min＝f (e)＝＋k－1，

f (x)max＝f ＝e－k－1.

若本例条件中的“k<”改为“k≥”，则函数f (x)在上的最小值是多少？

解　f′(x)＝＝，

∵k≥，∴0<≤e，

若0<≤，即k≥e时，f′(x)≥0在上恒成立，

f (x)在上为增函数，f (x)min＝f ＝e－k－1.

若<<e，即<k<e时，f (x)在上为减函数，在上为增函数，f (x)min＝f ＝k－1－kln k.

当k＝时，f (x)在上为减函数，无最小值．

综上，当<k<e时，f (x)min＝k－1－kln k，当k≥e时，f (x)min＝e－k－1，当k＝时，f (x)在上无最小值．

思维升华　(1)若函数f (x)在闭区间[a，b]上单调递增或单调递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．

(2)若函数f (x)在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f (a)，f (b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．

(3)函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极大(或极小)值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．

跟踪训练2　(2020·福州检测)已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)，求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．

解　g(x)的定义域为(0，＋∞)，

g′(x)＝＋2x－(a＋2)＝

＝.

①当≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上为增函数，h(a)＝g(1)＝－a－1；

②当1<<e，即2<a<2e时，g(x)在上为减函数，在上为增函数，h(a)＝g＝aln －a2－a；

③当≥e，即a≥2e时，g(x)在[1，e]上为减函数，h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.

综上，h(a)＝