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    2021高考数学一轮复习学案:第三章3.3导数与函数的极值、最值
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    2021高考数学一轮复习学案:第三章3.3导数与函数的极值、最值

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    §3.3 导数与函数的极值最值

    1函数的极值与导数

    条件

    f(x0)0

    x0附近的左侧f(x)>0,右侧f(x)<0

    x0附近的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0

    图象

    极值

    f (x0)极大值

    f (x0)极小值

    极值点

    x0极大值点

    x0极小值点

     

    2.函数的最值

    (1)在闭区间[ab]上连续的函数f (x)[ab]上必有最大值与最小值

    (2)若函数f (x)[ab]上单调递增f (a)为函数的最小值f (b)为函数的最大值若函数f (x)[ab]上单调递减f (a)为函数的最大值f (b)为函数的最小值

    概念方法微思考

    1对于可导函数f (x)f(x0)0函数f (x)xx0处有极值________条件(充要”“充分不必要”“必要不充分)

    提示 必要不充分

    2函数的最大值一定是函数的极大值吗

    提醒 不一定函数的最值可能在极值点或端点处取到

    题组一 思考辨析

    1判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”“×”)

    (1)函数的极大值不一定比极小值大(  )

    (2)函数的极小值一定是函数的最小值( × )

    (3)开区间上的单调连续函数无最值(  )

    题组二 教材改编

    2函数f (x)2xxln x的极值是(  )

    A.  B.  Ce  De2

    答案 C

    解析 因为f(x)2(ln x1)1ln x,当f(x)>0时,解得0<x<e;当f(x)<0时,解得x>e,所以xe时,f (x)取到极大值,f (x)极大值f (e)e.故选C.

    3x>0ln xxex的大小关系是________

    答案 ln x<x<ex

    解析 构造函数f (x)ln xx,则f(x)1,可得x1为函数f (x)(0,+)上唯一的极大值点,也是最大值点,故f (x)f (1)=-1<0,所以ln x<x.同理可得x<ex,故ln x<x<ex.

    4现有一块边长为a的正方形铁片铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形然后做成一个无盖方盒该方盒容积的最大值是________

    答案 a3

    解析 容积V(a2x)2x,0<x<,则V2(a2x)×(2x)(a2x)2(a2x)(a6x),由V0xx(舍去),则xV在定义域内唯一的极大值点也是最大值点,此时Vmaxa3.

    题组三 易错自纠

    5(多选)函数yf (x)的导函数f(x)的图象如图所示以下命题错误的是(  )

    A.-3是函数yf (x)的极值点

    B.-1是函数yf (x)的最小值点

    Cyf (x)在区间(3,1)上单调递增

    Dyf (x)x0处切线的斜率小于零

    答案 BD

    解析 根据导函数的图象可知当x(,-3)时,f(x)<0,当x(3,+)时,f(x)0

    函数yf (x)(,-3)上单调递减,在(3,+)上单调递增,则-3是函数yf (x)的极值点,

    函数yf (x)(3,+)上单调递增,1不是函数yf (x)的最小值点,

    函数yf (x)x0处的导数大于0yf (x)x0处切线的斜率大于零

    故错误的命题为BD.

    6若函数f (x)x34xm[0,3]上的最大值为4m________.

    答案 4

    解析 f(x)x24x[0,3],当x[0,2)时,f(x)<0,当x(2,3]时,f(x)>0,所以f (x)[0,2)上是减函数,在(2,3]上是增函数.又f (0)mf (3)=-3m.所以在[0,3]上,f (x)maxf (0)4,所以m4.

    7已知函数f (x)x3x22ax1若函数f (x)(1,2)上有极值则实数a的取值范围为________

    答案 

    解析 f(x)x22x2a的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为x=-1,则f(x)(1,2)上是单调递增函数,因此解得<a<4,故实数a的取值范围为.

    用导数求解函数极值问题

    命题点1 根据函数图象判断极值

    1 设函数f (x)R上可导其导函数为f(x)且函数y(1x)f(x)的图象如图所示则下列结论中一定成立的是(  )

    A函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (1)

    B函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (1)

    C函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (2)

    D函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (2)

    答案 D

    解析 由题图可知,当x<2时,f(x)>0

    当-2<x<1时,f(x)<0

    1<x<2时,f(x)<0

    x>2时,f(x)>0.

    由此可以得到函数f (x)x=-2处取得极大值,

    x2处取得极小值

    命题点2 求已知函数的极值

    2 已知函数f (x)x212aln x(a0)求函数f (x)的极值

     因为f (x)x212aln x(x>0)

    所以f(x)2x.

    a<0时,因为x>0,且x2a>0,所以f(x)>0x>0恒成立.所以f (x)(0,+)上单调递增,f (x)无极值.

    a>0时,令f(x)0,解得x1x2=-(舍去)

    所以当x变化时,f(x)f (x)的变化情况如下表:

    x

    (0)

    (,+)

    f(x)

    0

    f (x)

    极小值

     

    所以当x时,f (x)取得极小值,且f ()()212aln a1aln a.无极大值.

    综上,当a<0时,函数f (x)(0,+)上无极值.

    a>0时,函数f (x)x处取得极小值a1aln a,无极大值.

    命题点3 已知极值点求参数

    3 (1)(2020·江西八校联考)若函数f (x)x2xaln x(1,+)上有极值点则实数a的取值范围为________

    (2)若函数f (x)的导数f(x)(xk)kk1kZ已知xk是函数f (x)的极大值点k______.

    答案 (1)(,-1) (2)1

    解析 (1)函数f (x)的定义域为(0,+)

    f(x)2x1

    由题意知2x2xa0R上有两个不同的实数解,且在(1,+)上有解,

    所以Δ18a>0,且2×121a<0

    所以a(,-1)

    (2)因为函数的导数为f(x)(xk)kk1kZ

    所以若k是偶数,则xk不是极值点,则k是奇数,

    k<,由f(x)>0,解得x>x<k

    f(x)<0,解得k<x<

    即当xk时,函数f (x)取得极大值

    因为k1kZ,所以k1

    k>,由f(x)>0,解得x>kx<

    f(x)<0,解得<x<k

    即当xk时,函数f (x)取得极小值不满足条件

    思维升华 函数极值的两类热点问题

    (1)求函数f (x)极值的一般解题步骤

    确定函数的定义域

    求导数f(x)

    解方程f(x)0,求出函数定义域内的所有根

    列表检验f(x)f(x)0的根x0左右两侧值的符号

    (2)根据函数极值情况求参数的两个要领

    列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解

    验证:求解后验证根的合理性

    跟踪训练1 (1)(2019·镇江模拟)已知函数f (x)的导数f(x)a(x1)(xa)f (x)xa处取得极大值a的取值范围是________

    答案 (1,0)

    解析 a0,则f(x)0,函数f (x)不存在极值;若a=-1,则f(x)=-(x1)20,函数f (x)不存在极值;若a>0,当x(1a)时,f(x)<0,当x(a,+)时,f(x)>0,所以函数f (x)xa处取得极小值;若-1<a<0,当x(1a)时,f(x)>0,当x(a,+)时,f(x)<0,所以函数f (x)xa处取得极大值;若a<1,当x(a)时,f(x)<0,当x(a,-1)时,f(x)>0,所以函数f (x)xa处取得极小值综上所述,a(1,0)

    (2)已知函数f (x)ax1ln x(aR)讨论函数f (x)在定义域内的极值点的个数

     f (x)的定义域为(0,+)

    f(x)a

    a0时,f(x)<0(0,+)上恒成立,函数f (x)(0,+)上单调递减,

    f (x)(0,+)上没有极值点;

    a>0时,由f(x)<00<x<

    f(x)>0,得x>

    f (x)上单调递减,在上单调递增,即f (x)x处有极小值,无极大值.

    综上,当a0时,f (x)(0,+)上没有极值点,当a>0时,f (x)(0,+)上有一个极值点.

    用导数求函数的最值

    4 已知函数f (x)kln xk<求函数f (x)上的最大值和最小值

     f(x).

    k0,则在上恒有f(x)<0

    所以f (x)上单调递减

    0<k<,则f(x)

    k<,得>e

    x<0上恒成立,

    所以<0上恒成立,

    所以f (x)上单调递减

    综上,当k<时,f (x)上单调递减,

    所以f (x)minf (e)k1

    f (x)maxf ek1.

    若本例条件中的k<改为k,则函数f (x)上的最小值是多少?

     f(x)

    k0<e

    0<,即ke时,f(x)0上恒成立,

    f (x)上为增函数,f (x)minf ek1.

    <<e,即<k<e时,f (x)上为减函数,在上为增函数,f (x)minf k1kln k.

    k时,f (x)上为减函数,无最小值.

    综上,当<k<e时,f (x)mink1kln k,当ke时,f (x)minek1,当k时,f (x)上无最小值.

    思维升华 (1)若函数f (x)在闭区间[ab]上单调递增或单调递减,f (a)f (b)一个为最大值,一个为最小值

    (2)若函数f (x)在闭区间[ab]内有极值,要先求出[ab]上的极值,与f (a)f (b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成

    (3)函数f (x)在区间(ab)上有唯一一个极大(或极小)值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到

    跟踪训练2 (2020·福州检测)已知函数g(x)aln xx2(a2)x(aR)g(x)在区间[1e]上的最小值h(a)

     g(x)的定义域为(0,+)

    g(x)2x(a2)

    .

    1,即a2时,g(x)[1e]上为增函数,h(a)g(1)=-a1

    1<<e,即2<a<2e时,g(x)上为减函数,在上为增函数,h(a)galn a2a

    e,即a2e时,g(x)[1e]上为减函数,h(a)g(e)(1e)ae22e.

    综上,h(a)

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