2027年全国高考数学一轮复习讲义 3.3 导数与函数的极值、最值

这是一份2027年全国高考数学一轮复习讲义 3.3 导数与函数的极值、最值，共27页。
极值点与极值的概念
(1)极小值点与极小值
函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
【注意】1．极值点是函数单调性的转折点，因此若f (x)在(a，b)内有极值，则f (x)在(a，b)内不是单调函数．
2．极值点不是点，出现在区间的内部，端点不能是极值点．
求可导函数f (x)极值的步骤
(1)定义域：求函数的定义域．
(2)求导：求函数的导数f ′(x)．
(3)令f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0全部的根x0，即导函数f ′(x)的零点．
(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内．
(5)结论：若导数f ′(x)在x＝x0附近左正右负，则函数f (x)在x＝x0处取得极大值；若左负右正，则函数f (x)取得极小值．
函数的最值
1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【注意】函数的极值与最值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言．
(2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个．
(3)函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
考点一 函数图象与极值(点)的关系
考点二 求已知函数的极值(点)
考点三 根据极值(点)求参数
考点四 讨论极值（含参）
考点五 利用导数求函数的最值（不含参）
考点六 利用函数最值求参数
考点七 利用导数求函数的最值（含参）
考点八 函数单调性、极值与最值的综合应用
考点一 函数图象与极值(点)的关系
1．（25-26高三上·北京·期中）如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（ ）

A．在处取极大值B．
C．在上存在最小值D．在上至多有3个零点
2．（25-26高三上·吉林·期中）若函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的解集为
B．函数有2个极值点
C．函数的单调递增区间为
D．是函数的极小值点
3．（25-26高三上·新疆喀什·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．为的极大值
B．在区间内，有1个极值点
C．在区间内，是增函数
D．是的一个零点
4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，
①；
②函数在处取得极小值，在处取得极大值；
③函数在处取得极大值，在处取得极小值；
④函数的最小值为.
以上正确的序号是__________.
5．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）（多选）函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
A．是函数的极值点
B．是函数的极值点
C．在区间上单调递增
D．是函数的极值点
6．（25-26高三上·广东湛江·期中）（多选）导函数的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是（ ）
A．是导函数的极小值点B．是导函数的极小值
C．是函数的极大值D．是函数的极小值点
考点二 求已知函数的极值(点)
7．（25-26高三上·上海宝山·期中）（1）已知函数．求的极值；
8．（25-26高三上·天津静海·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
9．（25-26高三上·上海闵行·期中）函数的极值点为__________.
10．（2026·广西桂林·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．在上单调递增B．的极小值为
C．的图象关于原点对称D．有两个零点
11．（25-26高三上·重庆渝北·期中），下列说法正确的是（ ）
A．0是极大值点B．是极大值点
C．是极小值点D．是极大值点
12．（25-26高三上·山东济南·期中）（多选）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．当时，
C．有三个零点D．函数图象的对称中心为
考点三 根据极值(点)求参数
13．（2026·陕西渭南·三模）已知函数的极小值为，则实数的值可能为（）
A．B．C．D．
14．（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____．
15．（25-26高三上·广东汕头·期中）已知函数在处取得极大值，则（ ）
A．B．C．或D．
16．（25-26高三上·重庆·期中）已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为______.
17．（25-26高三上·四川成都·期中）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
18．（25-26高三上·天津武清·期中）已知函数在处取得极大值0，则________.
考点四 讨论极值（含参）
19．（2026·新疆·二模）已知函数．
(1)若，求函数的极值；
20．（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知函数 ．
(1)求函数的极值；
21．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数在区间内极值点的个数．
22．（2026·吉林·二模）已知函数，．
(1)求，的单调区间；
(2)已知，函数，讨论的极值点的个数；
23．（25-26高三上·安徽安庆·期中）已知函数
(1)时，求在处切线方程；
(2)讨论的极值．
24．（25-26高三上·江西萍乡·期中）已知函数．
(1)证明：函数在上存在唯一零点；
(2)设函数．
（i）讨论的极值点的个数；
考点五 利用导数求函数的最值（不含参）
25．（江苏扬州市2026届高三下学期五月质检数学试题）函数在区间上的最大值为_________．
26．（25-26高三上·天津静海·期中）函数的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．1
27．（25-26高三上·广东汕头·期中）已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
28．（25-26高三·全国·一轮复习）设函数，若函数在处与直线相切．
(1)求实数，的值；
(2)求函数在上的最大值．
29．（25-26高三上·广西河池·期中）已知函数为．
(1)求；
(2)求的单调区间；
(3)求在区间上的最值．
30．（2026·四川眉山·模拟预测）若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______.
考点六 利用函数最值求参数
31．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知函数，若在区间上的最小值为，则实数的取值范围是______.
32．（25-26高三上·北京·期中）若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（）
A．B．
C．D．
33．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知函数在区间上的最小值为0，则实数的值为_________
34．（25-26高三上·四川资阳·期中）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上的最小值为1，求的值．
35．（25-26高三上·安徽合肥·期中）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
36．（2026·江西·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围.
考点七 利用导数求函数的最值（含参）
37．（25-26高三上·四川成都·期中）已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值．
38．（25-26高三上·江苏苏州·期中）已知函数，且．
(1)求的值；
(2)若．
（ⅰ）求在上的最大值和最小值；
39．（25-26高三上·贵州黔南·阶段检测）已知函数（）．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求在上的最小值．
40．（25-26高三上·重庆·期中）已知函数，，，若，，使得成立，则实数的取值范围是___________.
41．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数
(1)函数在处取极值，求的值：
(2)求函数在区间上的最小值．
42．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，令求函数在区间上的最大值；
43．（2026·陕西安康·三模）已知函数，且．
(1)求的值；
(2)若．
（i）求在上的最大值和最小值；
44．（25-26高三上·江苏·月考）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则有最小值
B．若，则的极小值为0
C．若，则
D．若，则的最大值大于
考点八 函数单调性、极值与最值的综合应用
45．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，直线与曲线交于、两点，其中是切点，记，，则下列判断正确的是（ ）
A．只有一个极值点
B．有两个极值点，且极小值点小于极大值点
C．的极小值点小于极大值点，且极小值为
D．的极小值点大于极大值点，且极大值为2
46．（2026高三·全国·专题练习）已知，．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，使成立，求参数的取值范围．
47．（2026·陕西渭南·三模）已知函数．
(1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若对任意，恒成立，求实数的最小值．
48．（25-26高三上·天津东丽·期中）已知函数，其中.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；
49．（25-26高三上·广东江门·期中）当，满足，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
50．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数．
(1)判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)若，不等式有唯一的负整数解，求实数的取值范围．
51．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，，其中．
(1)若是函数的极值点，求实数的值：
(2)当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点；
(3)若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围．
52．（25-26高三上·山东济南·期中）已知函数有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的导函数的图像如图所示，则在内有（ ）
A．3个驻点B．4个极值点
C．1个极小值点D．1个极大值点
2．（25-26高三上·贵州黔南·阶段检测）函数的极小值为（ ）
A．B．C．1D．2
3．（25-26高三上·河北邯郸·期中）函数的极值点之和为（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）若函数在处取得极值，则实数（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26高三上·广东汕头·期中）若函数在区间有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（25-26高三上·安徽安庆·阶段检测）已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2026·山东东营·二模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（25-26高三上·四川成都·月考）已知函数在处取得最小值1，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若函数有两个极值点，设这两个极值点为，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2026·四川成都·三模）（多选）已知函数，则（ ）
A．当时，函数有最大值
B．若函数图象的对称中心为，则
C．函数在上一定存在减区间
D．函数可能有2个零点
11．（25-26高三上·广东汕尾·期中）（多选）函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则在单调递减，在单调递增
B．若，则
C．若，则存在一个极值点
D．若，则恒成立
12．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知函数在处取得极值，则实数a的取值为_____．
13．（25-26高三上·天津南开·月考）如图是的导函数的图象，则正确的判断是
（1）在上单调递增
（2）是的极小值点
（3）在上单调递减，在上单调递增
（4）是的极小值点
以上正确的序号为______.
14．（25-26高三上·福建莆田·阶段检测）若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________.
15．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若，且，使得，求实数的取值范围．
16．（25-26高三上·河北石家庄·期中）已知函数，．
(1)求的极值点；
(2)若在区间内单调递减，求的取值范围；
(3)若，比较与1的大小．（其中）
17．（25-26高三上·云南昭通·期中）已知函数.
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)当时，求的最小值；
(3)证明：当时，有唯一零点.
18．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知函数，曲线在处的切线方程为.
(1)求实数的值；
(2)函数的导函数为，求函数在区间上的最小值.3.3 导数与函数的极值、最值
极值点与极值的概念
(1)极小值点与极小值
函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
【注意】1．极值点是函数单调性的转折点，因此若f (x)在(a，b)内有极值，则f (x)在(a，b)内不是单调函数．
2．极值点不是点，出现在区间的内部，端点不能是极值点．
求可导函数f (x)极值的步骤
(1)定义域：求函数的定义域．
(2)求导：求函数的导数f ′(x)．
(3)令f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0全部的根x0，即导函数f ′(x)的零点．
(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内．
(5)结论：若导数f ′(x)在x＝x0附近左正右负，则函数f (x)在x＝x0处取得极大值；若左负右正，则函数f (x)取得极小值．
函数的最值
1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【注意】函数的极值与最值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言．
(2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个．
(3)函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
考点一 函数图象与极值(点)的关系
考点二 求已知函数的极值(点)
考点三 根据极值(点)求参数
考点四 讨论极值（含参）
考点五 利用导数求函数的最值（不含参）
考点六 利用函数最值求参数
考点七 利用导数求函数的最值（含参）
考点八 函数单调性、极值与最值的综合应用
考点一 函数图象与极值(点)的关系
1．（25-26高三上·北京·期中）如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（ ）

A．在处取极大值B．
C．在上存在最小值D．在上至多有3个零点
【答案】D
【详解】由图象可知，当时，；当时，；
当时，；当时，；
所以在处取极大值，故A正确；
由当时，，
可得在上单调递增，所以，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，所以极小值是和，
所以在上存在最小值，故C正确；
若，，，，，
函数在上至多有4个零点，故D错误.
2．（25-26高三上·吉林·期中）若函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的解集为
B．函数有2个极值点
C．函数的单调递增区间为
D．是函数的极小值点
【答案】D
【分析】由图可得的单调性，即可得其导数正负，即可得A；由图可得的正负，即可得单调性，从而可得B、C、D.
【详解】对A：由图可得，在、上单调递增，
在上单调递减，故的解集为，故A错误；
对B、C、D：由图可得，当时，，
当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故函数有且仅有一个极小值点，故B、C错误，D正确.
3．（25-26高三上·新疆喀什·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．为的极大值
B．在区间内，有1个极值点
C．在区间内，是增函数
D．是的一个零点
【答案】A
【分析】根据导数的正负，判断函数的单调性，再判断函数的极值点，即可判断选项.
【详解】A.如图，2附近，左边的导数为正数，2右边的导数为负数，所以2附近是先增后减，
所以2是的极大值点，是函数的极大值，故A正确；
B. 在区间内，，单调递减，所以无极值点，故B错误；
C.在区间内，，函数单调递减，内，，函数单调递增，故C错误；
D.附近，左边导数为正数，函数单调递增，右边导数为负数，函数单调递减，所以是函数的极大值点，不一定是零点，故D错误.
4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，
①；
②函数在处取得极小值，在处取得极大值；
③函数在处取得极大值，在处取得极小值；
④函数的最小值为.
以上正确的序号是__________.
【答案】③
【分析】利用原函数和导函数的关系得到原函数的单调性，利用单调性得到极值，结合单调性得到不是最小值.
【详解】当时，，是单调递增函数；
当时，，是单调递减函数；
当时，，是单调递增函数；
，，故①错误；
因为当时，，是单调递增函数；
当时，，是单调递减函数；
所以函数在处取得极大值，在处取得极小值；
故②错误，③正确；
当时，，是单调递减函数，且，，
所以，函数的最小值不是.
故④错误.
5．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）（多选）函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
A．是函数的极值点
B．是函数的极值点
C．在区间上单调递增
D．是函数的极值点
【答案】BD
【分析】由导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可.
【详解】由图可得，当，，单调递减，当，，单调递增，
可知是函数的极值点，故A正确，不是函数的极值点，故B错误，
当，，故在区间上单调递增，故C正确，不是函数的极值点，故D错误.
6．（25-26高三上·广东湛江·期中）（多选）导函数的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是（ ）
A．是导函数的极小值点B．是导函数的极小值
C．是函数的极大值D．是函数的极小值点
【答案】ACD
【详解】根据导函数的图象可知，的两侧的小区域内，的图象左减右增，
所以在，处导函数有极小值；
的两侧的小区域内，左增右减，所以在处导函数有极大值.
根据导函数的图象可知：的左侧导数大于零，在内导数小于零，
所以在处函数有极大值.
在上导数大于零，所以在处函数有极小值.
而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值.
由此可知B错误，ACD正确.
考点二 求已知函数的极值(点)
7．（25-26高三上·上海宝山·期中）（1）已知函数．求的极值；
【答案】（1）极大值，极小值；（2）
【分析】（1）求得，得出函数的单调性，结合极值的定义，即可求解；
【详解】（1）由函数，可得其定义域为，且，令，即，解得或．
当时，，单调递增：
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当时，取得极大值，极大值为；
当时，取得极小值，极小值为．
8．（25-26高三上·天津静海·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
【答案】(1)极大值为，极小值为
(2)
【详解】（1）当时，，．
令，
同理：或
所以：在单调递增，在单调递减，在单调递增．
当时，取得极大值；
当时，取得极小值．
9．（25-26高三上·上海闵行·期中）函数的极值点为__________.
【答案】1
【分析】求导，令导函数为0，可得极值点，分析单调性，即可得答案.
【详解】由题意得，
令，得或（舍），
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以为的极小值点，无极大值点.
10．（2026·广西桂林·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．在上单调递增B．的极小值为
C．的图象关于原点对称D．有两个零点
【答案】AC
【分析】先求导，利用导数研究单调性进而判断AB，判断的奇偶性即可判断C，求的零点即可判断D.
【详解】函数的定义域为，
所以，
对于A，由，得或，函数在上单调递增，故A正确；
对于B，由，得，函数在上单调递减，
在上单调递增，所以函数在取得极小值，故B错误；
对于C，，函数是奇函数，其图象关于原点对称，故C正确；
对于D，由，解得，函数有3个零点，故D错误．
11．（25-26高三上·重庆渝北·期中），下列说法正确的是（ ）
A．0是极大值点B．是极大值点
C．是极小值点D．是极大值点
【答案】D
【分析】求导，令，再根据单调性确定极值点判断即可．
【详解】，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则0不是极值点，A错误；
是极小值点，B错误；
是极大值点，C错误；
是极大值点，D正确．
12．（25-26高三上·山东济南·期中）（多选）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．当时，
C．有三个零点D．函数图象的对称中心为
【答案】ACD
【分析】求导，确定单调性和极值判断AB选项，对原式因式分解确定根的个数判断C选项，根据三次函数，对称中心的横坐标是二阶导数为0的点判断D选项.
【详解】选项A，求导得，
令，解得或，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
因此是极大值点，是极小值点，有两个极值点，A正确；
选项B，由上述分析可知，在上单调递减，
当时，，故，B错误；
选项C，令，因式分解：，
解方程，得，
因此的三个零点为，共三个不同实根，C正确；
选项D， 对于三次函数，对称中心的横坐标是二阶导数为0的点，
求二阶导数：，令，得，
验证对称中心定义：若关于对称，则，
代入：，
，
，
满足对称中心定义，故的对称中心为，D正确.
考点三 根据极值(点)求参数
13．（2026·陕西渭南·三模）已知函数的极小值为，则实数的值可能为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先对函数求导得，找到临界点和，再按、、三种情况判断极小值点，代入极小值求解，验证后得到.
【详解】.
令，得临界点，.
①当时，，，函数单调递增，无极小值，舍去.
②当时，，
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增.
故为极小值点，代入得：.
由极小值为，得，解得，即，符合.
③当时，，
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增.
故为极小值点，代入得：.
由极小值为，得，解得，不在选项中，舍去.
14．（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____．
【答案】2
【分析】根据导数的几何意义以及极值点的性质求，并结合单调性检验即可.
【详解】因为，则，
由题意可得，解得，
则函数，，
令，解得或；令，解得，
可知函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数在处取到极大值，即，符合题意，
所以.
15．（25-26高三上·广东汕头·期中）已知函数在处取得极大值，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【详解】函数在处取得极大值，
则，所以，
解得或，
当时，，
所以当时，当时，，
所以在处取得极小值，不符合题意；
当时，，
所以当时，，当时，
所以在处取得极大值，
所以.
16．（25-26高三上·重庆·期中）已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】首先确定函数的定义域，其次因为既有极大值又有极小值，可知导数为0有两个不相等的正根，而导数的分子正好为一元二次，所以通过根与系数的关系得到不等式.
【详解】的定义域为，
求导得，
因为函数既有极大值又有极小值，
所以在上有两个不相等的根
记为，即是的两个不相等的正根
，解得.
17．（25-26高三上·四川成都·期中）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得有唯一变号零点，即有唯一解，先讨论时，不满足题意，从而可得，令，进而得直线与函数的图象只有一个交点，利用导数确定函数的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可.
【详解】因为，，
所以，有唯一变号零点，
当时，，不满足题意；
所以，
令，得，
令，
则直线与函数的图象只有一个交点，
又因为，
令，得，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，单调递减；
又当时，，当时，，
所以函数在处取极小值，为0；在处取极大值，为，
作出函数、直线的图象，如图所示：
由此可得当时，满足题意；
当时，直线与函数的图象有两个交点，
一个点的横坐标为（此点为直线与函数的切点），
且在此处不变号；
另一个点的横坐标，在此处变号，满足题意.
综上，.
18．（25-26高三上·天津武清·期中）已知函数在处取得极大值0，则________.
【答案】/
【分析】由和得或，分两种情况，检验后得到答案
【详解】，由题意得，即，故，
且，解得或，
当时，，则，
令得，令得，故为极大值点，满足要求，
所以，
当时，，则，
令得，令得，故为极小值点，不满足要求，
综上，.
考点四 讨论极值（含参）
19．（2026·新疆·二模）已知函数．
(1)若，求函数的极值；
【答案】(1)极小值，无极大值；
【分析】（1）求出函数的导数，确定单调区间，进而求出极值.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，而，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得极小值，无极大值.
20．（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知函数 ．
(1)求函数的极值；
【答案】(1)当时，函数无极值．当时，函数极大值为−1−a−ln−a，无极小值
【分析】（1）根据导数与单调性、极值的关系求解即可.
【详解】（1）因为 ，，所以，．
当时，因为，所以恒成立，则函数在内单调递减，无极值．
当时，令，得，
则当时，，当时，，
所以函数在内单调递增，在内单调递减，
函数的极大值为，无极小值．
综上所述，当时，函数无极值．
当时，函数极大值为，无极小值．
21．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数在区间内极值点的个数．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析.
【分析】（1）利用导数，分情况和讨论极值点；
【详解】（1）因为，所以．
若，当时，恒成立，
则函数在上单调递增，无极值点．
若，当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
故是函数的极小值点，且函数无极大值点．
综上可知，当时，函数在区间内极值点的个数为0；
当时，函数在区间内极值点的个数为1．
22．（2026·吉林·二模）已知函数，．
(1)求，的单调区间；
(2)已知，函数，讨论的极值点的个数；
【答案】(1)和的单调增区间均为，单调减区间均为；
(2)答案见解析
【分析】（1）对求导，令可得其单调增区间，令可得其单调减区间，同理可得的单调区间.
（2）求导得解析式，令，得的零点，分别讨论、、和四种情况，利用导数判断的正负，可得其单调区间，分析即可得答案.
【详解】（1）由，，得，
因为恒成立，所以令，解得或，
当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
由，，得，
令，解得或，
当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
（2），
则，
令，解得或或（）.
当时，，恒成立，
则当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以只有1个极小值点；
当时，，恒成立，
则当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以只有1个极小值点；
当时，，
当或时，，则单调递减，
当或时，，则单调递增，
此时有3个极值点；
当时，，
当或时，，则单调递减，
当或时，，则单调递增，
此时有3个极值点；
综上，当或时，有一个极值点；当或时，有3个极值点.
23．（25-26高三上·安徽安庆·期中）已知函数
(1)时，求在处切线方程；
(2)讨论的极值．
【答案】(1)；
(2)当时，极小值，无极大值，
当时，极大值为，极小值为，
当时，无极值，
当时，极大值为，极小值为.
【分析】（1）求导，确定切线斜率，即可求解；
（2）通过，，，讨论函数单调性，进而可求解.
【详解】（1）当时， ，定义域，
由，即切点为，
求导得，代入得，即斜率，
由点斜式得，即.
（2）由，
求导得：，，
当时， ，
当时，单调递减；时，单调递增，
故仅有极小值，无极大值，
当，即时， ，
和时，，
时，，
故在和单调递增，在单调递减，
故极大值为，极小值为，
当时， 恒成立，
在定义域内单调递增，无极值，
当时， ，​，
和时，，时，，
在和单调递增，在单调递减，
故极大值为，极小值为，
综上：当时，极小值，无极大值，
当时，极大值为，极小值为，
当时，无极值，
当时，极大值为，极小值为.
24．（25-26高三上·江西萍乡·期中）已知函数．
(1)证明：函数在上存在唯一零点；
(2)设函数．
（i）讨论的极值点的个数；
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）当或时，的极值点的个数是2个；当时，的极值点的个数是0个；
【分析】（1）先求出的表达式，再对求导，根据导数的性质判断在区间上的单调性，进而证明存在唯一的极值点；
（2）（i）求导，分，，三种情况讨论导函数的符号，可得出原函数的单调性进而得出极值点个数；
【详解】（1）已知，定义域，
当时，单调递减，所以单调递增，
而也单调递增，故在上单调递增；
，
，
所以在上存在唯一零点；
（2）（i）的定义域为.
当时：则，在是增函数，
则，在是减函数，，则，在是增函数，
所以是的极大值点，是的极小值点，的极值点的个数是2个；
当时：，时，是增函数，无极值点，的极值点的个数是0个；
当时：若则，在上是增函数，
若则，在上是减函数，
，则,在是增函数，
是的极大值点，是的极小值点，的极值点的个数是2个；
综上，当或时，的极值点的个数是2个；当时，的极值点的个数是0个；
考点五 利用导数求函数的最值（不含参）
25．（江苏扬州市2026届高三下学期五月质检数学试题）函数在区间上的最大值为_________．
【答案】2
【详解】∵ ，，
∴ 对求导得.
令，解得，，均属于区间.
分别计算在区间端点和极值点处的函数值：
当时，.
当时，.
当时，.
当时，.
比较上述函数值大小：，
∴ 函数在区间上的最大值为.
26．（25-26高三上·天津静海·期中）函数的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．1
【答案】D
【详解】因为，由，得或，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以在取到极小值，也是最小值，即.
27．（25-26高三上·广东汕头·期中）已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义以及点斜式方程求解；
（2）求出在上的最大值，将恒成立转化为，解不等式，求出的取值范围
【详解】（1），，，
所以函数的图象在处的切线方程为，即；
（2），
所以当时，，当时，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
又，
所以在上的最大值为，
对任意，恒成立等价于，
即，解得或，所以的取值范围为.
28．（25-26高三·全国·一轮复习）设函数，若函数在处与直线相切．
(1)求实数，的值；
(2)求函数在上的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义可确定方程组，求解即可；
（2）由函数的导函数可确定函数在给定区间上的单调性，结合单调性可求最大值.
【详解】（1），，
函数在处与直线相切，
，解得
（2）由（1）知，，，
，
当时，令，得，
令，得，
在上单调递增，在上单调递减，
．
29．（25-26高三上·广西河池·期中）已知函数为．
(1)求；
(2)求的单调区间；
(3)求在区间上的最值．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为、，单调递减区间为
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）借助导数运算法则计算即可得；
（2）求导后，利用导数正负即可判断函数单调性；
（3）利用函数单调性与最值的关系计算极值点和端点的函数值即可得.
【详解】（1）；
（2）由，
则当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，单调递减区间为；
（3）由的单调递增区间为、，单调递减区间为，
则当时，在上单调递增，在上单调递减，
又，
，
，
故在区间上的最大值为，最小值为.
30．（2026·四川眉山·模拟预测）若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______.
【答案】
【分析】先设切点为，根据切线方程可得，进而可得，再构造函数，用导数求得函数的最大值可得.
【详解】设切点为，对曲线求导得：.
因为切线斜率为，因此：且，
所以，即，得.
再将代入得：，即，
两边取对数整理得： .
所以，
令，求导： ，
令，得，即，
因为在上单调递减，
所以当时，；当时，.
因此函数在上单调递增，在单调递减，
所以是函数的极大值点也是最大值点，
因此.
故的最大值为.
考点六 利用函数最值求参数
31．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知函数，若在区间上的最小值为，则实数的取值范围是______.
【答案】或.
【分析】先求出导函数得出函数单调性，再结合，再应用最小值列式求解.
【详解】因为，，
当单调递增，当单调递减，
当单调递增，
且，，若在区间上的最小值为，
因为函数取到值为的点为或，
所以对区间的最小值进行分类讨论：
若区间包含极小值点，则，解得；
若区间不包含，则最小值必在端点取到，结合单调性可知，只有当时，在区间上的最小值为。
所以当在区间上的最小值为时，或.
32．（25-26高三上·北京·期中）若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】可导函数在开区间内存在最小值，则其必在区间内存在极小值点，即导数存在从负到正的变号零点,对于本题，导函数的分子为二次函数，其对应的函数至多只有一个极小值点，故若在内存在最小值，则导数在区间内存在唯一的从负到正的变号零点.
【详解】已知函数的定义域为，对其求导得：
，令，
若在上存在最小值，根据本题的函数结构可知，函数在区间内先递减后递增，
即在内由负变正，等价于.
.
解得，即实数的取值范围是.
33．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知函数在区间上的最小值为0，则实数的值为_________
【答案】
【分析】先对函数求导，分和讨论单调性. 时在区间单调递减，最小值为，解得与条件矛盾舍去；时根据极值点与区间的位置关系分情况讨论，结合最小值为0求解.
【详解】求导得，
当时，，，则在上单调递减，
则函数的最小值为与矛盾，舍去；
当时，令，得（负根舍去）.
①若，即时，在单调递减，则函数的最小值为，矛盾，舍去；
②若，即时，在单调递减，在单调递增，
函数的最小值在处取得，即，
解得，满足.
综上，可得实数的值为.
34．（25-26高三上·四川资阳·期中）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上的最小值为1，求的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导得解析式，分别讨论和两种情况，根据的正负，可得的单调区间，综合分析，即可得答案.
（2）分别讨论、、和四种情况，根据的正负，可得的单调性，求出的最小值，根据条件，求出a值，综合分析，即可得答案.
【详解】（1）因为，函数的定义域为，
所以，
当时，恒成立，则在上单调递减；
当时，令，解得或（舍去），
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，则在上单调递减，
所以，解得，不合题意，故舍去；
当时，若即，则在上单调递增，
所以，解得，符合题意；
若即，则在上单调递减，
所以，解得，不符合题意；
若即，则在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意；
综上，函数在区间上的最小值为1时，.
35．（25-26高三上·安徽合肥·期中）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对函数进行求导，导数的零点需落在指定区间上，从而求出的范围
【详解】，又，
令，，则的零点与的零点相同，
因为函数图象开口向下且，要使在区间上有最大值，
所以和，解得.
36．（2026·江西·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先求出导数，再对参数范围分类讨论，最后得到单调区间即可.
（2）结合题意确定，再得到，构造函数并求导得到单调性，结合求解参数范围即可.
【详解】（1）由题意得的定义域为，
由，可得，
若，则在上恒成立，
则的单调递增区间为，无单调递减区间.
若，则当时，，当时，，
则的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）可知，若存在最小值，则，
且的最小值为，
则，可得，即.
令，则.
因为恒成立，
所以恒成立，则在上单调递增.
又，令，解得，即，
故的取值范围为.
考点七 利用导数求函数的最值（含参）
37．（25-26高三上·四川成都·期中）已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值．
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是.
【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果；
（2）求导后，分别讨论、和时在上的单调性，进而确定最小值.
【详解】（1）当时，，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，无极小值.
（2）由得：，
，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
①当，即时，在上单调递减，
此时的最小值为；
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减；
，，，
当时，，此时；
当时，，此时；
③当，即时，在上单调递增，
此时的最小值为；
综上所述：当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是.
38．（25-26高三上·江苏苏州·期中）已知函数，且．
(1)求的值；
(2)若．
（ⅰ）求在上的最大值和最小值；
【答案】(1)
(2)（ⅰ）最大值为，最小值为；
【分析】（1）对函数求导，代入求出的关系，进而求解；
（2）（ⅰ）求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合端点值得出在上的最大值和最小值；
【详解】（1）函数求导得
，
已知，则，
．
（2）（ⅰ），则，求导得：，
，在上恒成立，
导数符号由决定：
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
在处取得极大值，即为最大值，，
，，
，
在上的最小值为，最大值为；
39．（25-26高三上·贵州黔南·阶段检测）已知函数（）．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求在上的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可.
（2）先根据已知条件确定在的单调性，再对的范围分类讨论，依据单调性求出不同情况下的最小值.
【详解】（1）由题意可得：的定义域是，且，
令，则或,
①当时，若或，则，若，则，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
②当时，因为，所以在上单调递增，
③当时，若或，则，若，则，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，由（1）可得：在上单调递减，
所以，①当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，为，
②当时，在上单调递减，
所以在处取得最小值，为．
综上，．
40．（25-26高三上·重庆·期中）已知函数，，，若，，使得成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】若，使得成立，等价于大于在上的值域的下界；通过求导求出最小值，再通过构造函数求解实数的取值范围即可.
【详解】因为，所以，
当时，，
得到在上单调递增，则，
若，，使得成立
即，使得0>g(x2)成立，
得到在上有解，
化简得在上有解，
令，则，
令φ(x)=xx+1−ln(x+1),x∈(0,2]，则，
所以上单调递减，，得到，
所以上单调递减，，
故a>ln32，得到取值范围为.
41．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数
(1)函数在处取极值，求的值：
(2)求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零列方程求解；
（2）求导，结合导数的性质及得出，分情况讨论求出各区间内的，进而求出函数在区间上的最小值．
【详解】（1）的定义域为，求导得，
已知在处取极值，则，解得．
当时，，
当时，，当时,，故在处极值，符合题意.
（2）函数的导数为，
已知，，则，
当时，在上恒成立，单调递减，
最小值为；
当时，在上恒成立，单调递增，
最小值为；
当时，令，解得，则，
时，，单调递减；
时，，单调递增；
最小值在极值点处取得：
；
综上可得：
．
42．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，令求函数在区间上的最大值；
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先求导得切线斜率，结合切点坐标，用点斜式得到曲线在该点的切线方程.
(2)对求导，结合的范围判断单调性，确定最大值.
【详解】
（1）当时，，，
又，，
∴曲线在点处的切线方程为.
（2）由已知，
则，
设，
其中.
当时，，在区间上单调递减，
∴对任意有，即，
在区间上单调递减，
因此函数在区间上的最大值为.
43．（2026·陕西安康·三模）已知函数，且．
(1)求的值；
(2)若．
（i）求在上的最大值和最小值；
【答案】(1)
(2)（i）最大值为f(2)=4+me2，最小值为；
【分析】（1）求导，由，即可求解；
（2）（i）由（1）得到，再求导，确定函数单调区间，即可求解；
【详解】（1）因为f(x)=x2+mx−nex，
所以=−x2+(2−m)x+m+nex，
则f′(2)=−4+2(2−m)+m+ne2=−(m−n)e2=0，
所以．
（2）（i）由（1）得，
则f′(x)=−x2+(2−m)x+2mex=−(x−2)(x+m)ex,x∈[0,3]，
因为，令，得；
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，又f(0)=−m0，
所以在[0,3]上的最大值为f(2)=4+me2，最小值为．
44．（25-26高三上·江苏·月考）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则有最小值
B．若，则的极小值为0
C．若，则
D．若，则的最大值大于
【答案】CD
【分析】对于A，研究函数单调得有最大值，无最小值判断A；对于B，结合A选项的单调区间得时的单调区间，即可判定；对于C，根据函数单调性判断即可；对于D，结合A选项得，再构造函数证明即可.
【详解】函数的定义域为，
对于A，当时，得，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以有最大值，无最小值，故A选项不正确；
对于B，当时，由A选项知，当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值，故B不正确；
对于C，，当，则，所以在上单调递增，
又，即，则，故C正确；
对于D，当时，由A选项知，在上单调递增，在上单调递减，
所以，令，则，
当时，，则在上单调递增，
所以，即的最大值大于，
而，故，即，所以D正确；
考点八 函数单调性、极值与最值的综合应用
45．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，直线与曲线交于、两点，其中是切点，记，，则下列判断正确的是（ ）
A．只有一个极值点
B．有两个极值点，且极小值点小于极大值点
C．的极小值点小于极大值点，且极小值为
D．的极小值点大于极大值点，且极大值为2
【答案】D
【分析】利用的几何意义可判断AB；求导，结合切点与另一个切点，可得的单调性，进而可得结论.
【详解】由，得，
可得表示曲线上的过点与原点的直线的斜率，
由图形可知，先增大，后减小，又增大，
所以有两个极值点，且极小值点大于极大值点，故AB错误；
设切点的坐标为，则由条件得有两个解，
其中一个解为，另一个解设为，显然有，
当时，；当时，，当，.
，，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴当时，有极大值，且极大值为.
当时，有极小值，且的极小值点大于极大值点，故C错误，D正确；
46．（2026高三·全国·专题练习）已知，．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，使成立，求参数的取值范围．
【答案】(1)的单调递减区间为，的单调递增区间为，
(2)
【分析】（1）将a的值代入，再对函数求导，对函数的导数进行研究即可；（2）先对函数进行求导，再对a进行讨论，在题目要求的范围内找到一个极小值小于题目要求即可.
【详解】（1）当时， ，
所以．由，得或0；由，得.
所以的单调递减区间为，的单调递增区间为，.
（2）由题意，得，因为，由，解得，．
①当时，因为，所以，所以单调递增，即．
，即．
设 ，．
所以 ，即恒成立，即，所以不等式无解；
②当时，当变化时，，变化情况如下表：
且， ，因为，所以 ，
因此恒成立，
若，使，则
所以所以
解得．
综上所述，参数的取值范围为.
47．（2026·陕西渭南·三模）已知函数．
(1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若对任意，恒成立，求实数的最小值．
【答案】(1)
(2)当时，函数无严格单调区间；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
(3)1
【分析】（1）利用导数的几何意义，根据切线斜率求切点，再根据切点满足求的值.
（2）求导，分，，讨论导函数的符号，探究函数的单调性.
（3）设，结合二次求导，求出函数的最小值为，问题转化为，求的最小值，再设，分析函数单调性，解不等式即可得的最小值.
【详解】（1）当时，，.
由解得，.
由，
所以，解得：.
（2）由，所以.
若，则为常数函数，无严格单调区间；
若，由解得；由解得.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
若，由解得；由解得.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，函数无严格单调区间；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）由，可得，即.
设，，则，.
设，，则恒成立，所以在上单调递增.
又，，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
所以.
由，可得：.
设，，则.
由解得；由解得.
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，，.
所以存在，使得.
所以不等式的解集为.
所以实数的最小值为1.
48．（25-26高三上·天津东丽·期中）已知函数，其中.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数与极值的关系求解即可.
（2）根据导数与极值的关系，结合零点存在定理证明即可.
【详解】（1）的定义域为，.
因为是的极值点，所以，即，解得.
当时，，
当时，；当时，，所以是的极值点.
综上，.
（2）由（1）知，，.
令，即，因为，，所以，
解得，且.
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以是在上唯一的极值点，是极大值点.
所以.
取，（易知，则，）
则.
令，则可写为.
令，则，
令，则，所以在上单调递减，
所以，即，所以在上单调递减，
所以，所以，
所以存在，使得，所以是在上唯一零点.
综上，在区间存在唯一的极值点和唯一的零点.
49．（25-26高三上·广东江门·期中）当，满足，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，结合其单调性和取值范围的分析，得到在上恒成立.再分离参数得，，设，利用导数分析函数的单调性，求函数的最大值即可.
【详解】由.
设，，
则.
又因为，，
由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又当时，，与1的大小关系不确定，但是要求实数的最小值，所以只要考虑，此时，
所以.
因为，所以，.
设，，则，.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以.
所以.
即实数的最小值为.
50．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数．
(1)判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)若，不等式有唯一的负整数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，，无极大值；
(2)
【分析】（1）利用导数即可求解；
（2）由不等式有唯一的整数解，得到f(x)