2027年高考数学一轮复习第七章　必刷小题13　立体几何学案含解析

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一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.下列说法错误的是( )
A.棱柱的侧棱长一定相等
B.侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱
C.圆柱的母线长与高相等
D.底面是正三角形的棱锥是正棱锥
答案 D
解析 选项A，由棱柱的定义知，棱柱的侧棱长一定相等，故选项A说法正确；
选项B，由直棱柱的定义知，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故选项B说法正确；
选项C，由圆柱的定义知，圆柱的母线长与高相等，故选项C说法正确；
选项D，若一个棱锥的底面为正三角形，但其顶点在底面的投影不在正三角形的中心处，则该棱锥不是正棱锥，故选项D说法错误.
2.(2026·南通模拟)“直线a∥平面α”是“直线a与平面α内的任意直线都没有公共点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由直线a∥平面α，易知直线a与平面α没有公共点，故直线a与平面α内的任意直线都没有公共点，故充分性成立；
又由直线a与平面α内的任意直线都没有公共点，即直线a与平面α没有任何公共点，则直线a∥平面α，故必要性成立.
故“直线a∥平面α”是“直线a与平面α内的任意直线都没有公共点”的充要条件.
3.如图，矩形A'B'C'D'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A'B'=2，B'C'=4，则原四边形ABCD中最长边的长度为( )
A.2B.22C.4D.6
答案 D
解析 将直观图还原为原图形，如图，易知原图形为平行四边形，
在直观图中，O'B'=A'B'=2，则O'A'=22，
故在原图形中，OA=2O'A'=42，OB=O'B'=2，
所以AB=OA2+OB2=32+4=6，而AD=BC=B'C'=4，
所以原四边形ABCD中最长边的长度为6.
4.“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具，升装满后沿升口刮平，称为“平升”.已知某种升的形状是正四棱台，上、下底面边长分别为15 cm和12 cm，高为10 cm(厚度不计)，则该升的1平升约为( )
(精确到0.1 L，1 L=1 000 cm3)
A.1.0 LB.1.8 LC.2.4 LD.3.6 L
答案 B
解析 由题设，上底面面积为S1=152=225(cm2)，下底面面积为S2=122=144(cm2)，
所以1平升为13×10×(225+225×144+144)=1 830(cm3)，约为1.8 L.
5.(2026·镇江模拟)在正四面体ABCD中，M，N分别为BC，BD的中点，则直线AM和CN所成角的余弦值为( )
A.34B.23C.15D.16
答案 D
解析 设E为BN的中点，如图，连接AE，EM，AN，则EM∥CN且EM=12CN，
所以直线AM和CN所成的角，即直线AM和EM所成的角，为∠AME或其补角，
设正四面体的棱长为4，则AN=CN=AM=23，EM=3，EN=1，AE=AN2+EN2=13，
所以cs∠AME=AM2+EM2−AE22AM·EM
=12+3−132×23×3=16，
综上，直线AM和CN所成角的余弦值为16.
6.(2025·毕节模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，P，Q，M分别是A1B，CC1，A1C1的中点，下列说法不正确的是( )
A.PM与QC1是异面直线
B.PQ∥平面ABC
C.PQ⊥A1B
D.PQ⊥B1M
答案 D
解析 对于A，点M，C1，Q∈平面ACC1A1，若PM与QC1不是异面直线，则PM与QC1共面，所以P∈平面ACC1A1，
又P∈A1B，A1B∩平面ACC1A1=A1，故P∉平面ACC1A1，所以PM与QC1是异面直线，故A正确；
对于B，取AB的中点N，连接CN，PN，如图，由P为A1B的中点，所以PN∥AA1且PN=12AA1，由Q为CC1的中点，CC1綉AA1，
所以CQ∥AA1且CQ=12AA1，所以CQ綉PN，所以四边形PNCQ为平行四边形，
所以PQ∥CN，又PQ⊄平面ABC，CN⊂平面ABC，所以PQ∥平面ABC，故B正确；
对于C，因为CA=CB，所以CN⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，所以CN⊥AA1，
又AB∩AA1=A，AB，AA1⊂平面ABA1，所以CN⊥平面ABA1，又A1B⊂平面ABA1，
所以CN⊥A1B，又PQ∥CN，所以PQ⊥A1B，故C正确；
对于D，取A1B1的中点S，连接C1S，如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，可知C1S∥CN∥PQ，又CN⊥AB，所以C1S⊥A1B1，
则PQ⊥A1B1，若PQ⊥B1M，则A1，B1，M共线，又M是A1C1的中点，与已知矛盾，故D错误.
7.(2025·长春模拟)如图，圆锥PO的轴截面是边长为4的正三角形，过PO的中点O'作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为( )
A.11π+3πB.11π+23π
C.12π+3πD.12π+23π
答案 D
解析 作出圆锥PO的轴截面△PAB，此截面截挖去的圆柱得圆柱的轴截面矩形CDEF，如图，
矩形CDEF是正△PAB的内接矩形，圆柱底面圆直径CF在圆锥底面圆直径AB上，
依题意，△PAB是边长为4的正三角形，所以OB=2，PO=23，
因为O'是PO的中点，则CD=12PO=3，OC=12OB=1，圆锥母线PB=4，
圆柱OO'的侧面积S1=2π·OC·CD=23π，圆锥PO的表面积S2=π·OB2+π·OB·PB=4π+8π=12π，
剩余几何体的表面中，圆锥底面圆挖去以CF为直径的圆(圆柱下底面圆)，而挖去圆柱后，
圆柱上底面圆(以DE为直径的圆)成了表面的一部分，它与圆柱下底面圆全等，
所以剩余几何体的表面积是S1+S2=12π+23π.
8.(2025·广安模拟)在三棱锥P-ABC中，三条棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB=PC=2.若点Q为三棱锥P-ABC的外接球球面上任意一点，则点Q到平面ABC距离的最大值为( )
A.3+6B.3-6
C.32+66D.32-66
答案 C
解析 三棱锥P-ABC的外接球就是以PA，PB，PC为共顶点的三条棱的长方体的外接球，设外接球半径为R，则2R=12+22+22=3，即R=32，
又AB=5，BC=22，AC=5，
所以cs∠BAC=5+5−82×5×5=15，
则sin∠BAC=265，于是由正弦定理得，△ABC的外接圆半径为r=BC2sin∠BAC=536，
故球心O到平面ABC的距离为R2−r2=66.
所以点Q到平面ABC距离的最大值是32+66.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2026·长沙模拟)在空间中，下列命题错误的是( )
A.若三条直线两两相交，则这三条直线一定共面
B.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
C.若三个平面两两相交得三条不同(不重合)的交线，则这三条交线共点(相交于同一个点)或互相平行
D.若两个平面相交，那么其中一个平面内与两平面的交线不垂直的直线与另一个平面一定不垂直
答案 AB
解析 若三条直线交于一点，则这三条直线可能不共面，故A错误；
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故B错误；
若三个平面两两相交得三条不同(不重合)的交线，则这三条交线共点(相交于同一个点)或互相平行，故C正确；
对于D，假设α∩β=l，直线a为平面α内的一条直线，a与l不垂直，假设a⊥β，由于l⊂β，则a⊥l，这与题设条件矛盾，假设不成立，故D正确.
10.已知圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为π4，则( )
A.该圆台的母线长为22
B.该圆台的表面积为122π
C.该圆台的体积为56π3
D.该圆台的外接球的表面积为80π
答案 ACD
解析 设圆台上底面的半径为r1=2，下底面的半径为r2=4.
对于A中，由于母线与底面所成的角为π4，则母线长l=r2−r1cs π4=22，所以A正确；
对于B中，圆台的表面积S=πr12+πr22+πr1l+πr2l=4π+16π+π×2×22+π×4×22=(20+122)π，所以B不正确；
对于C中，由圆台的母线长l=22，且母线与底面所成的角为π4，
可得圆台的高h=22sin π4=2，
则体积V=13π(r12+r22+r1r2)·h=13π(4+16+2×4)×2=56π3，所以C正确；
对于D中，设圆台外接球的半径为R，球心到下底面的距离为h1，
若外接球的球心在圆台下底面的下方，可得R2=42+ℎ12，R2=22+(2+ℎ1)2，解得R=25，ℎ1=2，
此时圆台外接球的表面积S=4πR2=80π；
若外接球的球心在圆台上、下底面之间，可得R2=42+ℎ12，R2=22+(2−ℎ1)2，此时方程组无解，
综上可得，圆台外接球的表面积为80π，所以D正确.
11.(2025·泉州模拟)在直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠ABC=90°，BB'=2AB=2BC，M为BB'的中点，则( )
A.A'C∥C'M
B.A'C'∥平面AMC
C.AM⊥B'C'
D.平面AMC⊥平面A'MC'
答案 BCD
解析 如图，设AC，A'C'的中点分别为D，D'，连接DD'，MD，MD'，BD.
对于A，因为A'C⊂平面AA'C'C，C'M⊂平面BB'C'C，
平面AA'C'C∩平面BB'C'C=CC'，A'C∩CC'=C，C'M∩CC'=C'，
所以A'C，C'M为异面直线，故A错误；
对于B，在直三棱柱ABC-A'B'C'中，A'C'∥AC，
又A'C'⊄平面AMC，AC⊂平面AMC，所以A'C'∥平面AMC，故B正确；
对于C，在直三棱柱ABC-A'B'C'中，BB'⊥平面A'B'C'，B'C'⊂平面A'B'C'，
则BB'⊥B'C'，
又∠ABC=90°，所以∠A'B'C'=90°，即B'C'⊥A'B'，
又BB'∩A'B'=B'，BB'，A'B'⊂平面AA'B'B，所以B'C'⊥平面AA'B'B，
又AM⊂平面AA'B'B，所以AM⊥B'C'，故C正确；
对于D，不妨设BB'=2AB=2BC=2，
因为∠ABC=90°，所以AC=AB2+BC2=2，BD=12AC=1，BM=1，
在直三棱柱ABC-A'B'C'中，易知BM⊥BD，
则MD=BD2+BM2=2，
同理可得MD'=2，又DD'=BB'=2，
所以DD'2=MD2+MD'2，即MD⊥MD'，
又MA=AB2+BM2=3=MC，D为AC的中点，所以MD⊥AC，又AC∥A'C'，所以MD⊥A'C'，
又MD'∩A'C'=D'，MD'，A'C'⊂平面A'MC'，
所以MD⊥平面A'MC'，又MD⊂平面AMC，所以平面AMC⊥平面A'MC'，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.已知圆柱和圆锥的底面半径及高均相等，且圆锥侧面展开图为一个半圆，则该圆柱和圆锥的侧面积的比值为 .
答案 3
解析 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，得πl=2πr，即l=2r，
圆锥的高h=l2−r2=4r2−r2=3r，
所以圆柱的侧面积为2πr·h=23πr2，圆锥的侧面积为πr·l=2πr2，
故该圆柱和圆锥的侧面积的比值为23πr22πr2=3.
13.如图，二面角α-l-β的大小是45°，直线AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为45°，则直线AB与平面β所成角的正弦值是 .
答案 12
解析 如图，由点A向平面β作垂线AE，垂足为点E，再由点E向交线l作垂线EF，垂足为点F，连接AF，BE，则∠AFE为二面角α-l-β的平面角，故∠AFE=45°，且∠ABF=45°，并且由线面角的定义可知∠ABE为直线AB与平面β所成的角，设AB=a，则AF=22a，AE=22AF=12a，所以sin∠ABE=AEAB=12，故直线AB与平面β所成角的正弦值为12.
14.如图1，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20 cm，高为30 cm，杯内有20 cm深的溶液，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径AB所在直线与桌面所成的角为α(图2).要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，则角α的最大值为 .
答案 π4
解析 根据题意，画出图形，如图所示，
过点C作CF∥BP，交AD所在的直线于点F，过点F作FQ⊥BC，交BC于点Q，过点C作CM⊥PB，交FQ的延长线于点M，过点M作MN∥PB，交BC于点N，
在Rt△CDF中，∠FCD=α，CD=20，DF=20tan α，且点F在线段AD上，AF=30-20tan α，AB=CD=20，
此时容器内能容纳的溶液量为
π×AB22×AF+12×π×AB22×DF=100π(30-20tan α+10tan α)=100π(30-10tan α)，
而容器内原有溶液量为π×102×20=2 000π，
令100π(30-10tan α)≥2 000π，解得tan α≤1，
所以α≤π4，即要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，则角α的最大值为π4.
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