2027年高考数学一轮复习第八章　必刷大题17　解析几何学案含解析

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1.(13分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，N(2，0)是椭圆的右顶点.
(1)求椭圆的方程；(5分)
(2)过点H(0，1)且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A，B两点，求|AB|和△ABN的面积.(8分)
解 (1)由椭圆的右顶点N(2，0)，可得a=2，
又e=ca=22，所以c=2，
所以b2=a2-c2=4-2=2，
所以椭圆的方程为x24+y22=1.
(2)因为直线l过点H(0，1)且倾斜角为45°，
所以直线l的方程为y=x+1.
由y=x+1,x24+y22=1,
得3x2+4x-2=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=-43，x1x2=-23，
由弦长公式得|AB|=1+12(x1+x2)2−4x1x2
=2×−432−4×−23=2×2103=453，
又点N到直线l的距离d=|2−0+1|1+1=322，
所以S△ABN=12×453×322=10.
2.(15分)已知动圆过定点(1，0)且与直线x=-1相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程E；(4分)
(2)过点H(1，1)分别作斜率为1m，1n的直线l1，l2，若l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点，设M，N分别为线段AB，CD的中点，证明：直线MN过定点(0，2)的充要条件是1m+1n=1.(11分)
(1)解 设动圆圆心为(x，y)，
依题意得(x−1)2+y2=|x+1|，
整理得y2=4x，
所以E的方程为y2=4x.
(2)证明 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知直线AB：x-1=m(y-1)，
即x=my-m+1，
联立x=my−m+1,y2=4x,
得y2-4my+4m-4=0，
则y1+y2=4m，
故yM=y1+y22=2m，xM=2m2-m+1，
即M(2m2-m+1，2m).
由直线AB，CD的交点为H(1，1)，
可知直线MN的斜率存在，
故设直线MN：y=kx+b，
则2m=k(2m2-m+1)+b，
即2km2-(k+2)m+k+b=0，
由题意知直线CD：x-1=n(y-1)，
同理可得2kn2-(k+2)n+k+b=0，
故m，n是关于x的方程2kx2-(k+2)x+k+b=0的两根，
所以m+n=k+22k，mn=k+b2k.
充分性：若1m+1n=1，
即m+n=mn，解得b=2，
则直线MN：y=kx+2，
所以直线MN过定点(0，2)，充分性成立；
必要性：若直线MN过定点(0，2)，
则b=2，m+n=mn，1m+1n=1，必要性成立.
故直线MN过定点(0，2)的充要条件是1m+1n=1.
3.(15分)已知圆O：x2+y2=1，将圆O各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C，设曲线C与y轴正半轴交于A点，点P在曲线C上.
(1)求曲线C的方程及|AP|的最大值；(6分)
(2)设曲线C与x轴正半轴交于点B，若线段OP与线段AB交于点M，|OP|≤t|OM|(t∈R)恒成立，求实数t的最小值.(9分)
解 (1)设曲线C上任意一点为(x，y)，对应圆O上的点为(x0，y0)，
则有x=2x0,y=y0,即x0=x2,y0=y,
代入x02+y02=1，得x24+y2=1，
所以曲线C的方程为x24+y2=1，
所以A(0，1).
设点P(m，n)，所以m24+n2=1，
所以|AP|=m2+(n−1)2=4−4n2+(n−1)2=−3n2−2n+5=−3n+132+163，
又-1≤n≤1，
所以当n=-13时，|AP|max=163=433，
所以|AP|的最大值为433.
(2)由(1)可得，直线OP的方程为nx-my=0，
又A(0，1)，B(2，0)，
所以直线AB的方程为x+2y=2，
联立nx−my=0,x+2y=2,解得x=2mm+2n,y=2nm+2n,
即M2mm+2n,2nm+2n，
所以|OP|=m2+n2，
|OM|=2mm+2n2+2nm+2n2=2m2+n2m+2n，
由|OP|≤t|OM|有m2+n2≤t·2m2+n2m+2n，
即t≥m+2n2，
又因为m≥0，n≥0，
所以t≥m2+n，即t≥m2+nmax，
又m24+n2=1，所以m2+n≤2m24+n22=2，当且仅当m2=n，m24+n2=1，
即m=2，n=22时，等号成立，
所以t≥2，即实数t的最小值为2.
4.(17分)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，|AB|=2，且左焦点F到其中一条渐近线的距离为3.
(1)求双曲线C的标准方程；(3分)
(2)过左焦点F的直线l交双曲线C左、右两支于N，M两点(点M位于第一象限)，直线AM与BN相交于点T.
①求证：点T在定直线上；(6分)
②求证：射线FT平分∠MFB.(8分)
(1)解 由题意，设左焦点F的坐标为(-c，0)，
因为双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0，
a2+b2=c2，
所以左焦点F到其中一条渐近线的距离为|b·(−c)|a2+b2=bcc=b，可得b=3，
又因为|AB|=2a=2，解得a=1，
故双曲线C的标准方程为x2-y23=1.
(2)证明 由(1)知F(-2，0)，A(-1，0)，B(1，0)，
直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为x=my-2m>0且m≠33，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立x=my−2,x2−y23=1,
得(3m2-1)y2-12my+9=0，
Δ=(-12m)2-4×9(3m2-1)=36m2+36>0，
所以y1+y2=12m3m2−1，y1y2=93m2−1，则y1+y2y1y2=4m3，
故my1y2=34(y1+y2).
①因为直线AM的方程为y=y1x1+1(x+1)，
直线BN的方程为y=y2x2−1(x-1)，
联立可得y1x1+1(x+1)=y2x2−1(x-1)，
所以x+1x−1=y2(x1+1)y1(x2−1)=y2(my1−1)y1(my2−3)
=my1y2−y2my1y2−3y1=34(y1+y2)−y234(y1+y2)−3y1=3y1−y2−9y1+3y2=-13，
则x=-12，即点T在定直线x=-12上.
②由①知
T−12,y12(x1+1)，
其中x12-y123=1，
tan∠MFB=kFM=kl=1m，
tan∠TFB=kFT=y12(x1+1)32=y13(x1+1)，
则tan 2∠TFB=2tan∠TFB1−tan2∠TFB=2y13(x1+1)1−y129(x1+1)2=y1(x1+1)(x1+1)(x1+2)=y1x1+2=y1my1−2+2=1m，
即tan∠MFB=tan 2∠TFB，
所以∠MFB=2∠TFB，
故射线FT平分∠MFB.
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