2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第七章必刷小题13立体几何（Word版附答案）

这是一份2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第七章必刷小题13立体几何（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2024·新乡模拟)如图所示，水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图为△A'B'C'，其中∠x'O'y'=45°，B'O'=C'O'=1，A'O'=12，那么△ABC为( )
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.钝角三角形
D.三边互不相等的三角形
2.已知三个不同的平面α，β，γ，α∩β=a，γ∩β=b，则“α∥γ”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.下列说法中正确的是( )
A.平行于同一直线的两个平面平行
B.垂直于同一平面的两个平面垂直
C.一块蛋糕切3刀可以切成6块
D.一条直线上有两个点到一平面的距离相等，则这条直线在平面内
4.已知圆锥的侧面积等于18π，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为( )
A.1B.32C.3D.6
5.(2025·济南模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则( )
A.A1D∥D1B，MN∥平面ABCD
B.A1D∥D1B，MN⊥平面BB1D1D
C.A1D⊥D1B，MN∥平面ABCD
D.A1D⊥D1B，MN⊥平面BB1D1D
6.(2024·天津十二区重点学校联考)天津包子是一道古老的传统面食小吃，是经济实惠的大众化食品，在中国北方，在全国，乃至世界许多国家都享有极高的声誉.某天津包子铺商家为了将天津包子销往全国，决定走少而精的售卖方式，定制了如图所示由底面圆半径为4 cm的圆柱体和球缺(球的一部分)组成的单独包装盒，球缺的体积V=π(3R-h)h23(R为球缺所在球的半径，h为球缺的高).若h=2 cm，球心与圆柱下底面圆心重合，则包装盒的体积为( )
A.198π3 cm3B.196π3 cm3
C.172π3 cm3D.173π3 cm3
7.(2025·深圳模拟)已知直线a，b是异面直线，点P为空间中一点，且P不在直线a，b上，则下列说法一定正确的是( )
A.不存在过点P的平面与a，b都相交
B.存在过点P的平面与a，b都平行
C.存在过点P的直线与a，b都相交
D.存在过点P的直线与a，b都垂直
8.(2024·河南部分重点高中联考)在四面体ABCP中，平面ABC⊥平面PAC，△PAC是直角三角形，PA=PC=4，AB=BC=3，则二面角A-PC-B的正切值为( )
A.12B.53C.2D.23
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2024·娄底模拟)已知a，b，c是空间中三条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，下列命题不正确的是( )
A.若a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，则a⊥α
B.若α⊥β，a⊥α，则a∥β
C.若a∥b，a∥c，a∥α，则b∥α或c∥α
D.若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β
10.已知圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为π4，则( )
A.该圆台的母线长为22
B.该圆台的表面积为122π
C.该圆台的体积为56π3
D.该圆台的外接球的表面积为80π
11.(2024·杭州模拟)如图，在三棱锥P-EDF的平面展开图中，E，F分别是AB，BC的中点，正方形ABCD的边长为2，则在三棱锥P-EDF中( )
A.PD⊥EF
B.平面PEF⊥平面DEF
C.三棱锥P-EDF的外接球的表面积为7π
D.PD与平面EFD所成的角的余弦值为223
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB=BC=2，BB1=1，AC=22，则异面直线BD与AC所成的角为 .
13.圆锥轴截面顶角为120°，母线长为3，过圆锥顶点的平面截此圆锥，则截面三角形面积的最大值为 .
14.(2024·济南模拟)已知正三棱锥P-ABC的底面△ABC的边长为23，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥P-ABC的体积为 .
答案精析
1.B [如图，根据斜二测画法还原△ABC，则OB＝OC＝OA＝1，
且OA⊥BC，
因此AB＝AC＝2，BC＝2，
则AB2+AC2＝BC2，
故∠BAC＝90°，
所以△ABC为等腰直角三角形.]
2.A [因为α∥γ，α∩β＝a，γ∩β＝b，所以由面面平行的性质定理可得a∥b，则充分性成立；
因为a∥b，α∩β＝a，γ∩β＝b，所以a⊄γ,b⊂γ,则a∥γ，又b⊄α,a⊂α,则b∥α，当α∩γ＝l时，由线面平行的性质定理可知a∥l∥b，则必要性不成立，
综上所述，“α∥γ”是“a∥b”的充分不必要条件.]
3.C [平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，故A错误；
垂直同一个平面的两个平面不一定互相垂直，也可以相交、平行，故B错误；
作蛋糕截面如图所示，一个蛋糕切3刀可以切成6块，故C正确；
一条直线上有两个点到一平面的距离相等，则这条直线在平面内或该直线与平面平行或直线与平面相交，故D错误.]
4.C [设圆锥的底面圆的半径为r，
母线长为l，
∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，
∴πl＝2πr，∴l＝2r，
∵圆锥的侧面积为18π，
即12πl2＝18π，
∴l＝6，则r＝3.]
5.C [由已知AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，
则AB⊥A1D，又AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A，AB，AD1⊂平面ABD1，
所以A1D⊥平面ABD1，
又D1B⊂平面ABD1，
所以A1D⊥D1B，A，B错误；
因为M，N分别为AD1，D1B的中点，所以MN∥AB，
又MN⊄平面ABCD，
AB⊂平面ABCD，
所以MN∥平面ABCD，C正确；
若MN⊥平面BB1D1D，因为BD⊂平面BB1D1D，则必有MN⊥BD，又MN∥AB，所以AB⊥BD，明显不成立，D错误.]
6.B [如图，
设圆柱的高为OO'＝m cm，OA＝OC＝R，
则OA2＝O'O2+O'A2，
即R2＝m2+42,R＝m+2,解得m＝3,R＝5,
则圆柱的高为3 cm，
故包装盒的体积为π×42×3+π(3×5-2)×223＝196π3(cm3).]
7.D [当点P和直线a所确定的平面与直线b平行时，B，C不正确；
任取直线a上点A，直线b上点B，使P，A，B不共线，则平面PAB与a和b都相交，A不正确；
过P分别作直线a和b的平行线a'和b'，记a'和b'所确定的平面为α，过P作α的垂线l，则垂线l与a，b都垂直，D正确.]
8.A [设AC，PC的中点分别为E，D，连接BE，DE，BD，
则DE∥PA，
因为AB＝BC，所以BE⊥AC，
又因为平面ABC⊥平面PAC，BE⊂平面ABC，
平面ABC∩平面PAC＝AC，
所以BE⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，则BE⊥PC，
因为△PAC是直角三角形，PA＝PC＝4，所以PA⊥PC，
所以DE⊥PC，且DE＝12×4＝2，
因为DE∩BE＝E，且DE，BE⊂平面BDE，所以PC⊥平面BDE，
又因为BD⊂平面BDE，
则PC⊥BD，
所以∠BDE为二面角A－PC－B的平面角，且tan∠BDE
＝BEDE＝32-(22)22＝12.]
9.ABC [对于A，若b∥c，则a与α相交或平行，或a⊂α故A错误；
对于B，若α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，故B错误；
对于C，有可能b⊂α且c⊂α且b∥c，故C错误；
对于D，若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β，故D正确.]
10.ACD [设圆台上底面的半径为r1＝2，下底面的半径为r2＝4.
对于A中，由于母线与底面所成的角为π4，则母线长l＝r2-r1cs π4＝22，所以A正确；
对于B中，圆台的表面积S＝πr12+πr22+πr1l+πr2l＝4π+16π+π×2×22+π×4×22＝(20+122)π，所以B不正确；
对于C中，由圆台的母线长l＝22，且母线与底面所成的角为π4，
可得圆台的高h＝22sin π4＝2，
则体积V＝13π(r12+r22+r1r2)·h＝13π(4+16+2×4)×2＝56π3，所以C正确；
对于D中，设圆台外接球的半径为R，球心到下底面的距离为h1，
若外接球的球心在圆台下底面的下方，可得R2＝42+h12,R2＝22+(2+h1)2,
解得R＝25,h1＝2,此时圆台外接球的表面积S＝4πR2＝80π；
若外接球的球心在圆台上、下底面之间，可得R2＝42+h12,R2＝22+(2-h1)2,
此时方程组无解，
综上可得，圆台外接球的表面积为80π，所以D正确.]
11.AD [对于A，如图1，连接BD交EF于G，根据正方形的性质易知EF⊥BD，
所以如图2，有EF⊥GD，EF⊥PG，又PG∩GD＝G，PG，GD⊂平面GPD，所以EF⊥平面GPD，PD⊂平面GPD，所以EF⊥PD，故A正确；
对于B，由A项分析可知∠PGD为二面角P－EF－D的平面角，易知PG＝22，DG＝322，
PD＝2≠PG2+DG2，
则PG，DG不垂直，故B错误；
对于C，因为PE，PF，PD两两垂直，可将三棱锥补成长方体，
其外接球的直径为
2R＝PE2+PF2+PD2＝6，故外接球的表面积为4πR2＝6π，故C错误；
对于D，因为EF⊥平面GPD，且EF⊂平面EFD，所以平面GPD⊥平面EFD，所以∠PDG为PD与平面EFD所成的角，cs∠PDG＝4+92-122×2×322＝223，D正确.]
12.60°
解析 如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE(或其补角)为异面直线BD与AC所成的角.
由条件知BD＝DE＝EB＝2，
则∠BDE＝60°.
13.92
解析 因为圆锥轴截面顶角为2π3，
所以任意两条母线夹角的范围是0，2π3，设母线长为l，母线的夹角是θ，所以过圆锥顶点的截面三角形面积S＝12l2sin θ＝92sin θ，
因为θ∈0，2π3，所以sin θ∈(0，1]，
所以截面三角形面积的最大值是92.
14.2
解析 因为球与该正三棱锥的各棱均相切，
所以平面ABC截球得到的截面圆与△ABC的三边均相切，所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面ABC垂直的直线上，
又△ABC的边长为23，
所以△ABC的内切圆的半径为
r'＝tan π6·12AB＝33×3＝1，
又因为球的半径r＝1，即r'＝r，
所以棱切球的球心即为△ABC内切圆的圆心，
如图，过球心O作PA的垂线交PA于点H，
所以OH＝r＝1，
又因为
OA＝12ABcs π6＝332＝2，
所以cs∠AOH＝OHOA＝12，
因为∠AOH∈0，π2，
所以∠AOH＝π3，
又由题意可知，PO⊥平面ABC，
所以PO⊥OA，
所以∠POH＝π6，
所以PO＝OHcs π6＝132＝233，
所以V三棱锥P－ABC＝13×12×23×23×32×233＝2.