2027年高考数学一轮复习第六章　必刷小题11　数　列学案含解析

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一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.已知数列{an}为等差数列，且a1+a4+a6+a8+a11=80，则lg2(a5+a7)的值为( )
A.4B.5C.6D.3
答案 B
解析 由等差数列的性质，可得a1+a4+a6+a8+a11=5a6=80，解得a6=16，
所以lg2(a5+a7)=lg2(2a6)=lg232=5.
2.已知数列{an}的前n项和Sn=n3-2n+sinn2π，则a6等于( )
A.66B.77C.88D.99
答案 C
解析 由Sn=n3-2n+sinn2π可得S6=63-12+sin 3π=216-12=204，
S5=53-10+sin52π=125-10+1=116，
故a6=S6-S5=204-116=88.
3.(2025·济宁模拟)已知{an}为等比数列，且a1=1，则“a5=2”是“a9=4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由题意知，{an}为等比数列，
当a5=2时，得a1a9=a52=4，所以a9=4，故充分性成立；
当a9=4时，a52=a1a9=4，解得a5=±2，
又a1，a5，a9同号，所以a5=2，故必要性成立.
所以“a5=2”是“a9=4”的充要条件.
4.(2025·泰安模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a5+3a6+2a9=49，则S11等于( )
A.44B.33C.66D.77
答案 D
解析 因为a1+a5+3a6+2a9=2a5+2a7+3a6=7a6=49，
所以a6=7，S11=11(a1+a11)2=11a6=77.
5.已知一个项数为偶数的等比数列{an}，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a1等于( )
A.1B.4C.12D.36
答案 C
解析 由题意可得，{an}的所有项之和S奇+S偶是所有偶数项之和S偶的4倍，
所以S奇+S偶=4S偶，故S偶=13S奇，
设等比数列{an}的公比为q，该等比数列共有2k(k∈N*)项，
则S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=13S奇，
所以q=13，
因为a23=a1a2a3=64，可得a2=4，
因此a1=a2q=12.
6.(2025·郑州模拟)某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将开始低于购进价值的5%，设备将报废.则d的取值范围为( )
A.(0，20.9]B.(19，20.9]
C.(19，+∞)D.(20.9，+∞)
答案 B
解析 设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}.
由已知条件，得an=an-1-d(n≥2).
由于d是与n无关的常数，∴数列{an}是一个公差为-d的等差数列.
∵购进设备的价值为220万元，∴a1=220-d，
于是an=a1+(n-1)(-d)=220-nd.
根据题意，得a10≥220×5%=11，a11an+1-an，
也即数列{an}的相邻两项之差单调递增，要使得正整数k最大，则数列{an}的增长尽可能缓慢，
即需要让相邻两项差值尽可能小，又an∈Z，即相邻两项差值构成公差为1的等差数列，
因为a2-a1=3-1=2，则a3-a2=3>a2-a1=2，a4-a3=4>a3-a2=3，…，所以an+1-an=n+1，
采用累加法得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)2(n≥2)，
令ak=k(k+1)2=2 026，即k2+k-4 052=0，
解得k=−1+16 2092≈63.16(负值舍去)，
当k=63时，a63=63×642=2 0162 026，不符合题意.
综上，正整数k的最大值为63.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，an+1=4Sn，则( )
A.S2=5
B.a2 026=25a2 024
C.数列{an}是等比数列
D.数列{Sn}是等差数列
答案 AB
解析 对于A，由an+1=4Sn，得a2=4S1=4a1=4，
∴S2=a1+a2=5，A正确；
对于B，an+1=4Sn，①
当n≥2时，an=4Sn-1，②
①-②得，an+1-an=4Sn-4Sn-1=4an，
∴an+1=5an，n≥2，
∴a2 026=5a2 025=25a2 024，B正确；
对于C，当n≥2时，an+1=5an，
但a2=4a1，不满足上式，
∴数列{an}不是等比数列，C错误；
对于D，由an+1=4Sn，即Sn+1-Sn=4Sn，
∴Sn+1=5Sn，
∴数列{Sn}是等比数列，不是等差数列，D错误.
10.(2025·天津模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知a3=12，S12>0，a70
D.当Sn0⇒a6+a7>0，而a70，C正确；
而S13=13·(a1+a13)2=13a70⇒-247