2027年高考数学一轮复习第六章　§6.4　数列中的构造问题学案含解析

这是一份2027年高考数学一轮复习第六章　§6.4　数列中的构造问题学案含解析
题型一 待定系数法
命题点1 an+1=pan+q(p≠0，1，q≠0)
例1 (2025·石家庄模拟)已知数列{an}满足an+1=23an+4，且a1=1，则{an}的通项公式为( )
A.an=9-18×23n+1
B.an=7-9×23n
C.an=12-11×23n−1
D.an=-12+13×23n−1
答案 C
解析 设an+1+x=23(an+x)，即an+1=23an-13x，
所以-13x=4，解得x=-12，
所以an+1-12=23(an-12)，又a1-12=-11，
所以an−12是首项为-11，公比为23的等比数列，
所以an-12=-11×23n−1，
所以an=12-11×23n−1.
命题点2 an+1=pan+qn+c(p≠0，1，q≠0)
例2 在数列{an}中，已知a1=2，且an+1=4an-3n+1(n∈N*)，则该数列的通项公式为 .
答案 an=4n-1+n
解析 令an+1-A(n+1)-B=4(an-An-B)，
则an+1=4an-3An+A-3B，
由条件得−3A=−3，A−3B=1，解得A=1，B=0，
即an+1-(n+1)=4(an-n)，又a1-1=1，
故数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列，
从而an-n=4n-1，故an=4n-1+n.
命题点3 an+1=pan+qn(p≠0，1，q≠0，1)
例3 (1)(2026·昆明模拟)已知数列{an}满足an+1=3an+3n(n∈N*)，且a1=1，则数列{an}的通项公式为 .
答案 an=n·3n-1
解析 将an+1=3an+3n两边同时除以3n+1，得an+13n+1=an3n+13，即an+13n+1-an3n=13，
由等差数列的定义知，数列an3n是以a13=13为首项，13为公差的等差数列，
所以an3n=13+(n-1)×13=n3，故an=n·3n-1.
(2)已知数列{an}满足an+1=2an+3×5n，a1=2，则数列{an}的通项公式为 .
答案 an=5n-3×2n-1
解析 方法一 将an+1=2an+3×5n两边同时除以5n+1，得an+15n+1=25×an5n+35，
变形得an+15n+1-1=25an5n−1，由于a151-1=-35≠0，所以数列an5n−1是以-35为首项，25为公比的等比数列，即an5n-1=-3525n−1，故数列{an}的通项公式为an=5n-3×2n-1.
方法二 设an+1+A×5n+1=2(an+A×5n)，
展开整理得an+1=2an-3A×5n，
对比原式an+1=2an+3×5n，可得A=-1，
即an+1-5n+1=2(an-5n)，
由于a1-51=-3≠0，
所以数列an−5n是以-3为首项，2为公比的等比数列.
即an-5n=-3×2n-1，故数列{an}的通项公式为an=5n-3×2n-1.
思维升华
跟踪训练1 (多选)已知数列{an}，下列结论正确的有( )
A.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，则an=n·2n
B.在数列{an}中，a1=1，且an=2an-1+3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an=2n+1-3
C.若a1=2，an=13an-1+13n(n≥2)，则数列an13n是等比数列
D.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n-1，则数列{an}的通项公式为an=2n-n+1
答案 AB
解析 ∵2(n+1)an-nan+1=0，
∴an+1n+1=2ann，
∴ann是首项为a11=2，公比为2的等比数列，
∴ann=2·2n-1，∴an=n·2n，故A正确；
由an=2an-1+3(n≥2)，得an+3=2(an-1+3)，
即an+3an−1+3=2，
又a1+3=1+3=4，
∴数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴an+3=4×2n-1，即an=2n+1-3，
∴数列{an}的通项公式为an=2n+1-3，故B正确；
根据题意，an=13an-1+13n
⇔an13n-an−113n−1=1，n≥2，
又a113=6，∴an13n是首项为6，公差为1的等差数列，故C错误；
设an+1+k(n+1)+b=2(an+kn+b)，
∴an+1=2an+kn+b-k，
由an+1=2an+n-1，
得k=1，b−k=−1，解得k=1，b=0.∴an+1+n+1an+n=2，
即{an+n}是首项为a1+1=2，公比为2的等比数列.
∴an+n=2×2n-1=2n，故an=2n-n，故D错误.
题型二 取倒数法和取对数法
命题点1 取倒数法
例4 (1)(2025·南宁检测)已知数列{an}的首项a1=13，且满足an+1=an4an+1(n∈N*)，则a20的值为( )
A.179B.269C.178D.175
答案 A
解析 因为a1=13，an+1=an4an+1(n∈N*)，易知an≠0，
所以1an+1=4an+1an=4+1an，即1an+1-1an=4，
又a1=13，所以1a1=3，
故1an是以3为首项，4为公差的等差数列，
则1an=3+4(n-1)=4n-1，故an=14n−1，
所以a20=14×20−1=179.
(2)已知数列{an}中，a1=1，an+1=anan+3(n∈N*)，则an= .
答案 23n−1
解析 因为an+1=anan+3(n∈N*)，
所以1an+1=3an+1，
设1an+1+t=31an+t，
所以3t-t=1，解得t=12，
所以1an+1+12=31an+12，
又1a1+12=1+12=32，
所以数列1an+12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以1an+12=32×3n-1=3n2，
所以an=23n−1.
命题点2 取对数法
例5 (2025·岳阳模拟)已知数列{an}满足a1=10，an+1=10an2，若as·at=110a10，则s+t的最大值为( )
A.10B.12C.16D.18
答案 D
解析 由an+1=10an2可得an>0，
lg an+1=lg(10an2)=2lg an+1，
故lg an+1+1=2(lg an+1)，
又lg a1+1=2，故{lg an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
则lg an+1=2n，故an=102n−1，
由as·at=110a10可得102s−1·102t−1=102s+2t−2
=10210−2，
故2s+2t=210，
则210≥22s·2t=22s+t=2s+t2+1，
故s+t2+1≤10，得00，且10an=an−12(n≥2)，则an= .
答案 102n−1+1
解析 由10an=an−12(n≥2)且an>0，两边取对数得lg an+1=2lg an-1，n≥2，
令xn=lg an，则xn+1=2xn-1，n≥2，
整理得xn-1=2(xn-1-1)，
又x1-1=lg a1-1=1，
所以数列xn−1是首项为1，公比为2的等比数列，
则xn-1=2n-1，故xn=2n-1+1，
故an=102n−1+1.
题型三 相邻项的差为特殊数列(形如an+2=pan+1+qan(p，q为常数，且p≠0，q≠0))
例6 在数列{an}中，a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an，则an= .
答案 2n-1
解析 由题意知，an+2-an+1=2(an+1-an)，
因为a2-a1=2，所以{an-an-1}(n≥2，n∈N*)是首项为2，公比为2的等比数列，an-an-1=2n-1(n≥2)，
当n≥2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=1−2n1−2=2n-1.
显然当n=1时，a1=1满足上式，所以an=2n-1.
思维升华 递推关系形如an+2=Aan+1+Ban，可构造新的等比数列an+1+xan，转化变形后求解.
跟踪训练3 在数列{an}中，a1=-1，a2=1，an+2=4an+1-3an，则数列{an}的通项公式an= .
答案 3n-1-2
解析 方法一 由题意得an+2-an+1=3(an+1-an)，
又a2-a1=2，
则{an+1-an}是首项为2，公比为3的等比数列，
an+1-an=2·3n-1，
利用累加法可得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2·3n-2+2·3n-3+…+2·31-1-1=2·1−3n−11−3-1=3n-1-2(n≥2)，
显然当n=1时，a1=-1满足上式，
所以an=3n-1-2.
方法二 由题意得an+2-3an+1=an+1-3an，
又a2-3a1=4，则an+1−3an是首项为4，公比为1的等比数列，
得到an+1-3an=4，即an+1+2=3(an+2)，
又a1+2=1，所以{an+2}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an+2=3n-1，
可得an=3n-1-2.
课时精练
[分值：80分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.在数列{an}中，a1=1，且an+1=2an+1，则S2 026等于( )
A.22 024-2 025B.22 025-2 026
C.22 026-2 027D.22 027-2 028
答案 D
解析 因为an+1=2an+1，
所以an+1+1=2(an+1)，
又a1+1=2，所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an+1=2n，所以an=2n-1，
故Sn=2(1−2n)1−2-n=2n+1-n-2，
所以S2 026=22 027-2 028.
2.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+n，则a4等于( )
A.17B.18C.19D.20
答案 C
解析 方法一 因为an+1=2an+n，
所以an+1+n+2=2an+2n+2=2(an+n+1)，
又a1+1+1=1+1+1=3，
即数列{an+n+1}是以3为首项，2为公比的等比数列，
即an+n+1=3·2n-1，
即an=3·2n-1-n-1，
故a4=3·23-4-1=19.
方法二 由an+1=2an+n，a1=1，
故a2=2a1+1=3，
a3=2a2+2=8，a4=2a3+3=19.
3.(2026·长春模拟)已知数列{an}满足a1=1且an+1=6anan+6(n∈N*)，则a13等于( )
A.16B.15C.14D.13
答案 D
解析 由an+1=6anan+6得1an+1=an+66an=1an+16，
又1a1=1，∴数列1an是以1为首项，16为公差的等差数列，
∴1an=1+16(n-1)=n+56，
∴an=6n+5，n∈N*，
∴a13=618=13.
4.(2025·忻州模拟)已知数列{an}满足an+1an+an+1an+2=2，且a2=a12a1+1，a3=17，则3a100等于( )
A.165B.167C.169D.171
答案 B
解析 因为an+1an+an+1an+2=2，可得1an+1an+2=2an+1，可知数列1an为等差数列，
又因为a2=a12a1+1，即1a2=2a1+1a1=2+1a1，即1a2-1a1=2，
可知1an是以2为公差的等差数列，
且a3=17，则1a1=1a3-2×2=7-4=3，
可得1an=3+2(n-1)=2n+1，即an=12n+1，
所以3a100=3201=167.
5.(2025·宜宾模拟)一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则a2 024a2 026-a2 0252等于( )
A.1B.-1C.2D.-2
答案 A
解析 依题意，an=an-1+an-2(n≥3)，
a1=1，a2=2，a3=a1+a2=3，
anan+2-an+12=an(an+1+an)-an+12=anan+1+an2-an+12=an2+an+1(an-an+1)=an2-an+1an-1=-(an-1an+1-an2)(n≥2)，
a1a3-a22=-1，
所以数列{anan+2-an+12}是首项为-1，公比为-1的等比数列，
anan+2-an+12=(-1)×(-1)n-1=(-1)n，
所以a2 024a2 026-a2 0252=(-1)2 024=1.
6.在数列{an}中，a1=1，an+1=3an-2n-1(n∈N*)，记cn=3n-2×(-1)nλan，若数列{cn}为递增数列，则实数λ的取值范围为( )
A.−32，1B.(-2，1)
C.(-1，1)D.(0，1)
答案 A
解析 由an+1=3an-2n-1，
得an+12n+1=32·an2n-14，
即an+12n+1-12=32an2n−12，
而a121-12=0，则an2n-12=0，
即an=2n-1，
则cn=3n-2×(-1)nλ·2n-1=3n-(-2)nλ，
由数列{cn}为递增数列，
得∀n∈N*，cn+1>cn恒成立，
则∀n∈N*，3n+1-(-2)n+1λ>3n-(-2)nλ，
即3n-1>(-2)n-1λ恒成立，
当n为奇数时，λ-32，
所以实数λ的取值范围为−32，1.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·榆林模拟)已知数列{an}，Sn为其前n项和，下列结论正确的有( )
A.若a1=2，an+1=an+n+1，则a20=211
B.若Sn=3n+12，则数列{an}是等比数列
C.若a1=1，an+1=3an+2，则a4=53
D.若a1=1，2an+1-an+anan+1=0(n∈N*)，则a6=164
答案 AC
解析 由an+1=an+n+1得an+1-an=n+1，
∴a20=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a20-a19)=2+2+3+4+…+20
=2+19×(2+20)2=211，选项A正确；
由Sn=3n+12得，a1=3+12=72，
a2=S2-S1=9+12-3+12=6，
a3=S3-S2=27+12-9+12=18，
∵a22≠a1a3，∴数列{an}不是等比数列，选项B错误；
由an+1=3an+2得，an+1+1=3(an+1)，且a1+1=2，
∴数列an+1是以2为首项，以3为公比的等比数列，
∴a4+1=2×33=54，∴a4=53，选项C正确；
由a1=1，2an+1-an+anan+1=0，显然an≠0，
则有1an+1=2·1an+1，
即1an+1+1=21an+1，
而1a1+1=2，
∴数列1an+1是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴1an+1=2n，
即an=12n−1，∴a6=163，选项D错误.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，an+1=4an+3×4n，则( )
A.a2=24
B.an4n为等比数列
C.an=3n·4n-1
D.lg2(4a100-3S100+1)=200
答案 ACD
解析 选项A，由题意得a2=4a1+3×4=24，A正确；
选项B，将an+1=4an+3×4n两边同时除以4n+1，
得an+14n+1=an4n+34，
即an+14n+1-an4n=34，
则an4n是首项为a14=34，公差为34的等差数列，不是等比数列，B错误；
选项C，由an4n=34+34(n-1)=34n，
得an=3n·4n-1，C正确；
选项D，Sn=3+6×4+9×42+…+3n×4n-1，①
4Sn=3×4+6×42+9×43+…+3n×4n，②
①-②，得-3Sn=3+3×(4+42+…+4n-1)-3n×4n
=3+3×4(1−4n−1)1−4-3n×4n=(1-3n)×4n-1，
即Sn=(3n−1)×4n+13，
因为4an-3Sn+1=4×3n×4n-1-3×(3n−1)×4n+13+1=4n，所以lg2(4a100-3S100+1)=lg24100=lg22200=200，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知数列{an}满足a1=1，an=2an−1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为 .
答案 an=22−22−n
解析 易知an>0，对an=2an−1(n≥2)两边取对数得lg2an=lg2(2an−1)=1+12lg2an-1，n≥2，
∴lg2an-2=12(lg2an-1-2)，n≥2，
又∵lg2a1-2=-2，
∴{lg2an-2}是首项为-2，公比为12的等比数列，
∴lg2an-2=-2×12n−1=-22-n，
∴an=22−22−n.
10.(2025·天津模拟)已知数列{an}满足a1=1，a2=12，且an+2=an+12an+an+1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是 .
答案 an=1n！
解析 由an+2=an+12an+an+1(n∈N*)，
则an+2an+1=an+1an+an+1，
即an+1an+2=an+an+1an+1=anan+1+1，又a1=1，a2=12，则a1a2=112=2，
故数列anan+1是以2为首项，1为公差的等差数列，
即anan+1=2+(n-1)=n+1，
则有an−1an=n，an−2an−1=n-1，…，a1a2=2，且n≥2，
故an−1an×an−2an−1×…×a1a2=a1an=n！，即an=a1n！=1n！，显然当n=1时，a1=1也满足上式，所以an=1n！.
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·广州模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=53，3an+1=an+2.
(1)求{an}的通项公式；(5分)
(2)若S2 025