2025高考数学一轮复习-第6章-第4节 数列中的构造问题【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第6章-第4节 数列中的构造问题【课件】，共42页。PPT课件主要包含了感悟提升，n＋1－n－1，n－1＋3n－1，n－1，课时分层精练，n＋1－n－2，ACD等内容，欢迎下载使用。
1.掌握求数列通项公式的方法：公式法、累加法、累乘法. 2.会利用构造法转化为特殊的数列（等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列）求解通项公式.
考点一　形如an＋1＝pan＋f(n)型
角度1　an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)例1 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋4，求数列{an}的通项公式.
解　设an＋1＋t＝3(an＋t)，即an＋1＝3an＋2t，又an＋1＝3an＋4，根据对应项系数相等，解得t＝2，故an＋1＋2＝3(an＋2).
所以{bn}是3为首项，3为公比的等比数列，所以bn＝3×3n－1＝3n，即an＝3n－2.
训练1 (1)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝_____________.
解析　令an＋1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)，即an＋1＝2an＋xn＋y－x，与原等式比较得，x＝y＝1，
所以数列{an＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋n＋1＝4×2n－1，即an＝2n＋1－n－1.
(2)(2024·河南名校联考)若数列{an}满足a1＝2，an＋1－2an＝3n－1，则数列{an}的通项公式an＝____________.
考点二　相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)型
例4 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝__________.
解析　法一　因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，
又因为b1＝a2＋a1＝3，所以{bn}是首项为3，公比为3的等比数列.所以bn＝an＋1＋an＝3×3n－1＝3n，
法二　因为方程x2＝2x＋3的两根为－1，3，可设an＝c1·(－1)n－1＋c2·3n－1，由a1＝1，a2＝2，
可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}.
训练2 若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析　f′(x)＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，∴f′(1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0，即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3n－1，则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n－2＋…＋2×30＋1
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为(　　)A.15B.23C.32D.42
解析　因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，所以a4＝23.
3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，则a4等于(　　)A.64B.56C.32D.24
4.已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝(　　)A.47B.48C.49D.410
解析　由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，
所以数列{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为4，所以a9＋a10＝49.
lg3an＋1＝2lg3an，则数列{lg3an}是以lg3a1＝1为首项，2为公比的等比数列，则lg3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝32n－1.
6.设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n＋1，则S10＝(　　)A.211－23B.210－19C.3×210－23D.3×29－19
解析　当n＝1时，S1＝a1＝2a1－2＋1，解得a1＝1.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n＋3，所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－(2an－1－2n＋3)，即an＝2an－1＋2，所以an＋2＝2(an－1＋2)，a1＋2＝3，所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，则an＋2＝3×2n－1，从而Sn＝3×2n－2n－3，故S10＝3×210－23.
10.(2024·四川名校联考)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝________.
解析　由题知an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，因为a2－a1＝2，所以{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1－an＝2n，
12.已知Sn是数列{an}的前n项和，an＋1－3an＋2an－1＝1，a1＝1，a2＝4，则数列{an}的通项公式an＝______________.
解析　因为an＋1－3an＋2an－1＝1，所以an＋1－an＝2(an－an－1)＋1，
因为a1＝1，a2＝4，所以a2－a1＋1＝4，故数列{an＋1－an＋1}是首项为4，公比为2的等比数列，所以an＋1－an＋1＝4·2n－1＝2n＋1，即an＋1－an＝2n＋1－1，
所以当n≥2时，a2－a1＝22－1，a3－a2＝23－1，a4－a3＝24－1，…，an－an－1＝2n－1，
因为a1＝1，所以an＝2n＋1－n－2，n≥2；又a1＝1符合上式，所以an＝2n＋1－n－2.
解析　∵a1＝1，4an＋1＝3an－n＋4，
显然(a2＋2)2≠(a1＋2)(a3＋2)，∴{an＋2}不可能是等比数列，故D正确.
14.(2024·武汉质检)将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1，2，3，…，2 025，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于(　　)
A.2 025×22 022B.2 026×22 023C.2 025×22 023D.2 026×22 024
解析　记第n行的第一个数为an，则a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2，a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2an－1＋2n－2，
∴an＝(n＋1)×2n－2，又每行比上一行的数字少1个，∴最后一行为第2 025行，∴M＝a2 025＝2 026×22 023.
解析　由题设，(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，a2－a1＝4，故{an＋1－an}是首项为4，公差为2的等差数列，则an＋1－an＝2n＋2，则an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＝an－a1＝2[(n－1)＋…＋1]＋2(n－1)＝(n＋2)(n－1)，
解析　∵f(x)＝2x2－8，∴f′(x)＝4x，