2027年高考数学一轮复习第九章　必刷大题18　统计与统计分析学案含解析

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1.(13分)(2025·上海)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌.以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列.
(1)求这组数据的极差与中位数；(3分)
(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；(4分)
(3)若比赛成绩y关于年份x的经验回归方程为y^=-0.311x+b^，年份x的平均数为2 006，预测2028年冠军队的成绩(精确到0.01秒).(6分)
解 (1)由题意，该组数据的最大值为216.93，最小值为206.78，
则极差为216.93-206.78=10.15；
中间两数据为209.35与210.68，
则中位数为209.35+210.682=210.015.
故极差为10.15，中位数为210.015.
(2)由题意，数据共10个，在211以上的数据共有4个，
设事件A为“恰有2个数据在211以上”，
则P(A)=C42·C61C103=310，
故恰有2个数据在211以上的概率为310.
(3)由题意，比赛成绩的平均数为
110×(206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93)=211.399，
由y^=-0.311x+b^过点(2 006，211.399)，
则b^=211.399+0.311×2 006=835.265，
故经验回归方程为y^=-0.311x+835.265.
当x=2 028时，y^=-0.311×2 028+835.265=204.557≈204.56.
故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒.
2.(15分)(2025·临沧模拟)在一次区域的统考中，为了了解学生数学学科成绩的情况，从所有考生的数学成绩中随机抽取了40名考生的数学成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这40名学生的数学成绩的平均数与上四分位数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留1位小数)(4分)
(2)为了进一步了解70分以下的学生的数学学习情况，调查方从成绩在[50，70)分数段的学生中按组([50，60)，[60，70)各算一组)采用按比例分配的分层随机抽样，抽取了6个人进行深入地学习交流，学习交流完后再从这6个人中随机抽取2个人进行再测试，求这两个人中至少有一个人在之前的统考中成绩位于[50，60)的概率；(5分)
(3)已知落在[80，90)的平均成绩x=87，方差s12=4，落在[90，100]的平均成绩y=94，方差s22=4，求落在[80，100]的平均成绩z，并估计落在[80，100]的成绩的方差s2.(6分)
解 (1)设平均数为x，上四分位数为x1，
则x=55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05=75，
上四分位数x1满足方程0.1+0.2+0.35+(x1-80)×0.03=0.75，∴x1≈83.3.
∴这40名学生的数学成绩的平均数约为75分，上四分位数约为83.3分.
(2)由频率分布直方图可知，分数在[50，60)的有4人，分数在[60，70)的有8人，
∴按比例分配的分层随机抽样的抽样比为612=12，
∴从分数在[50，60)的学生中抽取2人，分数在[60，70)的学生中抽取4人，
将抽取的这6个人编号1，2，3，4，5，6，其中1，2是成绩在[50，60)的两个学生，
则从6个人中随机抽取2个人的所有可能情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种，
其中至少有一个人在之前的统考中成绩位于[50，60)的情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，共9种，
故两个人中至少有一个人在之前的统考中成绩位于[50，60)的概率为915=35.
(3)成绩在[80，90)内有40×0.030×10=12(人)，在[90，100]内有40×0.005×10=2(人)，
∴落在[80，100]内的平均成绩z=87×12+94×214=88，
估计落在[80，100]的成绩的方差s2=1214×[4+(87-88)2]+214×[4+(94-88)2]=10.
3.(15分)某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本量为30的样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据：
记抽取的第i个女生的身高为xi(i=1，2，3，…，10)，样本平均数x=160，方差s2=15.
参考数据：15≈3.9，1592=25 281，1692=28 561.
(1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在[160，165]范围内的人数；(4分)
(2)用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数μ和标准差σ，求μ，σ的值；(5分)
(3)如果女生样本数据在(x-2s，x+2s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.(6分)
解 (1)因为女生样本中，身高在[160，165]范围内的频率为410=25，
故该校高一女生身高在[160，165]范围内的人数估计为100×25=40.
(2)记总样本的平均数为X，标准差为S，
由题意，设男生样本(20人)的身高平均数为
y=169，方差为sy2=39，
女生样本(10人)的身高平均数为
x=160，方差s2=15，
则X=20×169+10×16030=166，
S2=23[39+(169-166)2]+13[15+(160-166)2]
=23×48+13×51=49，
故μ≈166，σ≈S2=7.
(3)由x=160，s=15，则(x-2s，x+2s)，
即(160-215，160+215)，
约为(152.2，167.8)，由样本数据知，
169∉(160-215，160+215)，为离群值，
剔除169后，女生样本(9人)的身高平均数为
x'=19(160×10-169)=159.
由s2=110(10Σi=1xi2-10x2)=110(10Σi=1xi2-256 000)=15可得，10Σi=1xi2=256 150，
则剔除169后，女生样本(9人)的身高的方差为s'2=19(10Σi=1xi2-1692-9x'2)=19(256 150-28 561-9×25 281)=203.
4.(17分)(2025·石家庄模拟)A市某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了A市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数y(万人)与第x个月的数据.
(1)根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，且经验回归方程y^=b^x+a^中的b^=32.88，求样本相关系数r(精确到0.01)，并判断是否可以认为y与x的线性相关程度很强；(9分)
(2)为了解游客对该景点的评价情况，随机调查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的2×2列联表，并判断能否根据小概率值α=0.001的独立性检验，认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关”.(8分)
参考公式：
(1)样本相关系数r=nΣi=1(xi−x)(yi−y)nΣi=1(xi−x)2nΣi=1(yi−y)2.若|r|≥0.75，则认为y与x的线性相关程度很强.经验回归直线y^=b^x+a^中斜率的最小二乘估计公式为b^=nΣi=1(xi−x)(yi−y)nΣi=1(xi−x)2=nΣi=1xiyi−nx ynΣi=1xi2−nx2；
(2)χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
临界值表：
参考数据：5Σi=1yi=384.6，y≈77，5Σi=1xi2=55，5Σi=1yi2≈40 954，113 090≈336.3.
解 (1)由题可知x=1+2+3+4+55=3，
y≈77，b^=32.88，
∴5Σi=1xi2-5x2=55-5×32=10，
5Σi=1yi2-5y2≈40 954-5×772=11 309.
由b^=nΣi=1(xi−x)(yi−y)nΣi=1(xi−x)2=nΣi=1xiyi−nx ynΣi=1xi2−nx2，
可得5Σi=1xiyi-5x y=328.8.
样本相关系数r=5Σi=1(xi−x)(yi−y)5Σi=1(xi−x)25Σi=1(yi−y)2=5Σi=1xiyi−5x y5Σi=1xi2−5x25Σi=1yi2−5y2=328.8113 090≈328.8336.3
≈0.98>0.75，
可以认为y与x的线性相关程度很强.
(2)2×2列联表如下所示.
零假设为H0：游客是否喜欢该网红景点与性别无关，
由表可知，a=70，b=30，c=40，d=60，n=200，
则χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
=200×(70×60−30×40)2100×100×110×90≈18.182>10.828，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，即能认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关”，此推断犯错误的概率不超过0.001.
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206.78
207.46
207.95
209.34
209.35
210.68
213.73
214.84
216.93
216.93
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
155
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162
169
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