2027届高中数学高考一轮复习学案：第八章　第61课时　抛物线

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1．(苏教版选择性必修第一册P116练习T2)抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )
A．12，0
B．18，0
C．0，12
D．0，18
2．(北师大版选择性必修第一册P75练习T3改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A．1716
B．1516
C．78
D．0
3．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9B．8
C．7D．6
4．(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为___________．
5．(人教B版选择性必修第一册P167习题2-7AT2改编)若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是___________．
1．抛物线的概念
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离___________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的___________，直线l叫做抛物线的___________．
2．抛物线的标准方程与几何性质
[二级结论] 与焦点弦有关的常用结论
如图，过点F且倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有：
(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；
(3)通径：过焦点且与对称轴垂直的弦长等于2p；
(4)焦半径：|AF|＝p1−cs α(点A在x轴上方)，|BF|＝p1+cs α(点B在x轴下方)，特别地1|AF|+1|BF|＝2p；
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝p22sin α＝12|OF|·|y1－y2|．
1．求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法．当焦点位置不确定时，为避免过多的讨论，通常依据焦点所在的位置，将抛物线的方程设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．
2．抛物线性质的应用要树立两个意识
(1)转化意识：见准线想焦点，见焦点想准线．
(2)图形意识：借助平面图形的性质简化运算．
考点一 抛物线的定义及标准方程
求抛物线的标准方程
[典例1] (1)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A是抛物线C上一点，AD⊥l于D．若AF＝2，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝8xB．y2＝4x
C．y2＝2xD．y2＝x
(2)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为___________．
【拓展变式】 本例(2)的条件变为“动点M(x，y)到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3”，则动点M满足的方程为___________．
抛物线上的点到定点的距离及最值
[典例2] (1)(2025·全国二卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝( )
A．3B．4
C．5D．6
(2)(2026·福建名校联考)设抛物线C：x2＝8y的焦点为F，A(4，5)，点B在C上，则△FAB的周长的最小值为( )
A．8B．10
C．12D．16





名师点评：抛物线定义的应用规律
[巩固迁移]
1．已知点F(0，1)，动点M在直线l：y＝－1上，过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．则曲线C的方程为( )
A．x2＝－4yB．x2＝4y
C．x2＝－2yD．x2＝2y
2．已知P为抛物线C：y2＝8x上任意一点，F为抛物线C的焦点，Q为圆M：(x－8)2＋(y－4)2＝4上任意一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为( )
A．6B．10
C．4D．8
考点二 抛物线的几何性质
[典例3] (1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为___________．
(2)(2026·四川锦江区校级模拟)已知抛物线y2＝2px的焦点为F，点A，B，C在抛物线上，F为△ABC的重心，且|FA|+|FB|+|FC|＝12，则p的值为( )
A．3B．4
C．5D．6





名师点评：应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
[巩固迁移]
3．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为π3，则|AF|＝( )
A．2B．3
C．4D．5
4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为___________．
考点三 直线与抛物线的位置关系
[典例4] (1) (多选)(2025·全国一卷)已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－32的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则( )
A．|AD|＝|AF|B．|AE|＝|AB|
C．|AB|≥6D．|AE|·|BE|≥18
(2)(2026·江西上饶模拟)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，过点F的直线l与C交于M，N两点，若FM+3FN＝0，则△OMN的面积为___________．





名师点评：解决直线与抛物线位置关系问题的方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
(3)重视在选择、填空题中有关结论的灵活应用．
[巩固迁移]
5．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k(x＋1)与C交于A，B两点(A在B的左边)，则4|AF|＋|BF|的最小值是( )
A．10B．9
C．8D．5
6．(多选)在平面直角坐标系Oxy中，过抛物线x2＝2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则( )
A．抛物线在点x＝1处的切线方程为2x－2y－1＝0
B．若点M坐标为0，−12，则AM·BM＝0
C．|OA|＋|OB|>5
D．若BN垂直抛物线准线于点N，则A，O，N三点在一条直线上
第61课时 抛物线
以题引理·激活思维
N1．深研教材典题
1．D 2．B 3．B 4．y2＝－8x或x2＝－y 5．y2＝16x
N2．储备知识要点
1．相等 焦点 准线
2．O(0，0) F−p2，0 F0，p2 x＝－p2 y＝p2
精研考点·提升素养
考点一
考向1 典例1 (1)C (2)x2＝12y [(1)如图，连接DF，设准线与x轴交点为M，
抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为Fp2，0，准线l：x＝－p2，
由抛物线的定义可得|AF|＝|AD|，又∠DAF＝60°，所以△DAF为等边三角形，
所以|DF|＝|AF|＝2，∠DFM＝60°，
所以在Rt△DFM中，|DF|＝2|MF|＝2p＝2，则p＝1，
所以抛物线C的方程为y2＝2x．故选C．
(2)由题意得，直线l：y＝－1，且圆N：x2＋(y－3)2＝4，
设圆M的半径为r，则点M到l'：y＝－3与点M到点N的距离相等，都是r＋2，
故点M的轨迹是以N为焦点，以l'为准线的抛物线，故方程为x2＝12y．]
拓展变式
y2＝12x(x≥0)或y＝0(x0)，则p2＝3，即p＝6，所以y2＝12x；
当x0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3，|AB|＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，故C正确；
由C项可知，当m＝0，即AB⊥x轴时，|AE|＝|BE|＝32，|AE|·|BE|＝18．当m≠0时，直线EF：x＝－1my+32，E−32，3m，|EF|＝9+9m2，S△AEB＝12|AE|·|BE|sin∠AEB＝12|AB|·|EF|＝12(6＋6m2)·9+9m2＝9(1＋m2)32>9，所以|AE|·|BE|>18sin∠AEB>18．综上，|AE|·|BE|≥18，故D正确．故选ACD．
(2)由抛物线C：x2＝8y，则p＝4，其焦点F(0，2)，
由题意易知直线l的斜率k存在，可设为y＝kx＋2，
设N(x1，y1)，M(x2，y2)，x10，
联立y＝kx+2，x2＝8y，消去y可得x2－8kx－16＝0，Δ＝64k2＋64>0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，
由FN＝(x1，y1－2)，FM＝(x2，y2－2)，且FM+3FN＝0，则x2＝－3x1，
由x1x2＝－16，则－3x12＝－16，
解得x1＝－433，x2＝43，
所以S△OMN＝12|OF|·|x2−x1|＝12×2×43+433＝1633．]
巩固迁移
5．B [由题知C的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，如图，作AM垂直于准线，BN垂直于准线，l：y＝k(x＋1)过定点(－1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y2＝4x，y＝k(x+1)，
得k2(x2＋2x＋1)－4x＝0，即k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，Δ＝(2k2－4)2－4k4>0⇒k20)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
______
对称
轴
y＝0
x＝0
焦点
坐标
Fp2，0
______
______
F0，−p2
离心
率
e＝1
准线
方程
______
x＝p2
y＝－p2
______
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R