2027年高考数学一轮复习第八章　§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系学案含解析

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1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d=|O1O2|)
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|=2r2−d2.
(2)代数法：设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|=1+k2·(xM+xN)2−4xMxN.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( × )
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切.( √ )
(4)在圆中最长的弦是直径.( √ )
2.圆x2+y2=1与直线x+2y+1=0的位置关系是( )
A.相交B.相切
C.相离D.不确定的
答案 A
解析 圆x2+y2=1的圆心O(0，0)到直线x+2y+1=0的距离d=112+(2)2=130)交于C，D两点，|AB|=3|CD|，则r= .
答案 2
解析 由题意得直线l1：x-y+6=0与x轴交于A(-6，0)，与y轴交于B(0，6)，
所以|AB|=62+62=62，则|CD|=22，
圆(x+1)2+(y-3)2=r2的半径为r，圆心(-1，3)到直线l1：x-y+6=0的距离为d=|−1−3+6|2=2，
故|CD|=2r2−d2=2r2−(2)2=22，
解得r=2(负值舍去).
思维升华 弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l=2r2−d2.
命题点3 切线问题
例3 (多选)过点A(4，-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线，所得切线方程为( )
A.x=4B.15x+8y-36=0
C.y=-3D.8x-15y-3=0
答案 AB
解析 由圆心为(3，1)，半径为1，当过点A(4，-3)的切线斜率存在时，设切线方程为
y=k(x-4)-3，
则圆心到切线的距离d=|−k−3−1|1+k2=1，
可得k=-158，
所以y=-158(x-4)-3，即15x+8y-36=0；
当切线斜率不存在时，切线方程为x=4，显然与圆相切，
综上，切线方程为15x+8y-36=0或x=4.
思维升华 当切线斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ=0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况.
命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题
例4 (2026·长治模拟)从点P(m，2-m)向圆Q：(x+2)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为( )
A.5B.19C.17D.32
答案 C
解析 圆Q：(x+2)2+(y+2)2=1的圆心为Q(-2，-2)，半径r=1，
易知点P(m，2-m)在直线x+y-2=0上，
则圆心Q(-2，-2)到直线x+y-2=0的距离d=|−2−2−2|2=32>1，
可知直线x+y-2=0与圆Q相离，
设其中一个切点为A，如图所示，
则切线长|PA|=|PQ|2−r2=|PQ|2−12≥d2−12=17，
所以切线长的最小值为17.
思维升华 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.
跟踪训练1 (1)(多选)已知圆(x-1)2+(y-2)2=4与直线x+my-m-2=0，下列选项正确的是( )
A.直线过定点(-2，1)
B.直线与圆必相交
C.圆截y轴所得弦长为23
D.直线被圆截得的最短弦长为22
答案 BCD
解析 对于A，由直线x+my-m-2=0，整理可得(y-1)m+x-2=0，
令y−1=0，x−2=0，解得y=1，x=2，则直线x+my-m-2=0过定点(2，1)，所以A错误；
对于B，圆(x-1)2+(y-2)2=4的圆心为(1，2)，半径r=2，由定点(2，1)到圆心(1，2)的距离为(2−1)2+(1−2)2=20)上到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是( )
A.(0，1)B.(1，3)
C.(3，+∞)D.(0，+∞)
答案 B
解析 由题意，在圆x2+(y+2)2=r2(r>0)中，圆心为E(0，-2)，半径为r，
∵圆心E(0，-2)到直线y=3x+2的距离为d=|0×3+(−2)×(−1)+2|(3)2+(−1)2=2，
故由图可知，当r=1时，
圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有1个点(A点)到直线y=3x+2的距离等于1；
当r=3时，
圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有3个点(B，C，D点)到直线y=3x+2的距离等于1，则当r的取值范围为(1，3)时，
圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有2个点到直线y=3x+2的距离等于1.
题型二 圆与圆的位置关系
例5 (多选)已知圆C1：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R.则下列选项正确的是( )
A.直线C1C2过定点(3，0)
B.当圆C1和圆C2有三条公切线时，若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max=10
C.若圆C1和圆C2有2条公切线，则a的取值范围是−∞，43
D.当a=13时，圆C1与圆C2相交弦的弦长为362
答案 ABD
解析 对于A，由圆C1：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R，
即(x-4)2+(y+a)2=4，a∈R，可知C1(1，2a)，C2(4，-a)，故直线C1C2的方程为y+a=-a(x-4)，
即y=-a(x-3)，则直线C1C2过定点(3，0)，A正确；
对于B，由A可知圆C1的半径为3，圆C2的半径为2，当圆C1和圆C2有三条公切线时，圆C1和圆C2外切，则当点P，C1，C2，Q共线且C1，C2在线段PQ上时，|PQ|max=3×2+2×2=10，B正确；
对于C，若圆C1和圆C2有2条公切线，则两圆相交，则3-20，2m+1>2|m|，m+1>2|m|，解得-140，
解得k>43.
又k1+k2=y1x1−1+y2x2−1
=kx1+3−kx1−1+kx2+3−kx2−1=3x1−1+3x2−1+2k
=3(x1+x2−2)x1x2−(x1+x2)+1+2k
=32k(k−3)k2+1−2k2−6k+8k2+1−2k(k−3)k2+1+1+2k
=6k(k−3)−6k2−6k2−6k+8−2k(k−3)+k2+1+2k
=−18k−69+2k=-23，
即k1+k2=-23.
课时精练
[分值：90分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知直线3x+4y+4=0与圆M：x2+y2-2ax=0(a>0)相切，则圆M和圆N：(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.外离B.外切C.相交D.内切
答案 C
解析 圆M：x2+y2-2ax=0(a>0)的圆心M(a，0)，半径r1=a，
由直线3x+4y+4=0与圆M相切，得|3a+4|32+42=a，解得a=2，
圆N：(x-1)2+(y-1)2=1的圆心N(1，1)，半径r2=1，M(2，0)，r1=2，r1+r2=3，r1-r2=1，
而|MN|=(2−1)2+(0−1)2=2∈(1，3)，所以圆M和圆N相交.
2.已知直线x-y-2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则|AB|等于( )
A.2B.22C.23D.3
答案 B
解析 方法一 设圆心(0，0)到直线x-y-2=0的距离为d，
由点到直线的距离公式得d=|0−0−2|1+1=2，
因为圆的半径为2，所以|AB|=222−(2)2=22.
方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立x−y−2=0，x2+y2=4，
消去y化简得x2-2x=0，
则x1+x2=2，x1x2=0，
所以|AB|=1+12·(x1+x2)2−4x1x2=2×2=22.
3.已知直线l：x-y+4=0，圆C：x2+y2=r2(r>0)，若圆C上有且仅有三个点到直线l的距离为22，则r等于( )
A.2B.4C.22D.42
答案 D
解析 圆x2+y2=r2的圆心C(0，0)到直线l的距离d=42=22，
若圆C上有且仅有三个点到直线l的距离为22，则22=r2，即r=42.
4.如图，圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1)，图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点(2，1)，若圆C经过点A(2，15)，则圆C的半径为( )
A.8B.72C.10D.82
答案 B
解析 由图可知，直线过点(3，0)，(0，3)，所以直线方程为x3+y3=1，
即y=-x+3，斜率为-1.
由切点为(2，1)，而A(2，15)在圆C上，
所以圆心的纵坐标为1+152=8.
设圆心坐标为(a，8)，
则8−1a−2·(-1)=-1，解得a=9，
所以圆心坐标为(9，8).
所以半径为(9−2)2+(8−1)2=72.
5.已知P为圆(x-3)2+(y-4)2=4上一点，则点Q(cs α，sin α)到点P的距离的最大值为( )
A.4B.8
C.5|sin α|D.|3sin α+4cs α|
答案 B
解析 由(x-3)2+(y-4)2=4知圆心为C1(3，4)，半径r1=2，
又Q(cs α，sin α)，
所以点Q的轨迹方程为x2+y2=1，
则圆心为C2(0，0)，半径r2=1，
故|C1C2|=32+42=5>r1+r2=3，两圆外离，
所以|PQ|max=|C1C2|+r1+r2=5+2+1=8.
6.(2026·衡水检测)已知A，B是圆O：x2+y2=1与x轴的两个交点，A在y轴左侧，动点M满足|MA|=2|MB|，记点M的轨迹为E，则( )
A.E与圆O相切
B.E是两条平行的直线
C.∠MAB的最大值为π4
D.E上的点到原点O的距离的最大值为6
答案 C
解析 对于B，设M(x，y)，由题意得，A(-1，0)，B(1，0)，因为|MA|=2|MB|，代入坐标可得(x+1)2+y2=2·(x−1)2+y2，
整理得x2-6x+y2+1=0，即(x-3)2+y2=8，
故点M的轨迹E是圆心为C(3，0)，半径为22的圆，故B错误；
对于A，因为圆O与圆C的圆心距|OC|=3，满足22-1