中考数学二轮复习训练专题22 二次函数中的特殊图形问题（4解答压轴题型17难点，题型清单）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：相似、全等三角形问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-1】难点01：锐角三角形相似
（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与轴交于点，顶点是点D，交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)以为直径作，判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若抛物线对称轴上存在点，使得与相似，求点的坐标．
【变式1-2】难点02：直角三角形相似
（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值．
(3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-3】难点03：直角三角形全等
1．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B (点A在点B左侧)，根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．
（1）①如图2，求出抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长；
②请写出一个抛物线的解析式，使它的完美三角形与y＝x2+1的“完美三角形”全等；
（2）若抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值．
【变式1-4】难点04：钝角三角形全等
如图1，直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，P是y轴左侧抛物线上一点，轴，交直线于点C，若，求三角形的面积；
(3)在（2）的条件下，连接交抛物线的对称轴于点Q，在坐标平面内有一点M，射线交抛物线于N，当与全等时，求点N的坐标．
【中考模拟闯关·练提分】
1．如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点D在x轴下方，以A，B，D为顶点的三角形与全等，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点B和点D，请求出点D的坐标并写出平移的过程．
2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，抛物线的顶点为M．
(1)求抛物线的解析式，并写出M点的坐标；
(2)若点P是线段上一个动点，连接，问是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
为何值时的面积最大，并求出其最大值；
是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
4.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2025·宁夏吴忠·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点，点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)是否存在点 P，使得，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；
(3)连接， 求四边形面积的最大值．
6．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，抛物线过，两点，且交轴于另一点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点为第一象限内抛物线上一点，且点的横坐标为，请用含的代数式表示点到直线的距离；
(3)抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点．
(1)写出点A、B、C、D的坐标；
(2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；
(3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
(1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；
(2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标；
(3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
9．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线上对称轴右侧的点．
①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标；
②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标．
10．（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点．
①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式；
②如果与相似，求平移的距离．
11．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．

(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2023·四川资阳·中考真题）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值；
(3)点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
13．如图1，抛物线y＝ax2＋bx﹣4与x轴交于A（﹣3，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC．点D是线段BC上的一个动点（不与B，C重合），过点D作DE⊥x轴于点E．设点D的横坐标为m（0＜m＜4）．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段DE的长用含m的式子表示为 ；
(3)以DE为边作矩形DEFG，使点F在x轴负半轴上、点G在第三象限的抛物线上．
①如图2，当矩形DEFG成为正方形时，求m的值；
②如图3，当点O恰好是线段EF的中点时，连接FD，FC．试探究坐标平面内是否存在一点P，使以P，C，F为顶点的三角形与△FCD全等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
14．（2026·江苏苏州·模拟预测）抛物线过点，顶点为，与轴交于、两点（在点左侧），且．
(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标；
(2)若点在抛物线上且，求点的坐标；
(3)若点在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点坐标．
题型二：平行四边形的存在性问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例2】（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【变式2-1】难点05：三定一动
（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，二次函数的图像与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点的坐标；
(3)点在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-2】难点06：两定两动
（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标；
(3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
【变式2-3】难点07：两定两动+平移
（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标．
(3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．
【变式2-4】难点08：与动态问题结合
（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点．
(1)求该二次函数的解析式．
(2)若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值．
(3)若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·广东深圳·二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标；
②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
2．（2025·湖南·模拟预测）在热播的《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战．一次，他们在陈塘关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条轨迹可以用抛物线来描述．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．已知点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式；
(2)如图（1），若点P是第一象限内抛物线上的一动点，象征着哪吒和敖丙在飞行中的某个位置．当点P到直线的距离最大时，求的面积．
(3)备用图（2），若哪吒站在抛物线上的一点M处，点N是抛物线对称轴上一点，点N象征着哪吒在探索未知的旅程中遇到的新伙伴．是否存在以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出哪吒站点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·四川广元·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接，求的面积取最大值时，点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，连接，点D是线段上的一动点（不包括端点），点E是抛物线上的一点，使得以点O、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点E的坐标．
4．（2026·湖南邵阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标；
(3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由．
5．（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且．
(1)求该抛物线的表达式和点的坐标；
(2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且．
①求点的坐标；
②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离．
6．（2026·江苏苏州·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接．
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标．
(2)若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围．
(3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．
7．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得周长最小，请求出点M的坐标；
(3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形为平行四边形时点P的坐标．
8．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)点Q在直线上，抛物线与抛物线关于点Q成中心对称，抛物线与有且只有一个公共点E（E在y轴右侧）．
①求抛物线的表达式；
②点M在直线上，点N在抛物线对称轴上，若以B，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求M的坐标．
9．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标；
(3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024·宁夏·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值；
(3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型三：等腰三角形与菱形的存在性问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例3】（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点．
(1)若该函数图象经过点，求点的横坐标；
(2)若，点和在该函数图象上，证明：；
(3)若是等腰三角形，求的值．
【变式3-1】难点09：底边确定
（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线（a、c为常数，）与x轴交于点两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是抛物线上的一个动点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标．
【变式3-2】难点10：一腰确定
（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)当时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______．
【变式3-3】难点11：腰和底都不确定
（2025·广东云浮·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值．
(3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标
【变式3-4】难点12：菱形的一边确定
（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
(1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．
(2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点．
①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长．
【变式3-5】难点13：菱形的一组对边确定
（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标；
(3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，y的取值范围是，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
2.（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；
(3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)过点作轴交抛物线于点，连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
(3)将该抛物线向左平移个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
4．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2025·广东珠海·二模）如图1，已知抛物线与y轴交于点，顶点为，对称轴与轴相交于点，点关于对称轴的对称点为，，与轴分别交于点，，绕点逆时针旋转得到，连接，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在整个变化过程中，线段，的数量和位置存在一种关系始终保持不变．
①试猜想并直接写出线段，的数量和位置关系；
②请以旋转角小于（如图1）为例证明你的猜想；
(3)如图2，当点恰好落在上时，与抛物线的交点为，连接，．证明是等腰三角形．
6．（2025·江苏连云港·一模）如图，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D是二次函数图像的顶点，连接、．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求的正切值；
(3)若点P在二次函数图像上，且横坐标为，过点P的直线平行于y轴，与、、x轴分别交于点E、F、G，试证明线段、、总能组成等腰三角形；
7．（2025·湖南衡阳·三模）如图，二次函数图象与轴交于点两点（点在点的右边），与轴交于点．
(1)求三点的坐标．
(2)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点是线段上的任意一点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
8．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)①在图1中，抛物线对称轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由；
②在图2中，点为抛物线上第四象限上一点，连接交轴于点，当时，求点的坐标．
9．（2025·广东广州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，一次函数经过点、、．点是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点，连接．
(1)求二次函数和一次函数的解析式；
(2)当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
(3)连接，连接交于点，记面积为，面积为，在点运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由．
10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于点和点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线上有一点，使得是以底的等腰三角形，求点的坐标：
(3)设为直线上方的抛物线上一点，连接，以为邻边作平行四边形，则平行四边形面积的最大值为___________；
(4)如图2，若在x轴上有两个动点，且，则的最小值为___________．
11．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）定义：如果一个等腰三角形的顶角为，则称该等腰三角形为等腰三角形，称这个等腰三角形的顶角顶点为等腰点，过等腰点的函数叫做这个三角形的破角函数．
如图，平面直角坐标系中，点，点
(1)若点C是的等腰点，一次函数是的破角函数，直接写出的解析式；
(2)点Q是y轴正半轴上一点，平行于y轴，是等腰三角形，P是等腰点，反比例函数是的破角函数，求的解析式；
(3)如图2，二次函数与x轴交于A，D两点，与y轴交于点E，是等腰三角形，M是等腰点，且，是的破角函数．
①求的解析式；
②当时，的最大值为，最小值为4，直接写出m的取值范围；
③把线段沿射线方向平移，平移后的线段记为，在对称轴左侧，是等腰三角形，N点落在对称轴上时，求N点坐标．
12．（2025·上海·模拟预测）我们称抛物线为的“轮换抛物线”．已知在平面直角坐标系中，抛物线N是抛物线M的“轮换抛物线”．
(1)假设M的解析式是（p为常数），抛物线N过点，求抛物线M的顶点坐标．
(2)假设M、N和y轴正半轴分别交于点P和，点是线段的一个三等分点（），若M、N都关于同一条直线对称，求该直线的表达式．
(3)假设M、N均过和B．以A为起点，向右作和x轴平行的射线，从左到右依次交N、M于点C、D．平面中有一点E，如果四边形是菱形，求点E的坐标．
13．（2025·甘肃天水·模拟预测）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，已知抛物线经过点，两点，直线与抛物线交于，两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若是以为腰的等腰三角形，求点的坐标；
(3)过点作轴的平行线，分别交直线，于，两点．若，求的值．
15．（2025·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，过点作交抛物线于点．
（ⅰ）连接，，求的面积；
（ⅱ）将抛物线的顶点沿直线移动得到一个新抛物线，若新抛物线的顶点与点，点能构成等腰三角形，试求出平移后的抛物线的表达式．
题型四：直角三角形、矩形、正方形的存在性问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例4】（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标；
(3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值．
难点14：一条直角边确定
（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
难点15：一条斜边确定
（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．

(1)求抛物线的函数解析式．
(2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标．
(3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
难点16：矩形边与对角线均不确定
（2026·四川泸州·一模）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标．
难点17：正方形一条边确定
如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E坐标；
(3)点P在x轴上方抛物线上，点Q在坐标平面内，在点E移动的过程中，当以点E，O，P，Q为顶点的四边形是以为边的正方形时，请直接写出点E坐标．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点，
(1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式．
(2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，，，则称函数y1与y2互为“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题：
(1)求二次函数的“回旋”函数的解析式；
(2)若关于x的二次函数的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当时，，求a，c的值；
(3)关于x的函数的图象顶点为M，与x轴的交点为A、B，当它的“回旋”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，是否存在b使得为矩形？
3．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标；
(3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
5．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点．
(1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴；
(2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求点A的坐标；
②当时，根据图象直接写出x的取值范围________；
(3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．
7．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，，是直线下方抛物线上一动点．
(1)求抛物线解析式；
(2)过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)当点到的距离最大时，点在直线上，则的最小值为_______．
8．（2024·海南·三模）如图1，抛物线经过，两点，与y轴交于点，与x轴交于点，直线与y轴相交于点，点是直线上方的抛物线上的动点．
(1)求该抛物线对应的二次函数关系式；
(2)当时，求点的坐标及此时的值；
(3)当是以点为顶点的等腰三角形时，直接写出点的坐标；
(4)如图2，点是抛物线的顶点，点是y轴上的点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是为边的矩形，求点的坐标．
题型一：相似、全等三角形问题
难点01：锐角三角形相似
难点02：直角三角形相似
难点03：直角三角形全等
难点04：钝角三角形全等
题型二：平行四边形的存在性问题
难点05：三定一动
难点06：两定两动
难点07：两定两动+平移
难点08：与动态问题结合
题型三：等腰三角形与菱形的存在性问题
难点09：底边确定
难点10：一腰确定
难点11：腰和底都不确定
难点12：菱形的一边确定
难点13：菱形的一组对边确定
题型四：直角三角形、矩形、正方形的存在性问题
难点14：一条直角边确定
难点15：一条斜边确定
难点16：矩形边与对角线均不确定
难点17：正方形一条边确定
1.明确对应关系
当明确相似三角形的对应关系求点坐标时，根据对应边成比例列等式求解.
当两个相似三角形的对应关系不明确时，讨论对应关系，然后根据对应边成比例，列等量关系求解.
2.当已明确其中一个三角形为直角三角形时，解题步骤如下:
根据题图判断出另一个三角形中的某个锐角与已知三角形中的角的角度相等或也存在直角或垂直关系.
分情况讨论两个顶点为直角或锐角的对应情况.
3.全等三角形存在性问题，求点坐标的一般步骤:
找已知等角:寻找两个三角形中相等的定角，如90°(直角坐标系，垂直关系)，同位角(内错角)，对顶角及特殊角(直线夹角).
确定角的对应关系:分情况讨论全等三角形角的对应关系.
求点坐标:根据对应边相等列关系式求解.
当存在一组对应边相等时，分两种情况讨论对应关系，然后根据对应边相等列等量关系求解.
1.当平行四边形的两个顶点A,B确定时，需分当AB为边或当AB为对角线两种情况讨论.
2.当平行四边形的三个顶点A,B,C确定时，需分当AB,AC,BC边分别为平行四边形对角线三种情况讨论.
3.当已知平行四边形，求点坐标时，通常需利用相似、全等、锐角三角函数等知识表示出线段长，然后根据对边相等列等式求解.
当底边确定，底边垂直平分线与抛物线的交点即为等腰三角形的顶点.
当腰确定时，分别以腰的两个端点为圆心，腰长为半径画圆。
当等腰三角形的腰和底都不确定时，需要分三种情况进行讨论求解.