中考数学二轮复习训练专题21 二次函数中图形面积与角度（6解答压轴题型12难点，题型清单）（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮复习训练专题21 二次函数中图形面积与角度（6解答压轴题型12难点，题型清单）（2份，原卷版+解析版），文件包含高中物理练测析-单元卷-必修1pdf、高中物理练测析-单元卷-必修1答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。

题型一：平面直角坐标系中图形面积计算
【中考母题溯源·学方法】
【典例1】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．
(1)求b、c的值；
(2)求的面积的最大值．
【详解】（1）解：当时，；当时，，
则，，
则，
解得：；
（2）解：由（1）可得：，设，作交于E，
则，则，
∴，
当时，最大值为8．
【变式1-1】难点01：面积定值
（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求四边形的面积；
(3)若抛物线上有一动点，使的面积为10，求点的坐标．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，点在抛物线上，
∴将点，点代入中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为，
∴当时，，
∴点，，
∵点，
∴，
∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴当时，，解得，，
∵点，
∴点，
∴，
∴四边形的面积为；
（3）解：由（2）知，点，点，，
，
，
，
当时，得，解得，
∴或，
当时，得，方程无解，
∴点的坐标为或．
【变式1-2】难点02：不规则三角形面积最值
（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．

(1)求抛物线的解析式．
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将，代入得，
解得：
（2）解：对于，令则
解得，，
∴，
∴
∵，
∴，
过点P作轴于点E，如图，
设，且点P在第二象限，
∴
∴
∵，
∴有最大值，
∴当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为
【中考模拟闯关·练提分】
1.（2026·湖北襄阳·二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一点，位于轴上方，连接，若的面积为，求点的坐标；
【详解】（1）解：∵抛物线经过、、，
则：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵点是抛物线上一点，位于轴上方，
∴设点，
∴，
∵、，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
，
，
，
∴点；
2．（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求A、B、F三点构成的三角形的面积；
(3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标．
【详解】（1）解：由题意，将、代入中，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2），
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
连接，
∴A、B、F三点构成的三角形的面积为：；
（3）解：根据题意，设点D坐标为，则，
∵、，
∴，，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，此时点D坐标为．
3.（2025·安徽蚌埠·二模）已知二次函数图象的顶点是，且经过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点．
①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解；
②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
【详解】（1）依题意，，
解得
二次函数的解析式为．
（2）①依题意，即该一次函数的解析式为．
将代入，得，
即点的坐标为，
代入，得，
即一次函数的解析式为，
由，
解得点横坐标为
依题意，C，D横坐标分别与A，B横坐标相同，
所以，
由图像可知不等式解为．
②设，，则，．
将代入，得，
则，
解得，
，，
依题意得，
，
，
．
而
．
，，
，．
故
所以，，
即的值为定值，且该定值为．
4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线的函数表达式为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)是抛物线上第一象限内的一点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在轴上取点是轴上一动点，当过点的抛物线与线段有且只有一个交点时，直接写出的取值范围．
【详解】（1）解：对于，令，则，
点的坐标为．
将点代入，得．
直线的函数表达式为，
令，则，解得，
点的坐标为，
将点代入，
得，解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）如图1，过点作轴交于点．
设点，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为8，
此时点的坐标为．
（3）由（2）知，点坐标为，
又∵，
直线的函数表达式为，
抛物线过点，
可设抛物线的函数表达式为，
在抛物线上，
，
抛物线的函数表达式为，
①当时，
，
抛物线开口向上。
又，
，
抛物线与线段无交点．
②ⅰ）当，且点与点重合时，作出图形如图2所示，
此时．
抛物线与线段只有一个交点，
．
ⅱ）当，且抛物线过点时，作出图形如图3所示．
将代入，得．
抛物线与线段只有一个交点，
．
．
③当抛物线与线段相切时，
联立，
整理，得，
，
整理，得，
解得或（舍去）．
综上所述，的取值范围为或．
题型二：图形面积关系中的辅助线构造
【中考母题溯源·学方法】
【典例2】（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围；
(3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．
【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为，
∴由顶点公式，其中即
∴
∴抛物线表达式为 ．
（2）当时，即
解得或（舍去），
故．
当时，故．
设直线的方程为
将点与点代入得
∴直线的方程为．
向上平移m个单位后，直线方程为．
与抛物线联立：
整理得：
抛物线与直线有交点时，，
解得，又 ，
∴m 的取值范围为．
（3）抛物线对称轴为．
直线当时，故．
顶点当故．
点．
设在抛物线上，．
如图，
情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时，
因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为，
联立抛物线方程，
解得：或，
∴点P坐标为.
情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因，
∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离，
当过点时，代入
∴解析式为，
联立，
整理得：，
解得：，
即点的横坐标是，点的横坐标是.
综上所述，存在点横坐标为.
【变式2-1】难点03：同底等高面积问题
（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为．
(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，；
（2）解：存在，理由如下：
对于抛物线，
当，，
解得：，
当，
∴，，
∵，
∴，
过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，

∴，
∴，
过点作平行线与抛物线交点即为点，
∵，，
∴，
设直线，
则，
∴，
∴直线，
∵∥，
∴设直线，
代入得：，
解得：，
∴直线，
与抛物线解析联立得：，
整理得：
解得： 或，
∴点P的横坐标为或．
【变式2-2】难点04：面积数量关系问题
（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点．
(1)求直线对应函数的表达式；
(2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点，
∴令，则，
点C的坐标为．
令，则．
解得，或，
∴点B的坐标为．
设直线对应函数的表达式为，由题意，得
解得
直线对应函数的表达式为．
（2）不存在实数m使得，理由如下：
方法一：为二次函数图像上两点，
，
．
．
配方，得．
∴当时，有最大值为．
，
∴不存在实数m使得．
方法二：由方法一，得．
当时，，即．
，
∴方程没有实数根．
不存在实数m使得．
（3），或．解答如下：
如图，作轴，交x轴于点H，交于点，
作，垂足为Q，作轴，交于点，则．
当时，．
点P的坐标为．
点N的坐标为，
点Q的坐标为，点H的坐标为，
点的坐标为．
，
．
，
．
．
，即．
．
，即．
点M的坐标为，
点的坐标为．
，即．
解得或．
【变式2-3】难点05：面积平分问题
（2024·陕西西安·三模）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积，求抛物线平移的距离．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
∵当时，，
∴点B的坐标为，
∵四边形是矩形，
∴点C的坐标为，
∴将点C坐标代入解析式得，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由抛物线的对称性得，
∴，
当时，点C的纵坐标为，
∴矩形的周长
，
∵
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为；
（3）解：∵当时，，
∴点B的坐标为，
∴点C的坐标为，点A的坐标为，
连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，如图：

∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P，
由平移的性质可知，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴点P是的中点，Q是的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴抛物线向右平移的距离是4个单位．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2024·青海西宁·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点C的坐标为．
(1)求二次函数的解析式．
(2)判断的形状，并说明理由．
(3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：设二次函数解析式为，
将顶点代入解析式得，
∵二次函数的图象与x轴交于点，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
抛物线与y轴的交点，
当时，，
∴，
如图1，过点C作轴于点D，
∴，
过点A作于点E，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：存在，理由如下：
，
设点P的坐标为，
过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，
设直线的解析式为，将代入得，
，
解得：
∴直线的解析式为，
∴点Q的坐标为，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵轴，
∴，
在中，
∵
∴
∴，
解得，，
当时，
∴，
当时，，
∴，
∴所有符合条件的点P的坐标是，．
2．（2025·江苏镇江·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在该抛物线上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
设抛物线的函数表达式为（）．
将代入，得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：存在．理由如下：
由（1）可知：点B和点C的坐标分别为和，
∴的长度保持不变，
∴当最小时，周长最小，
∵抛物线的对称轴为，且点A，B关于对称轴对称，
故连接AC交对称轴于点M，
由三角形三边的关系可知此时周长最小，
设直线的函数关系式为（），
把代入直线的函数关系式，得：，
解得：，
∴，
把代入，得：，
∴所求点M的坐标为；
（3）解：存在，设点P的坐标为，
∵，
∴，
①当点P在x轴上方时，
则，
解得：，
∴或；
②当点P在x轴下方时，
则，
解得：，
∴或；
综上所述，满足条件的点P的坐标为：或或或．
3．（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E．
(1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标；
(2)联结，如果平分，求a的值；
(3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，
当时，解得或，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，且C、E都在抛物线上，
∴点C和点E关于抛物线的对称轴对称，
∴；
在中，当时，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴或（舍去）；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴，
由对称性可知，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∴可设直线解析式为，
把代入中得：，解得，
∴直线解析式为，
联立解得或，
∴，
同理可得直线解析式为，
在中，当时，，
∴直线恒过定点．
4．（2026·安徽阜阳·一模）已知抛物线的顶点始终在直线上，且与直线的另一个交点为点，抛物线与轴的交点为点．
(1)用含的代数式表示，并求出的最小值；
(2)已知点在第一象限，过点作轴于点，过点作于点，连接，，．
①的长是否为定值？请说明理由；
②若的面积是的面积的2倍，求的值．
【详解】（1）解： ，
顶点的坐标为，
点始终在直线上，
，，
当时，取得最小值，最小值为；
（2）①的长为定值，理由如下：
由（1）知，
令得，
，．
令，，
，，
或，
或，
把代入，得，
点的坐标为，
轴，，
点的坐标为，
，
的长为定值；
②如图，延长交轴于点，则点的坐标为，
，，，，
，且，
，
，
而，，
，解得或（不合题意，舍去），
的值为2．
5．（2024·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标；
(3)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：把代入得：，
，
把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：设，则，，
，
，
解得或（此时不在直线上方，舍去）；
的坐标为；
（3）解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下：
过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图：
在中，令得，
解得或，
，，
，
，
，
设，则，
，
∵
，
的面积等于面积的一半，
，
，
或，
解得或，
的坐标为或或或．
6．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：；
(3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由．
【详解】（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为，
，
，
将代入解析式，则，
，
抛物线的解析式表达式为；
（2）证明：如图1，延长交x轴于点D，
由（1）知抛物线的解析式表达式为，则，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得：
直线的解析式为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴，交x轴于点G，
令，即，
解得：，
根据题意得：，
，
轴，轴，
，
，
，
，即，
，
，
点的横坐标为，
由折叠的性质得到，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，，
．
7．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵的图像经过，
∴，
∴和关于对称轴对称，
∴，
，
，
∴，．
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∵解得，
∵，且，
∴，
∴，
∴该二次函数的解析式为：，
当时，，
解得，，
∴， ．
②设直线的表达式为：，
则，
解得，
∴直线的表达式为：，
当点P在点A右侧时，作于F，如图所示：
设，则，，
则，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，，
∴点P横坐标为或；
当点P在点A左侧时，作于F，如图所示：
设，则，，
则，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，（舍去），
∴点P横坐标为，
综上所述，P点横坐标为：或或．
8．（2024·海南·三模）如图1，在直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，已知，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，有两动点、在的边上运动，它们分别从点同时出发，点沿线段按方向向终点运动，速度为每秒1个单位长度，点沿折线按方向向终点运动，速度为每秒4个单位长度，当某一点到终点时另外一点也停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题：
①设的面积为，求出关于的关系式；
②当为何值时，与相似？
(3)如图2，点是上一点，平分的面积，将抛物线沿射线方向平移，当抛物线恰好经过点时，停止运动，记平移后的抛物线为．已知点是原抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将，代入抛物线，
，
解得，
抛物线．
（2）解：抛物线，令，则，
；
，
，
，，
∴；
①如图，当点在上，即时，，，
；
如图，当点在上，即时，，，
，
过点作轴，
，
，
，即，
，
；
综上，；
②当点在上时，如图，此时是钝角三角形，不符合题意；
当点在上时：
当时，如图，此时，
，
由①可知，，，
，，
，
解得，；
当时，如图，此时，
，
，
解得，；
综上，当的值为或时，与相似；
（3）解：存在，理由如下：
平分面积，
为中点，即，
由题意可知，抛物线沿射线平移，且过点，则平移至点时，向右平移2个单位，再向下平移个单位，
抛物线解析式为：，即，
抛物线的对称轴为：，
，，而，，
①以、为对角线，则的中点即是中点，如图，
，
解得，
；
②以、为对角线，则中点即是中点，如图，
，
解得，
；
③以、为对角线，如图，
，
解得，
，
综上所述：满足条件的点坐标为：或或．
题型三：构造一线三垂直解决特殊角问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例3】（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点．
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交y轴于点．若平分线段，求点的坐标；
(3)如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式．
【详解】（1）解：由，
当时，，则
当，
解得：
∵在的右边
∴，，
（2）解：设直线的解析式为
将，代入得，
解得：
∴直线的解析式为
∵
设直线的解析式为
∵在第三象限的抛物线上
设，
∴
∴
∴
设的中点为，则
由，，设直线的解析式为，
将代入得，
，
解得：
∴直线的解析式为，
∵平分线段，
∴在直线上，
∴
解得：（舍去）
当时，
∴；
（3）解：如图所示，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴
∴
∴
∴
即
∵点与原点关于点对称，
∴,
设直线的解析式为，直线的解析式为
联立直线与抛物线解析式可得，，
即
联立直线与抛物线解析式可得，
即
设，，
∴，，，
∴
，
∵
∴，
将代入得：
∴，
∴，
∴直线解析式为．
【变式3-1】难点06：一线三垂直全等解题
（2025·新疆昌吉·模拟预测）【问题初探】
（1）数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，已知点，将点A绕点B顺时针旋转得到点C，求点C的坐标．
①如图2，小明的解题思路是：分别过点B和点C作了y轴、x轴的平行线，构造两个全等的直角三角形，将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度．
②如图3，小红的解题思路是：过点B作了x轴的平行线，分别过点A，点C作了y轴的平行线，同样构造出了两个全等的直角三角形，也将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度．
请你根据上述两名同学的分析写出点C的坐标____．
【类比分析】
（2）如图4，二次函数经过点，点，且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交点为点D，点P为y轴正半轴上一动点，将点P绕点D顺时针旋转到对应点Q，若点Q恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标．
【学以致用】
（3）如图5，在（2）的条件下，抛物线的顶点为点E，连接，在抛物线上有一点M，连接交线段于点N，，求点M的坐标．
【详解】解：（1）小明同学的解题思路：过点作轴于点，过点作于点，如图，
点，，
，，，
．
则，
，，
．
，
，，
，
点的坐标为；
选择小红同学的解题思路：过点作轴于点，于点，过点作于点，于点，过点作于点，如图，
点，，
，，，
．
则，
，，
．
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为．
故答案为：；
（2）二次函数，经过点，点，
，
解得：，
抛物线的解析式为．
，
抛物线的对称轴是直线．
，
．
过点作轴，垂足为，连接，，如图，

设的坐标为，则，
轴，
，
．
．
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为．
点恰好落在抛物线上，
，
解得：， （舍去）．
点坐标为；
（3）过点作交延长线于点，分别过点，作轴于点，轴于点，如图，

则，
，，
．
，
点坐标为．
设直线的解析式为，
把，分别代入得：
，
解得：，
直线的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为，
点的坐标为，
，，
，，
，
．
在和中，
，
，
，．
，
点的坐标为，
点在直线上，
，
解得：，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
解得：，（舍去），
．
，
点的坐标为．
【变式3-2】难点07：一线三垂直相似解题
（2025·湖南邵阳·三模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为直线上方抛物线上一动点，且于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，求线段长度的最大值；
(3)如图2，设的中点为F，连接，，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）由题意，得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）设直线的解析式为，
则
解得，
直线的解析式为，
设，，
过点D作轴交于M点，如图1，
则，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
当时，取最大值，最大值是；
（3）存在．
假设存在这样的点D，中有一个角与相等，
点F为的中点，
，，
过点B作，交的延长线于G点，过点G作轴，垂足为H，如图2，
①若，
，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得
直线的解析式为，
联立，
解得，或（舍），
②若，
同理可得，，，
，
同理可得，直线的解析式为，
，
解得或（舍），
综上所述，存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．
(1)求抛物线与直线l的函数表达式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值；
(3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标．
【详解】（1）解：将、、代入二次函数的解析式可得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
设直线l的函数表达式为，
将、代入解析式可得，
解得：，
∴直线l的函数表达式为；
（2）解：如图，过点作轴交于，
∵点P是抛物线上的点且在直线l上方，
∴设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，为，此时；
（3）解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于，
则为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∵轴于，轴于，、，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，即；
作点关于直线的对称点，连接交轴于，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，即，
∴，即点为的中点，
∴，
同理可得，直线的解析式为，
当时，，即，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
2．（2025·山东·二模）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标；
(3)如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：若点B恰好落在轴上，
∵，
∴线段向下平移个单位，
∵，
∴点C的纵坐标为，
当时，，
解得：（不符合题意），
此时点C的坐标为；
若点C恰好落在轴上，
∵，
∴线段向下平移4个单位，
∵，
∴点C的纵坐标为，
当时，，
解得：，
此时点C的坐标为；
综上所述，点C的坐标为或；
（3）解：∵，
∴可设，则，
∴点F的坐标为或
设直线的解析式为，
∴，或
解得：或
∴直线的解析式为或，
∴，
由旋转的性质得：，
如图，过点E作，交直线于点P，过点A，P作分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，则，，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为，
把代入得：
，
解得：或，
∴点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，解得：或（舍去），
∴此时点C的坐标为；
如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P到y轴的距离为，
∴点P的坐标为，
把代入得：
，
解得：或（舍去），
∴点E的坐标为，
同理直线的解析式为，
联立得：，解得：或（舍去），
∴此时点C的坐标为；
如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P到y轴的距离为，
∴点P的坐标为，
把代入得：
，
解得：或（舍去），
∴点E的坐标为，
同理直线的解析式为，
联立得：，解得：或（舍去），
∴此时点C的坐标为；
综上所述，点C的坐标为或或．
3．（2025·江苏无锡·二模）已知平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段上一点，若，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作，垂足为点F，若 ，求平移后抛物线的表达式．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且，
∴，，
将代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，
，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设点的坐标为，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
即且，
解得：，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，即，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴；
（3）解：∵，抛物线的顶点为D，
∴，
设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为，
如图，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，
，
由（2）可得，，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
解得：，
∴新抛物线的解析式为．
4．如图，已知二次函数与x轴交于A、B两点，点A的坐标为，且与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点E是图中的抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为，求的面积的最大值及此时点E的坐标．
(3)在抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【详解】（1）解：把代入，得，
，
二次函数图象与轴交于两点，点的坐标为，
，
，
二次函数的解析式为；
（2）解：如图①，过点作轴于点，交于点，
设点的坐标是，则点的纵坐标为，
代入直线，得点的横坐标为，
点的坐标是，
，
，
，
的最大值是3，此时点的坐标为；
（3）解：存在，如图，过点作一条直线与的夹角为，交二次函数的图象于点，过点作，两线交于点，过点作轴于点，情况一：如图②，当点在直线的右侧时，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
在与中，，
，
，
易知，
，
，
，
设直线的解析式为，
将代入，得，
直线的解析式为．
联立，得，
解得（舍去），，
将代入，得，
点的坐标为；
情况二：如图③，
当点在直线的左侧时，同理可得：直线的解析式为．
联立，得，
解得（舍去），，
将代入，得，
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
5．如图，二次函数的图象与x轴交于点，顶点为，对称轴与x轴交于点C，点B是二次函数图象上一动点，交其对称轴于点D，点D，E关于点F成中心对称，连接．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点B在对称轴右侧的二次函数图象上运动，求证：；
(3)若点B在二次函数图象上运动，当为等腰直角三角形时，直接写出点B的坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数的顶点的坐标为，
∴设二次函数的关系式为，
∵二次函数图像经过点，
∴，
∴，
∴，
即．
（2）解：如图，设，
设直线的解析式为，
由（1）得，
∵交二次函数的对称轴于点D，
依题意，得，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为，
∵点关于点成中心对称
∴点的坐标为
过点作对称轴，垂足为点，
∴在中，
∴在中，
∴
∴．
（3）解：，理由：
设点，
设直线的解析式为，则
∴
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为，
∵点关于点成中心对称
∴点的坐标为
∴，
，
；
当时，，
∴或（此时B点位于顶点处，B点与E点重合，与题意不符，故舍去），
∴；
此时，，
∴；
∴此时为等腰直角三角形，
∴，其在图中的位置如下图1和图2所示；
当时，
，
∴，
∴，
∴
此时，,
∵
∴该情况不成立；
当B点在对称轴右侧且是以点B为顶点的等腰直角三角形时，如图3所示，
过B点作轴，垂足为M，过E点作轴，与直线交于点N，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，且，
∴或6，且（相互矛盾）
∴该情况不成立；
当B点在对称轴左侧时同理可证不存在以B点为顶点的等腰直角；
综上可得：．
6．（2025·广东珠海·一模）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q．
【构建联系】
（1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上．
（2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：．
【深入探究】
（3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标．
【详解】解：（1）把代入中，
∴
∴双曲线的解析式为
把，代入中，可得方程组
，
解得
∴抛物线的解析式为
∴抛物线的对称轴为直线
∴
点在双曲线上，理由如下：
分别作轴，轴，分别交轴于、两点，如图
∴
∵把点绕点顺时针旋转得到的对应点
∴，
∴，，
∴
∵，，
∴
∴，，
∴
∴点在双曲线上．
（2）∵双曲线与抛物线对称轴交于点，
∴，
∴
∵，抛物线对称轴为直线，、关于对称轴对称，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴
（3）①当与重叠部分是点时，如图
分别作轴，轴，分别交轴于、两点
∵
∴，
∴
∵，
∴，
点的坐标为．
②当与重叠部分是点时，如图
∴点在线段上
∵抛物线解析式为，
∴
∵，
设的解析式为，
把和代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
∴设的坐标为
∵，
∴
解得，（舍去）
∴点的坐标为．
综上：点的坐标为或．
7．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，，顶点坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在一点，使，若存在，求点的横坐标；
(3)点为点上方轴上的一点，抛物线上有两点E、F（在的左边），直线均与抛物线有且仅有一个交点，连接与轴交于点，求的值．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
把代入可得：，解得：，
∴抛物线的解析式．
（2）解：∵，
∴当，得，即，
当，得，解得：，即，，
∴，，，
如图：当点P位于点B的上方时，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，则，
∵，，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
设的解析式为，
，解得：，
直线
联立抛物线解析式得，解得：（舍）；
如图：当点P位于点B的上方时，同理可得：；
综上，点的横坐标为或．
（3）解：如图：过F作轴，
设，
设的解析式为，
，解得：，
直线，
同理可得：直线，直线．
∵直线，
∴，
直线DE、DF均与抛物线有且仅有一个交点
，即
∴，，
．
8．（2025·江苏无锡·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C．
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点P作直线，交y轴于点Q．若平分线段，求点P的坐标；
(3)如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段交抛物线于另一点G，连接．若，求直线的解析式．
【详解】（1）解：在中，令得，
∴，
令得，
解得或，
∴，；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
由，设直线的解析式为，
设，
∴
∴，
∴直线的解析式为，
令得，
∴；
∵平分线段，
∴的中点在直线上，
设直线的解析式为，
将代入直线解析式可得，
解得：，
∴直线解析式为，
∴，
解得或（舍去），
当时，，
∴；
（3）解：过点G作轴，过点E，F分别作的垂线，垂足分别为T，S，如图：

∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵点D与原点O关于对称，
∴，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
联立得：，
联立 得：，
设，，，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴直线解析式为．
题型四：构造辅助圆解决定角问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例4】（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
（2）∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
（3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，

∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则
解得：（舍去）
∴点
设直线的解析式为
∴
解得：.
∴直线的解析式
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
【中考模拟闯关·练提分】
1．如图1，点A、D是抛物线上两动点，点B、C在x轴上，且四边形ABCD是矩形，点E是抛物线与y轴的交点，连接BE交AD于点F，AD与y轴的交点为点G．设点A的横坐标为a(0