中考数学二轮复习训练专题24 面积问题与角度相关处理策略（4压轴题型难点，题型清单）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：面积平分问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例1-1】（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论：
①纸片的面积是；
②点E的坐标为；
③若直线既平分矩形的面积又平分的面积，则直线的解析式为；
④若点M是直线上的一个动点，连接EM，设，点C到的距离为n，则m与n之间的关系式为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】解：如图，延长交轴于，
∵一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为，
∴，，，，，
∴，，纸片面积为：，故①符合题意；
∴，故②符合题意；
如图，连接交于点，连接交于点，
∵矩形和平行四边形，
∴直线即直线既平分矩形的面积又平分的面积，
∵，，，
∴，，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；故③符合题意；
如图，连接，过作于，
由题意可得：，而的面积为，
∴，
∴，
∵当最小时，最大，
∴当时，最小，
∵，
∴，解得：，
此时，
∴m与n之间的关系式为，故④符合题意；
故选：D
【典例1-2】（2025·江苏苏州·中考真题）两个智能机器人在如图所示的区域工作，，，直线为生产流水线，且平分的面积（即D为中点）．机器人甲从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为，记点P到的距离（即垂线段的长）为，点Q到的距离（即垂线段的长）为．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时与t的部分对应数值如下表：
(1)机器人乙运动的路线长为________m；
(2)求的值；
(3)当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时，求t的值．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵D为中点，
∴，
∵，
∴机器人乙运动的路线长为，
故答案为：55；
（2）解：根据题意，得，
∵中，，为中点，
∴，
∴，，
∴，，
当点Q在上时，，
∴，解得，
当点Q在上时，作，垂足为H（如图），
则．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）解：当时，，
此时，，
∴，
∴，
∴，
当点Q在上时，由，得，
解得．
当点Q在上时，由，得，
解得．
∴或．
【典例1-3】（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积；
(2)在（1）的基础上，在射线上画点E，使；
(3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G；
(4)在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）．
【详解】（1）如图，作线段，使四边形是矩形，交于点D，做射线，点D即为所求作；
（2）如图，作,作于点Q，连接交于点E，点E即为作求作；

（3）如图，在下方取点F，使，连接，连接并延长，交于点G，点F，G即为所求作；
（4）如图，作，交射线于点M，作，交于点N，连接，线段即为所求作．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·四川绵阳·一模）在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与x轴平行，且对角线在直线上，则称矩形为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点的坐标为，且直线平分该矩形的面积，则点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】矩形为“率矩形”，
设，
直线平分该矩形的面积，
直线经过点，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
故选：．
2．（25-26九年级上·山西晋城·期末）用一条直线将的面积平分，下列说法错误的是（ ）
A．图1中，点是的中点，则将的面积平分
B．图2中，点是的中点，，则将的面积平分
C．图3中，，，则将的面积平分
D．图4中，，上的点是的重心，则将的面积平分
【答案】D
【详解】解：A. 图1中，点是的中点，则将的面积平分，故该选项正确，不符合题意；
B. 图2中，点是的中点，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴
设交于点，
∴，
∴
∴将的面积平分, 故该选项正确，不符合题意；
C. 图3中，，
∴，
∵，
∴
即将的面积平分, 故该选项正确，不符合题意；
D. 图4中，，上的点是的重心，
∴，
如图，连接交于点，
∴，
∴，
则不能将的面积平分，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
3．（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分▱的面积，过作于点，连接，则的最小值为_____
【答案】
【详解】解：设、交于点，过作于，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
设，，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∵平分平行四边形的面积，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴中，，
∴，
∵，
∴当时，最小，此时最大，
∴
的最小值为
故答案为：．
4．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，，，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若的面积恰好被轴平分，则__________．
【答案】
【详解】解：如图，过点，点分别作轴的垂线，垂足分别为，，
点在反比例函数的图象上，
，
则，
的面积恰好被轴平分，
，
以为底的与以为底的的高相等，
即，
又，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
5．（2025·陕西西安·三模）如图，已知平行四边形，，E、F分别为、上的点，连接，若于点E，且平分平行四边形的面积，过E作于点P，连接，则的最大值为___________．
【答案】
【详解】解：设、交于点，过作于，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
设，，
∴，，
∴，
∵平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∵平分平行四边形的面积，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴中，，
∴，
∵，
∴当时，最小，此时最大，
故答案为：．
6．（2025·陕西榆林·一模）问题提出
（1）如图，已知，请作出一条过点的直线，使其平分的面积．（保留作图痕迹，不写作法）
问题探究
（2）如图，为的弦，点是上一动点，连接，．已知，，求面积的最大值．
问题解决
（3）如图，某区管委会现计划在一片足够大的空地上规划一个形状不规则的四边形公园，供市民休闲娱乐，其中，，．根据实际情况，需四边形公园的面积尽可能大，且计划过点修建一条笔直的小路，把四边形公园分成面积相等的两部分，是否存在符合要求的面积最大的四边形公园和小路？若存在，请求出四边形公园面积的最大值及小路的长；若不存在，请说明理由．（小路的宽度忽略不计）
【详解】（1）解：如图，直线即为所作：
（2）连接，过点O作的垂线交于点，交于点M，
设点C到的距离为，则，
∴当点C与点M重合时，最大且为，此时面积最大，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）存在符合要求的面积最大的四边形公园和小路，理由如下：
连接，则，
∵，
∴当面积最大时，四边形面积最大，
作的外接圆，记为，连接，过点C作于点，过点O作交于F，交于，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点C与点F重合时，面积最大，
∴，
∴四边形面积的最大值为，
当点C与F重合时如图，过点E作于点Q，

∵，经过圆心，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
当平分四边形面积时，则
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．（2025·陕西西安·一模）（1）如图1，在中，，，，则的周长为______；
（2）如图2，在平行四边形中，，，，点M在上，点N在上，平分平行四边形面积，且最短，请你画出符合要求的线段，求出此时和的长度．
（3）如图3，长安公固有一块四边形的空地，已知，，，，在线段上，是否存在点M，使平分该空地面积？若存在，请求出此时的长度．
【详解】解：（1）过点作，则：，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周长为；
（2）如图②中，连接，交于，过作直线，交于，交于，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
即将四边形分成面积相等的两部分，
当时，最短，如图②−1中，
过作于，则：，
在中，∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴此时的长度为，．
（3）存在，连接，过点作，过点作，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．（2025·山西晋城·一模）阅读下列材料，完成相应任务．
面径定义：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”．
例如，如图1，已知一个圆，点O是它的圆心，它的任意一条直径都是它的“面径”．
操作实验：如图2，在中，小雨发现用无刻度的直尺就能画出任意平行四边形的一条面径．
在图2中，请你用无刻度的直尺画出的一条面径（保留作图痕迹，不写画法，指出所求）；
深入探究：小雨继续思考，能否通过尺规作图，求作任意三角形的一条面径呢？
情形1：特例研究
已知等边三角形的边长为2，
当“面径”经过等边三角形的一个顶点时，它的“面径”长是_________．
当“面径”不经过等边三角形的顶点时，它的“面径”长可以是_________．
情形2：一般研究
①当面径经过三角形的一个顶点时．
已知：如图3，已知．
求作：直线m，使直线m经过点F且平分的面积．
小雨的想法是：直线m交于点G，与的底，在同一直线上，高相同，若面积相等，则．请在图3中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）；
②当面径不经过三角形的顶点时．
已知：如图4，已知．
求作：直线m，使直线m平分的面积．
小雨的想法是：若直线m交，于M，N两点，使直线m平分的面积，则．只需，且相似比为．请在图4中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法、指出所求）
【详解】解：操作实验：如图，
四边形为平行四边形，
，
和的高相同，
和的面积相同，
线段即为所求
；
深入探究：情形1：
如图，当“面径”经过等边三角形的一个顶点时，为等边三角形的“面径”时，
根据“面径”的定义可得，
，，
，
；
如图，当“面径”不经过等边三角形的顶点时，为等边三角形的“面径”时，
,
根据第一空中的描述，可得等边三角形底边上的高为，
，
根据“面径”的定义可得，
那可使，则，
过点作，
，，
,
，
当“面径”不经过等边三角形的顶点时，它的“面径”长可以是，
故答案为：；（答案不唯一）；
情形2：①如图，作的垂直平分线，则可找到的中点，则即为所求，
②如图，作等腰直角三角形和等腰直角三角形，
再作，
则，
，
，
的面积比的面积为，
则线段即为所求．
9．（2025·浙江杭州·三模）我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”．
(1)如图，已知，，，过点能作出的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由；
(2)如图，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为______；
(3)如图，已知四边形中，，，，．作出四边形的“紫金线”．
【详解】（1）解：过点不能作出的“紫金线”，
理由：设过点能作直线“紫金线”交于点，
如图：
则点为中点，满足平分面积，
，
，
与周长不相等，
故不能平分该图形周长，
不能作出的“紫金线”；
（2）解：由题意得平分，当是矩形的“紫金线”，
则是的垂直平分线，
是的垂直平分线，
，，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，左右两部分梯形面积也一样，
即平分周长也平分面积，
直线是矩形的“紫金线”，
，，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：如图，直线即为所求：
记直线与，分别交于点、，连接，．
直线是的垂直平分线，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
，
，
直线平分该图形周长，
，
，
直线平分该图形面积，
直线为四边形的“紫金线”．
10．（2026·陕西西安·二模）问题探究
（1）如图①，，面积为6，则的面积为________；
（2）如图②，，点为平面内一点，且满足面积为6，求周长的最小值；
问题解决
（3）某新区计划在一块空地上修建一个四边形公园，如图③所示，按规划要求千米，千米，且四边形面积最大．在规划的面积最大的公园内修建一个凉亭，沿着、修建观光路线，两条观光路线恰好平分四边形的面积．若修建观光路线每千米投资20万元，试问观光路线修建费用是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【详解】解：（1）∵，
∴A、D到的距离相等，
∴和是同底（）等高的两个三角形，
∴；
（2）过A作于D，作，作C关于a的对称点，连接，，，
则，
∴，
∴当、、三点共线时，最小，最小值为，
又，
∴周长的最小值为，
∵面积为6，，
∴，
∴，
∵对称，
∴，
∴，
∴周长的最小值为；
（3）连接，作的外接圆O，连接
∵，，
∴，，
∵，
∴当最大时，最大，
∵，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴当时，最大，
如图，连接，，过O作，在上任取一点Q（不含端点），连接，，
由（1）知：，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴当点Q在上（不含端点）时，、平分四边形的面积，
延长交于，连接，，
∵是直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴平分，即是的垂直平分线，
∴，
∴，
当A、Q、三点共线，即Q和O重合时，最小，最小值为，
∴的最小值为，
∴观光路线修建费用的最小值为（万元）．
题型二：面积重叠问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例2-1】（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，
由题意知，，，
则，
∴，
①当时，
∵以的速度沿方向匀速运动，
∴，
∵，，，
∴，
即，
；
②当时，
；
③当时，如图，
则，同理，，
；
故选：B．
【典例2-2】（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H．
(1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
(2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．
【详解】（1）解：如图所示，连接
∵都是等边三角形，
∴，
∴四点共圆，
∵点E是的中点，
∴，
∴为过的圆的直径，
又∵，
∴为过的圆的直径，
∴点H为圆心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴两张纸片重叠部分的形状是菱形；
（2）解：∵都是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是等边三角形，
过点E作，
∴设，则，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点B作于M，过点E作于N，连接，
∵都是边长为的等边三角形，
∴，，
∴由勾股定理可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
【典例2-3】（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践
问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况．
操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中：
（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______．
（2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______．
类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明．
拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积．
（参考数据：，，）
【详解】解：操作发现：（1）四边形是正方形，
，
当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为；
当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
四边形的面积是4，
故答案为：4，4；
（2）如图，过点作于点，于点．
是正方形的中心，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
类比探究：
证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
拓展延伸：
过点作于点，于点．
同（2）可知四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
重叠部分的面积
．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·河南信阳·二模）如图，，，点为的中点，点是射线上一动点，连接，，作关于直线的对称图形，点的对应点为．当与的重叠部分的面积恰好为面积的一半时，的长为_____．
【答案】2或
【详解】解：①若与为交于点F，连接，如图．
∵点D是的中点，
∴．
由折叠可得，
由题可得，
∴．
∴四边形是平行四边形，
∴；
②若与交于点G，连接，交与H，如图．
同理可得，
∵，
∴，
∴，
过点A作于点C，
∵，
∴，
∴点P与点C重合，
∴．
故答案为：2或．
2．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，，点且为的中点，直线交轴于点，正方形沿直线平移得到正方形，当正方形与重叠部分的面积为面积的一半时，求的值_________．
【答案】或
【详解】解：①当点在线段上时，如下图：
四边形是正方形，，
，，，
点且为的中点，
，，
，
，
，
，
，
即，
，
，
由平移得，，，，
，
在和中，
，
，
，
轴，
，
，
设，，则，
当正方形与重叠部分的面积为面积的一半时，
即四边形的面积，
，
，
，，
，
，
过点作于点，
，
，
；
②当点在线段上时，如下图：
同理可得，
，，，
，，
轴，
，
，
设，，
则，，
依题意得，
即，
，
，
，
，
则，
，
轴，
，
综上，或．
3．（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，点在边上且．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动．当点不与点重合时，点绕点顺时针旋转得到点，以、为边作正方形．设点的运动时间为．
(1)当点落在线段上时，求线段的长．
(2)连结，当线段中点落在线段上时，求的值．
(3)当，且矩形与正方形重叠部分为轴对称图形时，求的取值范围．
(4)当矩形与正方形重叠部分面积为正方形面积的一半时，直接写出的值．
【详解】（1）解：当点落在线段上时，
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，，
在中，，
，
．
（2）解：①当在线段上时，设的中点为，连接，作于点，如图所示，
则，
四边形为矩形，，，，
四边形和都是矩形，
，；
四边形是正方形，为的中点，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当在线段上，线段中点落在线段上时，；
②当点在上时，
线段中点落在线段上，
此时线段和线段共线，
设线段中点为，连接，设交于点，如图所示，
四边形是正方形，为的中点，
，，，，
，
同①可知四边形和都是矩形，
，
线段和线段共线，，
，
和为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当点在上，线段中点落在线段上时，；
综上，当线段中点落在线段上时，或．
（3）解：①当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
②当点在上时，如图所示，
此时矩形与正方形重叠部分显然不是轴对称图形；
③当点在上，且时，设交于点，连接，如图所示，
，，，
，
此时矩形与正方形重叠部分为四边形是轴对称图形；
作于点，设，
则四边形为矩形，
，
，
，
在中，，即，
解得，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
④当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
综上，当或或时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形．
（4）解：①当时，不存在使矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，如图所示；
②当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，设交于点，交于点，连接交于点，连接，作于点，如图所示，
则四边形和都是矩形，
，；
，
，
；
，
，，
，
，即点为正方形的对角线中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；
③当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，作于点，于点，设与交于点，如图所示，
则四边形、四边形和四边形均为矩形，
设，则，，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
，
重叠部分面积
，
在中，，
，
，
整理得，，
解得，
，即，
，
，
，
时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；
综上，当或时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半．
4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）问题背景
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点（又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形绕点怎样转动、两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
类比探究：将正方形沿方向平移.
【实验猜想】
将点平移到的中点时，如图2，于点，于点，请你猜想并直接写出的值.
【拓展运用】
将点平移到线段上的任意点（不与，重合）时，记.
（1）如图3，求证：；
（2）如图4，点在边上（不与，重合），连接并延长与的延长线交于点，当且时，求的值.
【详解】解：实验猜想：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵于点，于点，
∴，
∴，
∴,
∴；
拓展运用：
（1）证明：过点P作，，垂足分别为点M和点N，
∵点P在正方形的对角线上，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
，
，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
，
∴，
∴，
，
∴，
∴
（2）过点P作交于点E，于点M，于点N，
，，
∴，
∴，即，
同理：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，设，则，
∵，
，则，
∵，
，
解得：，
则，
．
5．（2025·山东临沂·二模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形中，已知，，点P是边上的一个动点．
【操作判断】
（1）如图1，甲同学先将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕．将矩形沿折叠，使恰好落在上的处，则线段与线段的位置关系为 ；的度数为 ．
【迁移探究】
（2）如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，求此时的长；
（2）如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，请补全图形并求此时的长；
【综合应用】
（3）如图3，点Q在边上运动，始终满足，且，将沿PQ折叠，求折叠后与重叠部分面积的最大值，并求出此时的长．
【详解】解：（1）线段与线段的位置关系为，理由如下：
如图1，连接，
由折叠得：，，
、都在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
；
，理由如下：
将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
；
故答案为：，；
（2）如图2，点落在对角线上点时，
在矩形中，
，，，
，
设，由折叠得：，，
，，，
，
，
解得：，
；
（3），
，
设，
，
解得，
翻折后的三角形为，
，，
①当点在与之间或在对角线上时，如图4，图5，
，
，
此时折后与重叠部分面积，
，
在，当时，即，的最大值；
6．（2025·河南郑州·一模）综合与实践
综合与实践课上，数学活动小组的同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动．如图（1），在直角三角形纸片中，．
(1)操作判断
操作一：对折直角三角形纸片， 使点B 与点C 重合，得到折痕，把纸片展平．
问题1：如图（2），当直角边时，折痕的长为 ；
操作二：如图（3），将 绕点E 逆时针旋转得到， 点B，D的对应点分别是M，N，直线与边交于点P(不与点B，C重合)．
问题2：在绕点E 旋转的过程中，与的数量关系为
(2)探究迁移
若，．在绕点E旋转的过程中，当直线经过点A时，如图（4），求 的长．
(3)拓展应用
若，．在绕点E旋转的过程中，当与的边平行时，直接写出与重叠部分的面积(面积为0时忽略不计)．
【详解】（1）解：问题1：对折直角三角形纸片， 使点与点重合，得到折痕，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
问题2：如图，连接，

根据题意得，，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：由折叠可知，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；
（3）解：或；
在中，，
，
由折叠可知，，
，
，
，
，，
当时如图（1），设分别与边交于点，连接，
由题意得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，即，
解得：，
；
当时，如图（2）设分别与边交于点，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
综上，重叠部分的面积为或.
7．（2024·山西朔州·一模）综合与探究
如图1，二次函数的图象与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)两点，与y轴交于点C．直线经过A，C两点，连接．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在抛物线上是否存在除点C外的点D，使得？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将沿x轴正方向平移得到 (点A，O，C的对应点分别为)，分别交线段于点E，F，当与的面积相等时，请直接写出与重叠部分的面积．
【详解】（1）解：当时，，即，
当时，，
解得，，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴．
（2）解：如图1，作，使与关于对称，直线与轴交于点，
∴，
当时，，
解得，或，
∴，
设直线的解析式为，
将、代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，或，
∴，
∴存在，．
（3）解：当与的面积相等时，与的面积相等，则，同理（1），直线的解析式为，
设，其中，由平移可得，设直线的解析式为，将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
同理，直线的解析式为，
联立，
解得，，
∴，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∵，
∴轴，
当时，，即，
∴，
∴与重叠部分的面积为：
，
∴与重叠部分的面积为．
8．（2025·四川成都·二模）数学活动课上，同学们进行纸片折叠操作活动，具体过程如下：
(1)如图1，将正方形纸片沿折叠使点的对称点落在边上(不与两端点重合)，点的对称点为点，交于点．
①求证：；
②试探究线段，，之间的等量关系，并证明你的结论．
(2)如图2，如果将正方形纸片换成矩形纸片继续探究，将矩形纸片按照（1）中方式操作，，，，求折叠后重叠部分的面积．
【详解】（1）①证明：由折叠可知，
故，
又，
，
又，
；
②证明：，理由如下：
连接，连接，作于点，如图1所示，
由折叠可知，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
又，，
，
从而，
故，
即．
（2）解：设，由折叠可得，
，则有，
解得，
此时．
又由（1）①中可知，
，
，
，，
，
，
，
折叠后重叠部分的面积，
．
9．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点．
(1)如图1，当时，猜想四边形的形状，并说明理由．
(2)如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出与重叠部分的面积．
【详解】（1）解：结论：四边形是菱形，
证明：由折叠可知：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
（2）解：，
理由：过点作于点，
∴，
∵，即，
∴，
∵沿翻折，得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，，
∴，
∵
∴，（可作结论）
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，而且交于点．
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．（2025·四川绵阳·三模）如图，过、作x轴的垂线，分别交直线于C、D两点．抛物线经过O、C、D三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点M，N是平面直角坐标系中的两点，若四边形是正方形，求直线与抛物线的交点P的坐标；
(3)若沿方向平移（点C在线段上，且不与点D重合），在平移的过程中与重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∴，．
∵抛物线过原点，
∴设抛物线的解析式为．
∴，解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：∵，
∴，，
①当M、N在左侧时，如图，过N作于G，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
联立方程组，
解得或（舍去），
∴；
②当M、N在右侧时，如图，过N作于G，则，
同理可求出，直线解析式为，
联立方程组，
解得或（舍去），
∴；
综上，点P的坐标为或；
（3）解：设直线解析式为，则，
∴直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
如答图所示，
设平移中的三角形为，点在线段上，
设与x轴交于点E，与直线交于点P，与x轴交于点F，与直线交于点Q，
设水平方向的平移距离为，
则图中，，，，
设直线的解析式为，
将代入得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
联立方程组，解得t，
∴．
过点P作轴于点G，则．
∴
，
当时，S有最大值为，
∴S的最大值为．
11．（2025·河南开封·一模）新考法 知识探索＋迁移＋拓展
【操作判断】
①在学习特殊平行四边形的性质时，赵老师让学生制作两个大小相同的正方形纸片和，其中正方形的对角线相交于点O，赵老师让学生固定正方形纸片， 将 正 方 形 纸 片的顶点D'与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，如图（1），学生们惊奇 地发现两个正方形重叠部分的面积 ．（填“变了”或“不变”）
② 赵老师又让学生制作了两个大小一样的菱形纸片和，其中菱形 的 对 角 线相交于点O，． 赵老师让学生固定菱形纸片， 将菱形纸片的顶 点 与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，交边于点E，交边 于 点 F， 如 图（2），学生们惊奇地发现两个菱形重叠部分（四边形） 的面积 ．（填“变了”或 “不变”）
【探索发现】
根据（1）中的发现，学生们认为图（1）和图（2）存在共同的特征：①射线是的 ；
② ．
【迁移探究】
如图（3），平分，点 P 在上，点E，D 分别是，上的动点，且，当点D，E 分别在， 上运动时，试判断四边形的面积是否发生变化，并利用图 （3）说明理由．
【拓展应用】
如图（4），平行四边形中 ，，，，点E为边上一点，且平分， 连接．将绕 点E 旋转，当点C 的对应点F 落在上时，点F 恰好为的三等分点，请直接写出m 的值．
【详解】解：[操作判断]
①不变；理由如下：
作于，作于，设与交于点，与交于点，
由题意可得，正方形中，平分，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：不变；
②不变；
，
又菱形中，，，
是等边三角形，
，
如图，取的中点，连接，
是的中位线，
，
，
，
则是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：不变；
[探索发现]
①四边形是正方形，
平分；
四边形是菱形，
平分；
故答案为：平分线；
②在图（1）中，，
，
在图（2）中，，
，
故答案为：；
[迁移探究]
不变，理由如下：
如图，过点作，，垂足分别为，，
则，
，
，
，
，
平分，，，
，
，
，，
，
，
为定值，
故四边形的面积不发生变化；
[拓展应用]
解：的值为7或8；
平分，
，
，
，
，
，，
；
，
过点作，垂足为，过点作，垂足为，
可得，
同上可证明， ，
，
，
，
，
分以下两种情况讨论：
如图，当点是靠近点的三等分点时，，，则；
当点是靠近点的三等分点时，，，则，

综上所述，的值为7或8．
12．（2024·河南·三模）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合，经过点C，交于点G．求重叠部分（）的面积．
(1)小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤：
解：∵，D是的中点，∴．
∴． （依据：______________________）
又∵，∴．
∴．
∴_____________________．
∴．∴．
又∵，∴G是的中点，∴为中位线．
∴，．∴．
(2) “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，请解决下列两个问题：
①求证：；
②求出重叠部分（）的面积．
(3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________．
【详解】（1）解：∵，D是的中点，
∴．
∴．（依据：等边对等角）
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴G是的中点，
∴为中位线．
∴，．
∴．
故答案为：等边对等角，；
（2）①证明：∵，，
∴，
又，
∴；
②如图，

∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴点为的中点．
在中，．
∵是中点，．
在与中，∵，，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴；
（3）解：当时，过D作于H，

则，
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
当时，过D作于H，过M作于G，

则，
又，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
综上，的面积是为或．
故答案为：或．
13．（2024·河南开封·二模）【问题背景】
“综合与实践”课上，王老师带领同学们剪拼图形，用发展的眼光看问题，感受图形的变换美！
【特例感知】
（1）如图（1），纸片为矩形，且，，点E，F分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移．
①当纸片平移至点与的中点O重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是______．
②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为______．
【类比探究】
（2）如图（2），当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含a的式子表示）．
【拓展延伸】
（3）某小组将图（2）剪下来的与图（1）中的四边形按图（3）的方式放在同一平面内，使点L与点B重合，与重合．将从如图（3）所示的起始位置开始绕B点逆时针旋转，旋转过程中，边与边相交于点T，边与边相交于点S，连接．请直接写出旋转过程中，，之间的数量关系．
【详解】（1）①∵，，
∴，
∵点E，F分别为边，的中点，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴为等腰直角三角形，，
∵四边形在上平移，
∴，
∴为等腰直角三角形，
同理，也为等腰直角三角形，
∴，，
∵中点O为的中点，与O重合，
∴，
∴
，
∴两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是，
故答案为：；
②∵两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片面积之比是，，
∴，
∵
∴，
∴或，
故答案为：或；

（2）∵纸片为菱形，，
∴，和为等边三角形，
如图，过M点作交于点X，
∴，
∴，
∵纸片沿方向向上平移，
∴，
∵两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为，
∴，
∴，
∴，
（3）如图，延长到P，使，连，过点S作交于点N，过点P作交于点Q，
∵为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
14．（2025·辽宁铁岭·二模）综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板，）的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
操作发现
（1）如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为_____；当与垂直时，重叠部分的面积为_____；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为_____；
类比探究
（2）若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，，分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由；
②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号：）；
拓展应用
（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心处，该锐角记为（设）
将绕点逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出图2和图3情况下的阴影面积（分别用含的式子表示）．
【详解】（1）解：当与重合时，与重合，如图所示，
重叠部分的面积；
当与垂直时，，如图所示，
重叠部分的面积；
一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为．
理由：设交于点J，交于点K，过点O作于点M，于点N．如图所示，
∵O是正方形的中心，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1，1，．
（2）解：①如图2中，结论：是等边三角形．
理由：过点O作，
∵O是正方形的中心，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
②如图3中，连接，过点O作于点J．
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，
∵，，，
∴，
∵，
∴
∴
如图，
同（2）可得
∴
∴
∴．
综上所述，，．
15．（2025·山东日照·三模）“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！
【特例感知】
（1）如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点E，F分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移．
①当纸片平移至点与的中点O重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是______；
②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为______；
【类比探究】
（2）如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含a的式子表示）；
【拓展延伸】
（3）如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点D，E，将沿剪开，得到四边形和，将绕点D顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值．
【详解】解：（1）①为矩形，
厘米，，，
点，分别为边，的中点，
厘米，厘米，
，
，，
四边形是矩形，
又厘米，
矩形是正方形，
，，厘米，
由平移的性质得，，，
，
，
又，
四边形是矩形，
点与的中点重合，
厘米，
，，
和都是等腰直角三角形，厘米，厘米，
平方厘米，
平方厘米，
的面积与原矩形纸片的面积之比是．
故答案为：．
②由①中的结论得，四边形是矩形，和都是等腰直角三角形，
设厘米，则厘米，
厘米，厘米，
，
的面积与原矩形纸片的面积之比是，平方厘米，
，
解得：，，
平移距离为或．
故答案为：或．
（2）纸片为菱形，，
，和为等边三角形，
纸片沿方向向上平移，
，
，
两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为，
，
，
．
（3）如图，过点作于点，
，厘米，厘米，
厘米，
点，是，的中点，
厘米，厘米，厘米，
由旋转的性质得，厘米，厘米，
，
当上的高线最大时，则面积最大，
，
当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大，
作出示意图如下：
，
此时、、三点共线，
即厘米，
平方厘米，
即面积的最大值为144平方厘米．
16．（2025·河北石家庄·一模）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，．
独立思考：（1）试猜想与的数量关系：________；
实践探究：（2）嘉嘉将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为，连接并延长交于点G，请判断与的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）在的边上有一个动点M，点M沿方向从A点开始运动，到D点停止．随着点M的运动，琪琪沿折叠，折叠后点A的对应点为，当与平行四边形的边垂直时，问题：若此的面积为5，边长，，请直接写出与重叠部分的面积．
【详解】解：（1）作交于，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图，连接，
由折叠可得，，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，边长，，
∴，，，，
当时，如图，交于，交于，过作于，过作于，则，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由折叠可得，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与重叠部分的面积；
当时，如图，交于，则，
∵的面积为5，
∴，
∴，
由折叠可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与重叠部分的面积；
综上所述，与重叠部分的面积为或．
题型三：特殊角的处理策略
【中考母题溯源·学方法】
【典例3】（2024·江苏淮安·中考真题）综合与实践
[问题初探]
（1）某兴趣小组探索这样一个问题：若是的角平分线，则线段，，，有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空：
根据小智或小勇的方法，可以得到线段，，，的数量关系是________；
[变式拓展]
（2）小慧对问题作了进一步拓展：如图3，在中，，D是边上一点，，，求的值．请你完成解答．
[迁移应用]
（3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段上作一点P，使；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
[综合提升]
（4）如图5，在中，，点D在边上，，点E在的延长线上，连接，，请直接写出的值（用含的式子表示）．
【详解】解：（1）小智的思路补全：如图1，作，垂足分别为M，N．
∵平分，
∴，
∵，，
∴．
过点A作，垂足为P．
∴，
∴．
；
小勇的思路补全：如图2，作，交的延长线于点E．
∵平分，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
，
，
，
，
．
（2）如图2，过点D作，垂足分别为M，N．
∵，
∴．
∵，
∴．
又，
∴．
；
（3）如图3，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径作弧，连接，再以点O和点F为圆心，为半径作弧交于点H，连接与交于点K，过点K作的垂线交于点P．点P即为所求．
理由：根据作图可知，，
∴是等边三角形，，
∴，
在中，，则；
在中，，则，
所以．
所以．
；
（4）如图4，过E作交的延长线于G，使，
所以，
所以，即，
因为，
所以，
所以．
所以．
因为，
所以，
所以．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（23-24九年级上·河南郑州·月考）教材呈现
例：如图（1），在中，，是斜边上的中线．求证：．
证明：延长CD至点E，使，连接．
……

(1)请根据教材提示，结合图（1）写出完整的证明过程．
(2)初步探究
如图（2），在四边形中，，，，于点P，连接，，且．
①的度数为______．
②求的长．
(3)拓展运用
如图（3），在中，，，F是边上一点，且；按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线．过点F作交于点P，过点P作于点G，Q为射线上一动点，连接，．若，请直接写出的值．
【详解】（1）证明：延长至点E，使，连接，，
则．
∵是斜边上的中线，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
（2）①∵，，，
∴P为中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
②如图（1），过点D作于点G．

由题意，，
∴，
∴，
∴，．
由①知，
∴．
设，则，．
∵，
∴，
解得，
∴．
（3）或3．
解：过点Q作于点H．
∵，
∴．
由作图可知，平分，
∴，
∴，
∴；
分两种情况：①如图（2），当点Q在线段上时，连接，
则，
∴由勾股定理得：；

∵，，
∴．
在中，，
∴，，
∴．
在中，，
②如图（3），当点Q在线段BP的延长线上时，
由题意，，．
在中，，

∴，，
∴．
在中，
，
综上可知，的值为或3．
2．（2024·浙江·二模）定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”．
例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”．
利用上述知识解答下列问题．
(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________．
(2)在四边形中，对角线平分．
①如图1，若，，求的最小值．
②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数．
③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积．
【详解】（1）解：∵平行四边形、矩形的对角线不一定平分平行四边形、矩形的角，
∴平行四边形、矩形不一定是“可折四边形”；
∵菱形、正方形的对角线平分一组对角，
∴菱形、正方形一定是“可折四边形”；
故答案为：菱形、正方形．
（2）解：①当，时，与最小，
∴此时最小；
∵，对角线平分．
∴
∴，
∴
答：的最小值为4；
②如图1，过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，
①
又平分，平分
，
②
①×2－②得
∵，，，
又平分，平分
∴，
平分
∴
③如图2
过作，，
又∵平分
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴
则，，，四点共圆
∴，
当时，如图3
∴
∴
∴
∴
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
．
当时，如图4
∵，
∴
∴
∵
∴同理可求得，，，
．
综上，四边形的面积为或．
3．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】
（1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________________；（写出一对即可）
上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．

【类比分析】
（2）如下图，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点E顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由；

①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题；
②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题．
请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如下图，中，当时，点D、E为、上的点，，，若，，求线段的长．

【详解】解：（1）．理由如下：
如图1，
和是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
；
（2）如图2，过点作平分交于，
四边形中，，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
即，
由旋转得：，，
，
，
；
（3）如图3，以、为边作平行四边形，连接，
则，，，，

设，则，
，
，
又，
是等边三角形，
将绕点逆时针旋转得，连接，
是等边三角形，，，
，
，
，
即，
，
即的长为．
4．（2024·重庆·中考真题）在中，，点是边上一点（点不与端点重合）．点关于直线的对称点为点，连接．在直线上取一点，使，直线与直线交于点．

(1)如图1，若，求的度数（用含的代数式表示）；
(2)如图1，若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
(3)如图2，若，点从点移动到点的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值．
【详解】（1）解：如图，

∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，
在上截取，连接，交于点H，

∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点关于直线的对称点为点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
记与的交点为点N，
则由轴对称可知：，，
∴中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，记与的交点为点N，

∵，
∴，
由轴对称知，
当点G在边上时，由于，
∴当为等腰三角形时，只能是，
同（1）方法得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴中，，解得，
∴，而，
∴为等边三角形，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点G在延长线上时，只能是，如图：

设，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴在中，，
解得，
∴，
设，则，，
在中，，由勾股定理求得，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或．
5．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长．
解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．

由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，

∴___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．

【拓展应用】
如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】
如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．

【详解】【问题解决】解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．

由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，，，，
∴①．
∴．
又∵，
∴在中，②．
∵，，
∴③．
【知识迁移】．
证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到．
过点作交边于点，连接．

由旋转的特征得．
由题意得，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
又∵为正方形的对角线，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
在中，，
∴．
【拓展应用】．
证明：如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，

将绕着点顺时针旋转，得到，连接．
则．
则，，
，
，
在和中
，
，
∴，
过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形．
∴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在中，，，
∴，
即，
又∴，
∴，
即，
【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．

由旋转的特征得．
，
，
，即，
在和中，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，即，
，
同理可得．
，
，
，
又∵，
∴四边形为矩形．
，
，
在中，．
，
解得．
6．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）阅读材料：几何世界的经典模型，是打通“已知”与“未知”的关键，浓缩着图形核心规律．其中，“一线三等角”是体现几何推理魅力的典例，以“一条直线上有三个等角”为核心，关联三角形、全等、相似等知识点，能帮我们快速捕捉图形隐藏关系．这个模型有哪些图形性质？能解决哪些几何问题？让我们一同探寻，感受几何推理的严谨与美妙．
【模型呈现】
如图1，点E，F分别在正方形的边上，且．求证：．
【模型应用】
如图2，在中，，D是线段上一点，，连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，求线段的长．
【拓展延伸】
如图3，在正方形中，E，F分别在边上，G在边的延长线上，且为等边三角形，若，，请直接写出的长．
【详解】[模型呈现]：
解：∵如图1，四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴；
[模型应用]：
解：延长至点，使得，连接，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
[拓展延伸]：
解：延长至点，连接，使得，延长至点，连接，使得，过点作于点，则
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴在中，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
同理在中，，
∵，
∴
解得，
∴．
题型四：二倍角的相关处理策略
【中考母题溯源·学方法】
【典例4】（2023·江苏泰州·中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．

知识回顾
(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
【答案】(1)①；②；
(2)见解析；
(3)见解析
【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形；
（2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可；
（3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等．
【详解】（1）解：①，，
，
．
②连接，过作，垂足为，
，，
是等腰直角三角形，且，
，，
是等腰直角三角形，
，
在直角三角形中，，
．
（2）证明：延长交圆于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
为该圆的圆心．
（3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
必有一个点的位置始终不变，点即为所求．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2024·辽宁鞍山·三模）【问题初探】
在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，是等腰三角形，，过点B作于点D，若，，求的长．
同学们经过思考后，交流出两种解题思路：
思路1：在和中，分别利用勾股定理即可求出的长；
思路2：如图2，在上截取，连接，先证出，再利用相似求出的长；
（1）请利用思路2求出的长；
【类比分析】
思路2是利用转化的思想，将二倍角问题转化为等角进行研究，为了使学生进一步感悟转化思想，王老师提出下面问题，请解答．
（2）如图3，在Rt中，，，点E在边上，且，若，求的长；
【学以致用】
（3）如图4，是等腰三角形，，交的延长线于点D，E是边上一点，，，，求的长．
【详解】（1）解：如答图1：在上截取，连接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∵是等腰三角形，，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∵,，
∴
解得或（不合题意，舍去）
∴；
（2）解：如答图2：延长到点F，使，连接，作于点H，
∵，，
∴垂直平分，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∵,
∴，
解得或（不合题意，舍去）
∴
∵，，，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
．
（3）解：如答图3，在的延长线上取一点F，使，连接，作于点H，
∵，
∴垂直平分，，
∵，
∴，即
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得或（不合题意，舍去）,
∴
2．（2024·辽宁大连·一模）如图中，，垂足为D，，若，，长为y，则y与x的函数关系式为________．
二倍角问题是同学们在几何图形中比较困难的问题之一，二倍角问题的解题策略很多，其中之一便是构造等腰三角形，利用等腰三角形的相关性质来解决问题，小明和小强通过对本题二倍角问题的研究，提出以下想法：①小明：由，想到构造等腰三角形，把以为轴翻折，到，可设为，则为，通过导角计算，可以得到一个等腰三角形；
②小强：在图中，可利用勾股定理或者相似三角形来进行计算，导出y和x的数量关系．
(1)问题：请按照上面两名同学的思路，证明：
①；
②写出y和x的数量关系式．
(2)问题拓展：
矩形中，E为边上一点，连接，在上取一点F，，，若，求的值．
【详解】（1）解：①证明：延长至点E，使得，连接
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，
即，
整理得；
（2）解：解：如图，延长至H，使，连接，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考：
阅读下列材料，并完成相应的学习任务．
学习任务：
（1）材料中的取值范围是______．
（2）如图4，在中，，，则的长是______．
（3）请根据材料提供的方法，利用图3证明“”．
【详解】解：（1）根据倍角三角形定义，可知，
∴，即：，
∵，
∴，
∴的取值范围：，
故答案为：；
（2）∵，二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积，
∴，即：，解得：，
故答案为： ；
（3）取的中点，连接，
∵点是的中点，点是中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．（2023·四川达州·中考真题）（1）如图①，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点落在上处，若，求的值；

（2）如图②，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若，求的值；
（3）如图③，在中，，垂足为点，过点作交于点，连接，且满足，直接写出的值．
【详解】解：（1）如图①，∵四边形是矩形，
∴，，，
由翻折性质得，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，
∴，，
∴；
（2）如图②，∵四边形是矩形，
∴，，，
由翻折性质得，，，，
∴
∴，
∴，
∴，即，又，
∴，
∴，
在中，，
∴，则，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则；
设，，
过点D作于H，如图③，则，
∴；

∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，
∴，，
在中，，
在图③中，过B作于G，则，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，则，
在中， ，，
∵，
∴，则，
∴．

题型一：面积平分问题
题型二：面积重叠问题
题型三：特殊角的处理策略 题型四：二倍角的相关处理策略
1. 三角形面积平分（最简单）
方法：画中线
取一边中点，连接顶点
任意一条中线都平分三角形面积口诀：三角平分找中线，一划一平分两半。
2. 平行四边形 / 矩形 / 菱形 / 正方形 平分
方法：过对称中心
连接对角线 → 找交点（中心）
任意一条过中心的直线，都平分面积常见：
对角线
对边中点连线
过中心的任意直线
口诀：中心对称不用想，过中心点就平分。
3. 梯形面积平分（高频考）
方法①：中位线中点法（最通用）
找两底中点连线
取中点
过这个点的直线平分梯形面积
方法②：直接连两底中点
直线一定平分面积。
口诀：梯形平分找中点，两底中点连一线。
4. 任意四边形面积平分（中考压轴常考）
万能通法：转化为三角形
步骤：
连接四边形一条对角线
过一个顶点作对角线的平行线
把四边形等面积转化为三角形
画三角形中线 → 即平分四边形面积
本质：同底等高，面积不变。
口诀：任意四边不好分，一转化成三角形。
5. 过边上某定点平分面积（难题）
通用步骤：
连接定点与对角顶点
取中点 / 作平行线
构造等积变换
连线即为面积平分线
0
5.5
0
16
16
0
当对一个图形进行平移、旋转或轴对称变换时，往往会产生图形重叠的情形，若要研究重叠部分的面积问题，则要注意以下两点:
1.静态问题:即变换到具体某一位置时重叠部分的面积问题，此类问题通常需结合题意，对重叠部分进行拆分，利用割补法进行面积表示，再进行求解:
2.动态问题:即研究一段时间(范围)内产生的重叠部分面积问题，此类问题通常要找出临界位置，画出图形，再分别求出相应的面积即可，临界点处的重叠面积问题即等同于静态问题.
1. 作垂线（最常用）
口诀：遇特殊角，作高造直角。
适用：30°、45°、60°、120°、135°、150°
操作：从角的顶点向对边（或延长线）作垂线，将原三角形分割为两个直角三角形，其中一个必含特殊角。
示例：△ABC 中，∠C=120°，AC=2，BC=4。过 A 作 AD⊥BC 延长线于 D，则∠ACD=60°，在 Rt△ACD 中求解。
2. 旋转法（集中条件）
口诀：遇等腰 / 等边 + 特殊角，旋转 60°/90°。
适用：45°、60°、90°，常用于等腰直角三角形、等边三角形、正方形背景。
操作：将含特殊角的三角形绕顶点旋转，构造全等或新的特殊三角形（如等边三角形、等腰直角三角形）。
示例：正方形 ABCD 中，点 E 在内部，∠AEB=135°。将△ABE 绕 B 点顺时针旋转 90° 至△CBE'，则△BEE' 为等腰直角三角形，∠EE'C=90°，可在 Rt△EE'C 中求解。
3. 翻折（对称）法（角平分线 / 垂直）
口诀：遇角平分线 / 垂直，翻折造全等。
适用：30°、45°、60°，常与角平分线、垂直、中点结合。
操作：沿角平分线或高线翻折，构造对称图形，将分散的角和边集中。
4. 构造特殊三角形（补形法）
构造等边三角形：遇 60° 角，补成等边三角形，利用三边相等、三角 60°。
构造等腰直角三角形：遇 45° 角，补成等腰直角三角形，利用两腰相等、斜边直角边关系。
小智的思路和方法：
如图1，作，垂足分别为M，N．
因为平分，
所以________．
因为，，
所以，
再用另一种方式表示与的面积，即可推导出结论…
小勇的思路和方法：
如图2，作，交的延长线于点E．
因为平分，
所以，
因为，
所以．
所以．
所以________．
再通过证明
得到比例式，从而推导出结论…
1. 作角平分线（平分大角）
把 2∠A 分成两个 ∠A
立刻出现：等腰三角形 + 相似三角形
适用：求边长、比例、证明线段相等
2. 向外补角，构造等腰（最常用！）
延长一边，让外角 = 小角→ 出现 等腰三角形→ 2 倍角直接变成外角 = 两内角和这是90% 中考二倍角题的突破口。
3. 翻折 / 对称（把二倍角变一倍）
沿某条线翻折→ 2α 变成 α→ 出现等腰、全等、垂直适用：折叠题、坐标系几何。
4. 构造直角三角形（三角函数 / 勾股）
出现 2α 且有垂直时→ 利用直角三角形两锐角互余→ 把二倍角转化为角度关系适用：求高、求边长、坐标系斜率。
倍角三角形在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形．如图1，在中，，，的对边分别为a，b，c．，是倍角三角形．
下面类比等腰三角形的研究思路，对图1所示的倍角三角形的性质进行探究．
角：根据三角形的内角和定理，在图1所示的中，的取值范围是______．
边：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积．即．
如图2，延长到点H，使．连接．则，．
所以．
所以，即．所以．
特殊线段：过点B作边上的高，
若点F为的中点，则．理由如下：
如图3，取的中点P，连接，．