中考数学二轮复习训练专题21图形的平移 对称 旋转（知识清单（4大考点+10大题型+4大易错+3大技巧方法+测试）（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮复习训练专题21图形的平移 对称 旋转（知识清单（4大考点+10大题型+4大易错+3大技巧方法+测试）（2份，原卷版+解析版），文件包含高中物理练测析-单元卷-必修1pdf、高中物理练测析-单元卷-必修1答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
目 录
01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养
02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系
03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（4个核心考点）
考点01图形的平移
考点02成轴对称与轴对称图形
考点03成中心对称与中心对称图形
考点04旋转
04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（10大重难题型）
题型01轴对称图形与中心对称图形 题型02轴对称、中心对称、旋转与坐标变化
题型03平移及其性质 题型04利用轴对称的性质求解
题型05利用旋转的性质求解 题型06平移、轴对称、旋转的的作图问题
题型07利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
题型08旋转、对称与规律探究问题
题型09对称、翻折与几何综合问题 题型10旋转与几何综合问题
05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（4个易混易错点）
易错点01判断轴对称图形与中心对称图形时出错
易错点02轴对称与最值问题
易错点03利用旋转求最值
易错点04三角形、四边形中的翻折问题
06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（3大方法技巧）
技巧01：旋转与手拉手模型问题
技巧02：旋转与对角互补模型
技巧03：旋转与半径模型
07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题）
通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用；运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。
2.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质，能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定 对称轴的对称图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形，会设计轴对称的图案设计
3.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索并掌握旋转的基本性质；了解中心对称、中心对称图形的概念，探索并理解中心对称的性质；认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。
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1.定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是由移动方向和距离决定的.
2.平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上） 且相等
【提示】
（1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等.
（2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等.
（3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离.
3.平移的作图：
（1）定：根据题目要求，确定平移的方向和距离；
（2）找：找出确定图形形状的关键点；
（3）移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点；
（4）连：按原图顺序依次连接各对应点.
【总结】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离.
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1.成轴对称的概念：
把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.
2.轴对称的性质
（1）对应点的连线被对称轴垂直平分；
（2）成轴对称的两个图形全等；
3.轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.
4.轴对称作图
①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点）
②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点
③连.按原图对应连接各对称点
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1.成中心对称的概念
如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称
2.成中心对称的性质
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。
3.中心对称图形
如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
4.中心对称的作图步骤
（1）作已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于对称中心的对称点——连接关键点和对称中心，并延长一倍确定关键点的对称点.
（2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形.
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1.旋转的概念
在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．
三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
2.旋转的性质
一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相 等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等
【提示】
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等．
3.旋转作图
（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；
（2）找出原图形的关键点；
（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；
（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
题型01轴对称图形与中心对称图形
【典例1】（2025·山东淄博·一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式练习】
1．（2026·湖北黄石·一模）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·上海·模拟预测）在线段、正三角形、平行四边形、正方形中，共有 个图形既是轴对称图形又是中心对称图形．
3．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，直线互相垂直且相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对应点是，于点，于点若，，则阴影部分的面积之和为 ．
题型02轴对称、中心对称、旋转与坐标变化
【典例2】（2025·西藏拉萨·一模）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值是 ．
【变式练习】
4．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知M点关于x轴的对称点是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·广东广州·模拟预测）点与点关于原点对称，则的值为 ．
6．（2025·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再向右平移2个单位长度得到点，则点的坐标是 ．
题型03平移及其性质
【典例3】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片沿剪开，再把沿着方向平移，得到，当时，两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为 ．
【变式练习】
7．（2025·山西·一模）如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·安徽合肥·三模）如图，中，，，且，连接，将沿方向平移至，连接，若，则的长为（ ）
A．1B．C．D．2
9．（2025·上海虹口·二模）如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是 ．
题型04利用轴对称的性质求解
【典例4】（2025·陕西·模拟预测）天津之眼是天津市的著名地标之一．其形状可以看作如下的示意图，桥段与摩天轮相切，且整个图形是轴对称图形，是支架且，和分别交于点D，E，连接，已知，，则半径为 （ ）
A．B．C．D．
【变式练习】
10．（2025·辽宁·一模）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点D关于的对称点E在边上，连接．若，则的度数为 ．
12．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在中（），，于点D，点E，F分别是，上的动点，连接，，点和关于对称，点和关于对称，且点，都在所在的直线上，已知，设，，则 ．
题型05利用旋转的性质求解
【典例5】（2026·湖北襄阳·二模）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转（）得到，连接，若，则① ；②的面积为 ．
【变式练习】
13．（23-24九年级上·吉林松原·期中）如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交于点D，若，则的度数（ ）
A．B．C．D．
14．（2026·陕西西安·一模）如图，四边形是边长为2的菱形，，将菱形绕点A逆时针旋转，使点B的对应点落在对角线上，交于点E，则四边形的面积等于 ．
15．（2026·四川成都·一模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转至，使得点的对应点在内部，且与相交于点，若，则的长为 ．
题型06平移、轴对称、旋转的的作图问题
【典例6】（2025·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，平移，若的对应点的坐标为，画出平移后对应的；
(2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标．
【变式练习】
16．（2025·天津红桥·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点A，B均在格点上，且．
（1）线段的长等于 ；
（2）若D为圆与网格线的交点，P为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
17．（23-24八年级上·重庆丰都·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
(1)在图中画出关于y轴对称的图形
(2)若与点A关于一条直线成轴对称，那么点B关于这条直线的对称点坐标是________；
(3)求的面积．
18．（2025·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出与关于原点成中心对称的；
(2)画出绕点逆时针旋转后得到的；
(3)内一点关于原点的对称点的坐标为________．
题型07利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
【典例7】（2023·吉林白山·一模）图①、图②均是由边长为1的小等边三角形构成的网格．每个网格中有3个小等边三角形已经涂上了阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按要求选取一个涂上阴影．
(1)在图①中使4个涂阴影的小三角形组成的图形是轴对称图形；
(2)在图②中使4个涂阴影的小三角形组成的图形是中心对称图形．
【变式练习】
19．（2025·吉林长春·一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个四边形，使其面积依次为13、10和9，所画四边形均为轴对称图形，点、在格点上．只用无刻度的直尺按要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
20．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）网格中每个小正方形的边长表示1，有和半径为2的．所有的已知点都在格点上．
(1)将进行平移，使点A平移到点D，画出平移后的图形；
(2)以点M为位似中心，在网格中将放大到原来的2倍，画出放大后的图形，并在放大后的图形中标出线段的对应线段；
(3)在（2）所画的图形中，求线段截所得的弦长．（结果保留根号）
21．（2025·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的3个4格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条．
(1)如图1，是格点，先将点绕点逆时针旋转，画对应点，再画直线交于点，使直线平分矩形的面积．
(2)如图2，先画点关于直线的对称点，再画射线交于点，使．
题型08旋转、对称与规律探究问题
【典例8】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【变式练习】
22．（2021·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是 ．
23．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、坐标分别为和．若正方形第1次沿轴翻折，第2次把第1次翻折后的图形沿轴翻折，第3次把第2次翻折后的图形沿轴翻折，第4次把第3次翻折后的图形沿轴翻折，第5次把第4次翻折后的图形沿轴翻折，…，按此规律，则第2026次翻折后的图形点对应的坐标是 ．
24．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ．
题型09对称、翻折与几何综合问题
【典例9】（2026·上海松江·一模）在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点．
(1)如图1，当四边形是矩形时，如果，，求四边形的面积；
(2)如图2， 如果， ，四边形的面积是，求的正弦值；
(3)如果且 ，求的值．
【变式练习】
25．（2025·广东佛山·三模）在矩形中，，点为上一动点．
(1)如图1，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，求的值；
(2)如图2，点和点关于的对称点分别为和．
①若，试判断四边形的形状，并说明理由；
②当为直角三角形时，求的长．
26．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知，在等腰中，，，点为中点，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、．
(1)如图，若，，求的长；
(2)如图，过点作于点，延长交于点，求证：；
(3)如图，在的条件下，为线段上一点，连接，将沿翻折得，点对应点，点为线段与线段的交点，当为等腰三角形时，直接写出的值．
27．（2026·浙江·模拟预测）如图，矩形中，．

(1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到．
①如图1，当平分时，求的长；
②如图2，连接，当时，求的面积；
(2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长．
题型10旋转与几何综合问题
【典例10】（2025·河北邯郸·三模）已知是等边三角形，点在内，且，以为边在右侧作等边三角形．
(1)如图1，若点在射线上，
①请利用无刻度的直尺和圆规作出，连接．
②求的度数．
(2)如图2，延长交于点．
①求证：是的中点．
②设，交于点，若，求的值．
(3)连接，若的边长是12，点是的中点，请直接写出点，之间距离的最大值．
【变式练习】
28．（2022·辽宁沈阳·三模）在等腰三角形和等腰三角形中，，．将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接，．
(1)如图，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的关系为 ；
(2)在的基础上，绕点逆时针继续旋转，中的结论是否成立？若成立，请画出图形并写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)若，，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长．
29．（2025·广东佛山·三模）如图1，在中，，将绕点顺时针旋转到，连接．
(1)绕点旋转过程中，求证：；
(2)绕点旋转过程中，延长交线段于点，当四边形为平行四边形时，求线段的长度；
(3)在绕点旋转过程中，是否存在以、、为顶点，且为腰的等腰三角形，若存在，直接写出的长度，若不存在，说明理由．
30．（2025·江苏淮安·一模）已知矩形，将矩形绕点A旋转．
(1)如图1，当点E落在上时，作于点H，且，
①若，，求的长；
②连接，判断四边形的形状是______．
(2)如图2，当点E落在上时，
①若，，求的值；
②若，，连接交于点Q，直接写出的值为______．
(3)如图3，点B在上，交于点M，若，求的值．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点01判断轴对称图形与中心对称图形时出错
【错因】混淆轴对称图形与中心对称图形而致错
【避错关键】识别轴对称图形的关键是找到对称轴，使图形的两部分折叠后可重合；识别中心对称图形的关键是找到对称中心，绕对称中心旋转180°后与自身重合，此类问题常见的错误主要是不能正确找出图形的对称轴或对称中心.
【典例】
1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点02轴对称与最值问题
【错因】对于题目，不能找到取最值时的点的位置
【避错关键】轴对称与最值问题（也称为“将军饮马”问题及其拓展）是初中数学和高中数学中非常重要的几何最值模型。它的核心思想是 “化折为直” ，利用轴对称将同侧线段和的最小值问题转化为异侧线段和的最小值问题（即两点之间线段最短）
【典例】
3．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，菱形的边长为，，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
5．如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．如图，在梯形中，，，，对角线平分，点在上，且（），点是上的动点，则的最小值是 ．
7．如图，在中，，，．将绕点B旋转得到，分别取
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【错因】对于旋转类最值问题，不能找到取最值时的点的位置
【避错关键】常见旋转最值模型：
“手拉手”旋转全等 + 两点之间线段最短
“费马点”问题（旋转60°）
旋转构造“定角定长”轨迹（隐圆模型）
【典例】
的中点，则的最大值是（ ）．
A．B．C．D．
8．如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是 ．
9．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为 ．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点04三角形、四边形中的翻折问题
【错因】对于几何图形的翻折问题，找不到翻折前后的对应关系或不能列出相应的方程
【避错关键】
1.翻折是一种轴对称变换，变换前后具有以下性质：
（1）全等性：翻折前后的图形部分是全等的（对应边、对应角相等）。
（2）对称轴垂直平分对应点的连线。 折痕是对称轴：折痕上的点到对应点的距离相等。
（3）不变量：翻折前后图形的周长、面积等量在整体上可能有变化，但被翻折的部分保持不变。
2. 解题的关键往往在于：找出翻折前后的对应关系，设未知数，利用勾股定理或相似三角形建立方程。
【典例】
10．如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
11．在平行四边形中，是锐角，将沿直线l翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． 或D．或
12．如图，矩形中，连接对角线，将沿折叠，点B落在点处，交边于点E，则：
（1）的形状是 ；
（2）若，则点到边的距离是 ．
13．如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于 ．
14．如图，在正方形纸片中，点E是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么的值是 ．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧01：旋转与手拉手模型问题
【典例】
1．如图，在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结．
(1)求的度数；
(2)若点D在线段上时，求证：；
(3)当动点D在直线上时，设直线与直线的交点O，试判断是否为定值？并说明理由．
2．南南同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，南南把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)问题发现：如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；
(2)拓展探究：如图2，若和均为等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为__________；线段与之间的数量关系是__________；
(3)解决问题：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．若等式成立，请求出a的值和b的值．
3．综合与实践
【问题呈现】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：．
【类比探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则
【拓展提升】
（3）如图3，，，连接，，若．
①求的值；
②延长交于点，则 ．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧02：旋转与半角模型
【典例】
4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E．
(1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E；
(2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．
(3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）
5.综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．
6．如图所示，在中，，，的两边交边于，两点，将绕点旋转
（1）画出绕点顺时针旋转后的；
（2）在（1）中，若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，直接写出的长.
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧03：旋转与对角互补模型
【典例】
7．四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．
（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：；
（2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ．
8．回答问题：
(1)【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；
(2)【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
9．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
一、单选题
1．（2026·辽宁阜新·一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知点A的坐标为，将点A向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·安徽·模拟预测）如图，将菱形沿着对角线所在的直线l平移，若，则的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
4．（24-25八年级上·山西晋城·期中）小花将三角形纸片按照下面四种方式折叠，得到，则是的高的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·浙江杭州·二模）如图，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2025·四川绵阳·一模）如图，菱形的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·上海徐汇·二模）在平面直角坐标系中，若抛物线与关于直线对称，则符合条件的和的值可以为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．（2025·浙江·模拟预测）将边长为a的菱形分别沿着和折叠（E，F，G，H分别在边，上），使点A和点C在折叠后均落在边上的点M处．若于点F，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ）
A．正东方向B．正南方向C．正西方向D．正北方向
二、填空题
11．（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转后对应的坐标是 ．
12．（2025·山东济南·三模）如图，与关于所在直线对称，若，，则的度数为 ．
13．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若，则的度数为 ．
14．（2025·上海·模拟预测）在中，，将线段绕点旋转度，得到线段，作点关于直线轴对称的点，连接交于点．如果旋转角，那么的长为 ．
15．（2024·陕西西安·二模）如图，中，，，点，分别是，上的动点，则的最小值为 ．
16．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形中，，点在四边形内，，于点，将沿翻折，点恰好与点重合，延长交折痕的延长线于点，，则点到直线的距离为 ．
三、解答题
17．（2024·江苏南京·中考真题）已知点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点．若两点都在函数的图象上，求点的坐标．
18．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；
(2)画出绕点A逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）
19．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中，面出四边形的一条对称轴．
(2)在图②中，画出经过点E的的切线．
20．（2025·四川成都·一模）如图，在中，，点为斜边的中点，于点，连接，将沿翻折至处，且点恰好落在直线上．
(1)求的度数；
(2)求证：垂直平分．
21．（2025·贵州遵义·一模）如图，是半的直径，，连接，沿翻折弧，恰好经过圆心O．
(1)________；
(2)若，求的半径r；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
22．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）综合与探究：
如图，矩形绕着点A旋转得到矩形，点B、C、D分别对应点E、F、G．
【问题探究】
（1）如图1，将矩形绕着点A顺时针旋转得到矩形，当点G落在上时，延长交于点H，求证：；
（2）在（1）的条件下，连接．若，，求的长；
【拓展延伸】
（3）将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，若，，当所在直线经过点D时，直接写出的长．
23．（25-26九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于上的点P和直线l，给出如下定义：将图形M绕点P 逆时针旋转，再关于直线l对称，得到图形N，称图形N是图形M关于点P和直线l的“旋转对称”图形．已知点．
(1)当直线时，
①若点，，中，点 是点A关于点P 和直线l的“旋转对称”图形上的点；
②若直线与点A关于点P 和直线l的“旋转对称”图形有公共点，直接写出k的取值范围；
(2)已知线段，直线，点，，若线段上的点都是线段关于点P和直线l的“旋转对称”图形上的点，直接写出点C的横坐标的取值范围．
24．（2025·吉林·一模）在平面直角坐标系中，点M和点N都在抛物线上，且点N关于点M的对称点恰好落在y轴上，设点M的横坐标为m．
(1)当时，求点N的纵坐标；
(2)若点N的纵坐标为2，求m的值；
(3)当N在抛物线对称轴左侧，点N不在y轴上时，过点N作轴于点H．
①抛物线在内部（包括边界）的最高点与最低点纵坐标的差为，求m的值；
②直线交x轴于A，点B是点A关于y轴的对称点，若的周长是周长的3倍，直接写出m的值．
《方法技巧》
1.两个具有公共顶点的多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生全等三角形，这样的图形称作共点旋转模型.为了更加直观，我们形象地称其为“手拉手”模型.
2.模型类型：常见的有以下几种类型.
《方法技巧》
角含半角模型，即一个角包含着它的一半大小的角，并且这两个角共顶点.，常见的类型有：等腰直角三角形含半角模型、正方形含半角模型、一般四边形中的半角模型
《方法技巧》
1.有一组邻边相等的四边形，这两条边各自与另一条邻边所组成的内角互补，这样就能得到一个结论：另外两条邻边组成的角被从顶，点出发的对角线平分.为了更加直观，我们形象地称其为对角互补旋转模型，
2.模型类型：