中考数学二轮复习训练专题22投影与视图（知识清单）（2大考点+10大题型+3大易错+4大技巧方法+测试）（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮复习训练专题22投影与视图（知识清单）（2大考点+10大题型+3大易错+4大技巧方法+测试）（2份，原卷版+解析版），文件包含高中物理练测析-单元卷-必修1pdf、高中物理练测析-单元卷-必修1答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
目 录
01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养
02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系
03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（2个核心考点）
考点01投影 考点02三视图
04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（10大重难题型）
题型01平行投影
题型02中心投影
题型03投影的有关计算
题型04简单几何体的三视图
题型05简单组合体的三视图
题型06由三视图还原几何体
题型07由三视图判断几何体的个数
题型08堆砌的小正方体有关计算
题型09由三视图求侧面积或表面积
题型10画三视图
05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（3个易混易错点）
易错点01三视图的判断
易错点02由三视图求几何体的表面积
易错点03影子落在斜坡或墙壁上的计算
06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（4大方法技巧）
技巧01：利用三视图求几何体的表面积或体积
技巧02：由三视图推断几何体中小正方体的个数
技巧03：由俯视图中所标数字推断主视图或左视图
技巧04：利用平行投影或中心投影构建相似三角形解决问题
07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题）
1.了解投影、平行投影、中心投影、正投影的概念，能够确定物体在太阳光下的影
子的特征，体会投影与现实生活的联系；了解物体正投影的形状、大小与它相对的投影面的关系，会画物体的正投影.
2.能根据光线方向辨别物体的影子，能判断中心投影下物体影子的位置和大小；能根据物体的影子判断投影类型，会确定光源类型
3.了解视图的概念，知道视图与投影的关系；理解三视图的概念，会画简单几何体的三视图，会根据三视图还原立体图形，能进行三视图的有关计算.
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1.投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
2.平行投影
（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．
（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．
（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
3.中心投影
（1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
（2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
（3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．
4.正投影
正投影：在平行投影中，如果投影线与投影面互相垂直，当就称为正投影.
平面图形的正投影记忆口诀：平行形状不变，倾斜形状改变，垂直变成线段.（简称;平行，形不变；倾斜，形改变；垂直，成线段.）
5.视点、视角和盲区
（1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点．
（2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．
（3）盲区：视线到达不了的区域为盲区．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 考点02三视图
1.三视图的有关概念
（1）视图：当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的图形叫做物体的一个视图.
（2）三视图：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，
①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；
②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；
③在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.
主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
2.简单几何体的三视图
（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（2）常见的几何体的三视图：
圆柱的三视图：
3.简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
4.由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
5.作图-三视图
（1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（4）具体画法及步骤：
①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．
要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．
题型01平行投影
【典例1】（24-25九年级上·山西晋中·期末）成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速．”希望小组开展了运用阳光下的影长测量学校内旗杆高度的实践活动．小组内同学进行了如下操作：如图，同一时刻在阳光照射下，旗杆的影长，小明的影长，已知小明的身高，则旗杆的高为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用和平行投影，解题的关键是根据相似三角形的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等．
设该旗杆的高度为，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有，然后解方程即可．
【详解】解：设该旗杆的高度为，
根据题意，得，
解得：．
即该旗杆的高度是 ．
故答案为：．
【变式练习】
1．（2025·河南周口·二模）下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、C进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对B、D进行判断．
【详解】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；
B、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以B选项错误；
C、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以C选项错误．
D、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项正确；
故选：D．
2．（2025·河北唐山·三模）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查相似的应用，根据台阶在地面上的影子及树梢的影子落在台阶上包含端点取极值分别计算找出范围即可．
【详解】解：
如图，令延长光线可与交于点，过台阶交点与垂直于点，由平行光可知，
，
当的影子落在左边端点时，
，
，
，
当的影子落在右边端点时，
，
，
满足条件的为．
故选：C．
3．（24-25九年级上·甘肃张掖·月考）李华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树高为 米．
【答案】4.8
【分析】本题考查平行投影及相似三角形的性质．关键是理解平行投影的特点：两个物体竖直放在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，利用相似的性质求解.
利用平行投影的特征以及相似三角形的性质可求出答案．
【详解】解：假设树高为，
由题意可知：，
解得：，即树高．
故答案为：4.8．
题型02中心投影
【典例2】．（2025·贵州黔东南·三模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．利用中心投影，过作轴于，交于，证明，，然后利用相似比可求出结果．
【详解】解：过作轴于，交于，如图，
，，．
，，，轴，
，，
，，
，
，
；
故答案为：12．
【变式练习】
4．（2026·四川成都·一模）如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射正下方的球，当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是（ ）
A．不变B．变小C．变大D．先变小，再变大
【答案】C
【分析】此题主要考查了中心投影的性质，中心投影的性质：等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短．
根据中心投影的特点即可得出答案．
【详解】解：当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大，点光源离物体越远，影子越小．
即当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是变大．
故选：C．
5．（25-26九年级上·广东深圳·期中）一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心投影下的相似性质，解题的关键是确定对应线段的相似比．
【详解】解：由中心投影的性质，对应线段的比相等，即．
已知，，则相似比为；
又，故．
故选：C．
6．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ．
【答案】80
【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，证明，推出，构建方程求出EF即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：80．
题型03投影的有关计算
【典例3】（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明．
(1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子；
(2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度．
【答案】(1)见解析
(2)灯泡离地面的高度为
【分析】本题考查投影，相似三角形的应用．
（1）连接并延长，与的交点即为点P，连接并延长交地面于点Q，即为的影子；
（2）证明，根据对应边成比例列方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图，点为灯泡，线段为小明的影子．
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴灯泡离地面的高度为．
【变式练习】
7．（2025·江西九江·模拟预测）如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上．
(1)请在图中画出路灯灯泡P的位置；
(2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息：
①求与四边形的面积比．
②求灯泡P距离地面的高度．
【答案】(1)作图见解析
(2)①；②米
【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据熟练掌握中心投影的定义，相似三角形判定与性质解题关键．
（1）连接、并延长，相交于点，则点即是灯泡的位置；
（2）①先证明四边形是矩形，得出，，证明，得出相似比，再利用相似三角形的性质即可求解；
②过作，则即是灯泡距离地面的高度，利用，得出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接、并延长，相交于点，
则点即是灯泡的位置；
（2）解：①∵，，
∴，
∵米，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵（米），
∴相似比为，
∴，
∴；
②如图，过作，则即是灯泡距离地面的高度，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（米），
答：灯泡距离地面的高度是米．
8．（2025·山西晋中·二模）研学实践：在“传承红色文化，弘扬革命精神”的主题研学实践活动中，某中学数学社团的师生们怀着崇敬的心情，专程前往山西省阳泉市狮脑山的百团大战纪念馆开展实地研学，在参观结束后，同学们利用测量工具测量了百团大战纪念碑的相关数据．
数据采集：在阳光下，小华在纪念碑的影子顶端处竖立一根标杆，的影长，标杆，然后在纪念碑影子上的处安装测倾器，测得纪念碑顶端的仰角为，量得，．
数据应用：已知图中各点在同一竖直平面内，点，，，在同一水平直线上．请根据上述数据，计算百团大战纪念碑顶部点到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，）
【答案】点到地面的距离约为
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，解一元一次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
过点作于点，根据矩形的性质得、，利用设、，先证得，可得，把各个值代入得，解方程，通过即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点．
∵由题意得，四边形是矩形， ∴，．
在，，，
∴，
∴．
设，，
∴，，，
∵太阳光线是平行的，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴解得：．
∴．
答：点到地面的距离约为．
9．（2025·河北沧州·模拟预测）光伏发电是将太阳光能转化为电能的清洁、安全，可再生的发电方式，嘉嘉发现家乡有光伏发电试点，如图1，她据此作出如图2所示的示意图，其中为地面，为相邻的太阳能光伏板横截面，测得米，到地面的距离米，到地面的距离米，米，此时垂直立于地面的1米的杆的影长为0.65米．（参考数据：）
(1)太阳能光伏板垂直于太阳光线时太阳能利用率最高，通过计算确定此时太阳能利用率是否最高；
(2)通过计算确定此时太阳能光伏板是否遮挡了．
【答案】(1)此时太阳能利用率不是最高，理由见解析
(2)此时太阳能光伏板没有遮挡，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形，平行投影，掌握同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例且方向相同是解答本题的关键．
（1）分别求出，，即可得出结论；
（2）过点作交所在直线于点，根据平行投影的性质得，求出米，根据求出米，求出米，即可得出结论．
【详解】（1）
∵垂直于太阳光线时
此时太阳能利用率不是最高
（2）过点作交所在直线于点
∴米
米
米
∴米
米，
此时太阳能光伏板没有遮挡
题型04简单几何体的三视图
【典例4】（2025·陕西渭南·一模）机械工业是国民经济发展的基础性和战略性产业．右图是一个机械零部件的示意图，其俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看得到的图形即可得出结果，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键．
【详解】解：由图可得，该图形的俯视图为：
故选：D．
【变式练习】
10．（25-26九年级上·江苏南通·期末）下列几何体的俯视图是三角形的是（ ）
A．圆柱B．三棱柱
C．正方体D．圆锥
【答案】B
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的画法和形状是解题的关键．
根据圆柱、圆锥、三棱柱、正方体的俯视图的形状进行判断即可，理解视图的定义．
【详解】解：圆柱体的俯视图是圆形，
三棱柱的俯视图是三角形，
正方体的俯视图是正方形，
圆锥的俯视图是圆形，
所以俯视图是三角形的几何体三棱柱．
故选：B．
11．（2025·陕西汉中·一模）我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，它的示意图如图所示，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形成为解题的关键．
根据主视图是从正面看到的图形即可解答．
【详解】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为
．
故选：C．
12．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）三视图中的三个视图完全相同的几何体可能是 （写出一个即可）.
【答案】球（答案不唯一）
【分析】本题考查了三视图的知识，常见的三视图相同的几何体的名称要掌握．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．据此解答即可．
【详解】解：球的三视图都是圆，正方体的三视图都是正方形，
∴三视图中的三个视图完全相同的几何体可能是球、正方体等，
故答案为：球（答案不唯一）．
题型05简单组合体的三视图
【典例5】（25-26九年级上·山东济宁·月考）在2025年11月举行的第十五届全运会上，山东省代表团获得金牌数和奖牌数双第一，实现了全运会历史上金牌数和奖牌数的五连冠！全运会的领奖台可以近似地看成如图所示的立体图形，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，即可得出答案．
【详解】解：全运会的领奖台的左视图是
故选：C．
【变式练习】
13．（2026·陕西·一模）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查几何体的俯视图(从上方往下看得到的视图)，解题核心是判断从上方观察该几何体时，可见的棱的绘制规则．
【详解】解：∵该几何体从上方看是一个被竖线分割的矩形；
∴分割的竖线是可见的棱，需画成实线(若为不可见的棱才画虚线)；
结合选项特征，匹配的正确答案为选项C．
故选：C．
14．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查三视图，根据主视图是从正面看到的图形，进行判断即可．
【详解】解：由图可知：主视图为：
故选：B．
15．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图的画法是解题的关键．根据几何体的主视图的含义可直接进行判断．
【详解】解：由题意可得：该几何体的主视图为
故选：B．
题型06由三视图还原几何体
【典例6】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图是一个几何体的三视图，那么这个几何体是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．长方体D．圆柱体
【答案】B
【分析】本题考查了根据三视图判断几何体．
根据主视图和左视图可知几何体是柱体，根据俯视图可知底面为三角形，进而判断即可．
【详解】解：根据主视图和左视图可知几何体是柱体，根据俯视图可知底面为三角形，
即这个几何体是三棱柱．
故选：B．
【变式练习】
16．（2026·四川成都·一模）某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查根据三视图判断几何体．
根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形体特征进行判断即可．
【详解】
解：由于这个几何体的俯视图是“凸”形可知其底面是“凸”形，主视图和左视图都是长方形，因此这个几何体是．
故选：D．
17．（2026·江苏苏州·模拟预测）某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．球体
【答案】A
【分析】本题主要考查几何体的三视图，利用三视图推导几何体的形状是解题的关键．
通过几何体的主视图是矩形和俯视图是圆形，即可得几何体为圆柱．
【详解】解：通过几何体的主视图和俯视图，可得几何体为圆柱，
故选：A．
18．（2025·广东广州·一模）一个立体图形的主视图、左视图、俯视图完全相同，则这个立体图形可以是 ．
【答案】球体/正方体
【分析】本题主要考查由三视图确定几何体的形状，具有较强空间想象能力及对立体图形的认识成为解题的关键．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看据此即可解答．
【详解】解：一个立体图形的主视图、左视图、俯视图完全相同，则这个立体图形可以是球体（或正方体）．
故答案为：球体或正方体．
题型07由三视图判断几何体的个数
【典例7】（2025·宁夏银川·三模）用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最少由个小立方体搭成，则的值为（ ）
A．8B．9C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了小立方体堆砌而成的几何体的三视图，正确记忆相关知识点是解题关键．
根据主视图和俯视图可确定中间一列为右边一列的小立方块数量，最少情形下左边一列底层有3个小立方块，上面一层有1个小立方块，然后即可求解．
【详解】
解：根据主视图和俯视图可确定中间一列为右边一列的小立方块数量，最少情形下左边一列底层有3个小立方块，上面一层有1个小立方块，如图所示是最少的一种情形下每个位置的小立方块数，
∴，
故选：B．
【变式练习】
19．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【答案】B
【分析】本题考查由三视图判断几何体．熟练掌握俯视图确定位置，主左视图确实个数，是解题的关键．
根据俯视图确定位置，左视图确实个数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：几何体每个位置上的小正方体的个数最多时，如图所示：
小正方体的个数为：．
故选：．
20．（2026·江西·模拟预测）如图所示的几何体由7个相同的小正方体搭成，添加若干个相同的小正方体使其主视图和俯视图都不变，则搭法一共有（ ）
A．9种B．8种C．7种D．6种
【答案】B
【分析】本题主要考查了学生对三视图的掌握和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
根据“主视图和俯视图都不变”，画出所有可能的结果即可得答案．
【详解】解：题中几何体的主视图和俯视图如图(1)所示，要使其主视图和俯视图都不变，添加小正方体的方法如图(2)~图(9)所示(图(5)中有9个小正方体，图(8)中有10个小正方体)，一共8种．
21．（23-24九年级下·四川成都·月考）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图、俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块至少有 个．
【答案】9
【分析】本题主要考查了由小正方体堆砌成的几何体的三视图，根据主视图和俯视图可知在俯视图分为三行三列，分别确定对应位置最小的小立方块数量即可得到答案．
【详解】解：根据主视图和俯视图可知在俯视图分为三行三列，从左边数第一列其中一行必须有2个小正方形，剩下的两行最少有1个小正方形，中间一列只有中下两层有小正方形，且其中一行必须有2个小正方形，另外一行最少有1个小正方形，第三列下面一层有1个小正方形，
∴这个几何体的小立方块至少有个，
故答案为：9．
题型08堆砌的小正方体有关计算
【典例8】（2025·山东青岛·一模）图1是俄罗斯方块游戏中的五种基本图案，每个小正方形的边长均为1，从若干个这些图案中选取3个进行拼合（同一种图案最多取2个），所拼成图形的周长最小是 ；图2是五种基本组合体，每个小立方块的棱长均为1，从若干个这些组合体中选取3个进行拼合（同一种组合体最多取2个），所拼成立体图形的表面积最小是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三视图的相关计算，解题关键是优先选择能形成大块连续图形的组合，减少外露边数．
周长计算原则：拼合图形时，相邻小正方形的边数越多，周长越小；
最优拼合策略：优先选择能形成大块连续图形的组合，减少外露边数．
【详解】解：图1：
第一个图案“直线” 型：通过平移线段，可将其周长看作一个长为4，宽为1的长方形的周长，根据长方形周长公式，（a为长，b为宽），可得周长；
第二个图案“Ｚ” 型：同样平移线段，可看作长3，宽2的长方形周长，；
第三个图案“田”型：可看作长2，宽2的正方形周长，，
第四个图案“Ｌ”型：可看作长3，宽2的长方形周长，；
第五个图案“Ｔ” 型：可看作长3，宽2的长方形周长，；
重合的越多，拼成图形的周长越小，一个 “直线” 型和两个“田”型拼成的图形如图所示，
，
周长为：最小；
图2：重合的越多，所拼成立体图形的表面积越小，
两个 “L”一个 “田”一共个方块，画出图应该是的立方体，表面积为．
【变式练习】
22．（2025·河北唐山·二模）如图是一个已知表面积大小的长方体（长、宽、高均不相等，且长度未知），由8个大小相同的这种长方体搭成的几何体中，能求得其表面积的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查长方体表面积的计算以及对组合体表面积的分析求解能力．
【详解】设小长方体的长、宽、高分别为（ ），已知单个小长方体表面积．
A：该组合体表面积．由，可进而求出．
B：该组合体表面积 ，仅知道 ，无法由确定．
C：该组合体表面积 ，仅根据 ，不能求出．
D：该组合体表面积 ，仅由 ，无法得出．
故选：A．
23．（2024·山东日照·二模）如图，某校国旗旗杆的底座由棱长为米的正方体砖砌成，现要把露出的表面漆成绿色，漆匠师傅报价是每平方米需成本及人工费共元，油漆完工后，应付给漆匠师傅（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】C
【分析】本题考查了组合几何体的表面积，分别求出每一次的表面，相加求出总的表面积，再乘以单价即可求解，正确求出几何体的表面积是解题的关键．
【详解】解：由图可得，最上层侧面积为平方米，上表面面积为平方米，总面积为平方米；
中间一层侧面积为平方米，上表面面积为平方米，总面积为；
最下层侧面积为平方米，上表面面积为平方米，总面积为平方米；
∴需要涂上颜色部分的面积为平方米 ，
∴油漆完工后，应付给漆匠师傅元，
故选：．
24．（2025·山东青岛·二模）如图，由棱长为小正方体组成的立体图形，阴影部分是空缺的通道（一直通到对面，通道孔完全相同），这个立体图形由 个小正方体组成，这个立体图形的表面积（含通道内壁表面积）是 ．
【答案】 38 126
【分析】本题考查了正方体及其表面积．由题意，阴影部分是空缺的通道，一直通到对面，即中间有重复，因此可分层计数，从前往后分为4层，画出每层的示意图进行计数即可．
【详解】解：从前层到后层有小正方体
（个）；
这个立体图形的表面积（含通道内壁表面积）是
．
故答案为：38；126．
题型09由三视图求侧面积或表面积
【典例9】（2024·广东广州·三模）一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】此题主要考查了由三视图判断几何体，圆锥的计算，根据已知得母线长，再利用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．
根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积，相加即可得出该几何体的全面积．
【详解】解：由图示可知，该几何体是圆锥，圆锥的高为，底面圆的直径为，
圆锥的母线为：，
圆锥的侧面积为：，
底面圆的面积为：，
该几何体的全面积为：．
故答案为：．
【变式练习】
25．（2025·广东广州·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的表面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键．
首先判断该几何体的形状，然后根据其尺寸求得其侧面积和底面积，则表面积可求．
【详解】解：观察三视图发现该几何体为圆锥，
其底面直径为，母线长为，
所以其侧面积为：，底面积为：，
所以全面积为：．
故答案为：．
26．（2025·山东青岛·模拟预测）如图是一个机器零件的三视图，它的主视图是等腰三角形，则这个零件的表面积为 ．
【答案】544
【分析】本题考查了三视图，勾股定理，等腰三角形的性质，先认真分析和观察三视图得出这个几何体是倒放的三棱柱，再算出，（等腰三角形的三线合一），结合三棱柱的表面积等于两个三角形面积和三个长方形的面积，即可作答．
【详解】解：如图所示：
结合一个机器零件的三视图，得出这个几何体是倒放的三棱柱，
结合左视图得出主视图的等腰三角形的高是，
则，（等腰三角形的三线合一）
∴，
则，
故答案为：544．
27．（2025·湖北·一模）如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位：)．这个几何体的名称是 ；根据图上的数据，计算这个几何体的表面积为 （结果保留）．
【答案】 圆锥
【分析】本题主要考查圆锥、扇形的面积问题，解题的关键是掌握扇形的面积公式． 根据三视图即可得出该几何体是圆锥体；根据圆锥体的表面积公式计算即可．
【详解】解∶根据题意，得∶底面圆周长为，底面圆面积为，
∴，
∴ ，
故答案为∶．
题型10画三视图
【典例10】（24-25九年级下·河北秦皇岛·月考）如图1是由9个大小相同的小正方体组成的几何体．
(1)在图2和图3中分别画出图1所示几何体的主视图和俯视图；
(2)若从图1所示几何体中拿走n块小正方体后，左视图没有发生变化，则n的最大值是_______．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】此题主要考查简单组合体的三视图；．解题的关键是熟知三视图的定义．
（1）根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案
（2）根据题意可以拿走第二列和第三列以及第4列中的1个，根据俯视图画出能拿走的小正方体，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示，
，
故答案为：．
【变式练习】
28．（2025·广东江门·一模）（1）如图是由几个小方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．

（2）如图，画出以O为位似中心，把放大两倍后的三角形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了画几何体的三视图、画位似图形，正确作图是解题的关键．
（1）根据题意分析可知，主视图的左边有3个小正方形，中间有4个小正方形，右边有2个小正方形；左视图的左边有4个小正方形，右边有2个小正方形，即可画出图形；
（2）分两种情况讨论：①和在点O同侧；②和在点O两侧，分别画出顶点关于点O位似的对应点，再顺次连接即可得到．
【详解】：（1）如图所示，主视图和左视图即为所求：

（2）①若和在点O同侧，如图所示，即为所求：

②若和在点O两侧，如图所示，即为所求：

29．（2024·浙江宁波·模拟预测）在一次数学综合实践活动中，需要制作如图所示的零件（长方体和圆锥的组合体），为此方方同学画出了该零件的三视图．
(1)请问方方所画的三个视图是否有错？如有错，请将错的视图改正．
(2)根据图中尺寸，求出其体积．（注：长方体的底面为正方形，单位：，结果保留一位小数）
【答案】(1)有错，见解析
(2)
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图求几何体的体积，解题的关键是熟练掌握几何体的三视图的定义．
（1）根据几何体的三视图的定义及其画法进行判断即可；
（2）根据三视图结合长方体的体积公式和圆锥的体积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：方方所画的三个视图中左视图错了，
正确的为：
（2）解：
，
答：其体积为．
30．（2024·内蒙古赤峰·二模）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示：
(1)这个几何体是由_________个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图；
(2)如果在这个几何体露在外面的表面（不含底面）喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需_________克漆；
(3)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加________个小正方体．
【答案】(1)10，见解析
(2)64
(3)4
【分析】本题考查作图三视图，解题的关键是理解题意，学会正确作出三视图．
（1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可；
（2）求出表面积，不含底面，即可求出需要漆的质量；
（3）从俯视图上相应位置增加小立方体，使左视图不变，确定添加的数量．
【详解】（1）由图可知小正方形的个数为：，
这个几何体的主视图、左视图、俯视图的形状图如下：
故答案为：10；
（2）解：（克），
故答案为：64；
（3）解：在俯视图的相应位置上，添加小正方体，使左视图不变，添加的位置和最多的数量如图所示：
因此最多可添加4块．
故答案为：4．
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【错因】画三视图时，轮廓线的虚实没有画对
【避错关键】关于三视图中轮廓线虚实画错的问题，这是一个非常核心且常见的制图规范。要解决这个问题，关键在于理解 “可见性”。 实线：表示从当前视角看，是可见的轮廓线或交线。 虚线：表示从当前视角看，是被遮挡的、不可见的轮廓线或交线。 点划线：表示中心线或对称轴线。
【典例】
1．（2026·山东临沂·模拟预测）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，由六根木条组合而成，是中国先辈的智慧结晶．其中一根如下图，则该零件的主视图为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了几何体的三种视图和空间想象能力，正确掌握观察视角是解题的关键．
根据主视图是从正面看到的图形进行判断即可．
【详解】解：A、是俯视图，故选项不符合题意；
B、不是本零件的三视图，故选项不符合题意；
C、是左视图，故选项不符合题意；
D、是主视图，故选项符合题意；
故选：D．
2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，要包含所有能从上面看到的棱.
【详解】解：从上面看该几何体，所看到的图形是长方形，中间有一条实线.
故选：C．
3．（2025·安徽·模拟预测）如图是一个机械零件示意图，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】该题考查了三视图，根据左视图的定义解答即可．
【详解】
解：观察图形可知，零件的左视图是．
故选：B．
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【错因】求几何体的表面积时，漏掉部分面
【避错关键】由三视图求几何体的表面积，实际上是：
由主视图、左视图、俯视图（通常是长方体和它的变形组合或挖切）想象出立体形状；
分析这个几何体由哪些基本面（平面或曲面）组成；
分别计算各个面的面积，相加得到总表面积。
【典例】
4．（2024·湖南·模拟预测）一个空间几何体，主视图是一个圆，左视图和俯视图都是边长为2的正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆柱体的表面积问题，掌握圆柱表面积的求法是解题的关键．
由三视图可知，该几何体为圆柱，再求圆柱表面积即可．
【详解】根据三视图可得几何体为圆柱，该圆柱底面半径，高，
所以，，
则这个几何体的表面积为．
故答案为：C．
5．（2024·山东临沂·模拟预测）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了几何体的三视图，圆柱体的表面积，由三视图，其表面积外侧面积内侧面积上下底面积，据此计算即可求解，由三视图得出圆柱体的直径和高是解题的关键．
【详解】解：由三视图可知该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是，内圆直径是，高是，
∴空心圆柱体的表面积为，
故选：．
6．（2024·山东济宁·模拟预测）如图， 是一个几何体的三视图， 那么这个几何体的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查三视图，求圆锥的表面积，根据三视图可知立体图形为底面圆半径为3，高线为4的圆锥，根据圆锥的表面积的计算公式进行求解即可．
【详解】解：由图可知：立体图形为底面圆半径为3，高线为4的圆锥，
∴母线长为，
∴表面积为：；
故选C．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点03影子落在斜坡或墙壁上的计算
【错因】 当物体的影子落在墙壁上或斜坡上时计算错误
【避错关键】影子落在水平地面、斜坡还是墙壁上常见的解题思路：
精确建模，画出示意图，画出代表光源（如太阳光）方向的平行光线。
寻找关键几何关系 地面投影模型：最基础。物体、影子末端、光线构成一个直角三角形。
斜坡/墙壁模型：通常需要构造辅助三角形，将问题转化为基础模型。 核心是寻找相似三角形 或利用 三角函数建立数学关系式.
【典例】
7．（2023·青海西宁·模拟预测）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查投影的性质，相似三角形的应用，掌握投影的性质的实际运用，相似三角形的应用等知识是解题的关键．根据题意，投影的性质，如图所示，设树的高为，可得四边形是矩形，，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据题意，画图如下，过作于，
竹竿长，竹竿的影长为，树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，
设树的高为，
∵，在同一条直线上，
∴四边形是矩形，则，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴树的高度为．
故答案为：
8．（2025·广东肇庆·三模）如图所示，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处．若测得台阶，且，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树高AB为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可．
【详解】解：作于，于，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
由题意得，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（2024·广东·二模）阳光下，电线杆落在一段斜坡和水平地面上的影子分别是和，小亮量得，斜坡的坡度为，小亮的身高，此时他在水平地面上的影子长为，求电线杆的长度（结果保留根号）．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质和判定，三角函数，相似三角形的应用，利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即在同一时刻物高与影长的比相等．过点D作交的延长线于点E，于F， 根据坡度的定义可得，再根据三角函数可得，再根据相似三角形的性质可得，即可得解．
【详解】解：过点D作，交的延长线于点E，于F， 则，
四边形为矩形，
，
在中，斜坡的坡度为，
则，
，
，，
，
∵小亮的身高，此时他在水平地面上的影子长为，
，
，
，
答：电线杆的长度为．
10．（2024·广东·模拟预测）如图，身高1.5米的小明在太阳光下的影子长1.8米，此时，立柱的影子一部分是落在地面的，一部分是落在墙上的．若量得米，米，求立柱的高．
【答案】2.5米
【分析】本题考查了平行投影以及相似三角形的应用，过点D作交于H，过点作，交于点，根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：如图，过点D作交于H，过点作，交于点，则四边形是平行四边形，即米，
可得：，
，
，
米，
（米，
故立柱的高为2.5米．
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【典例】
1．（2025·青海西宁·二模）如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体的侧面积是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了三视图，几何体侧面积的计算，解题的关键是根据三视图想象出该几何体的形状，由三视图可知，该几何体是一个圆锥，根据圆锥的侧面积公式求解．
【详解】解：由三视图可知，该几何体是一个圆锥，且底面圆的半径是，母线长是，
底面的周长是，
侧面积为：，
故选B．
2．（2025·陕西·模拟预测）如图是一个正三棱柱，作出它的三视图，则这个正三棱柱的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据三视图求几何体的体积，勾股定理，等边三角形的性质，由三视图得到正三棱柱的底面为等边三角形，等边三角形的高为，正三棱柱的高为，根据正三棱柱的体积为底面积乘以高，进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，由题意可得，正三棱柱的底面为等边三角形，过作于点，
∴，
∴，
∴，即等边三角形的高为，
∴这个正三棱柱的体积是，
故选：．
3．（2025·宁夏银川·二模）随着户外露营的兴起，人们对户外帐篷的需求也越来越大．某工厂要制作一批无底帐篷，如图为 设计师设计的帐篷三视图，则该帐篷所需布料的面积为 （结果保留，门也用布料制作 ，接口处损耗不计）．
【答案】
【分析】本题考查了由几何体的三视图确定该几何体的形状，几何体的表面积，根据题意列出算式，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：该帐篷所需布料的面积为，
，
故答案为：．
4．（2025·广东东莞·一模）如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了俯视图，勾股定理，等腰直角三角形性质，解题的关键在于根据题意得出为等腰直角三角形．根据题意得到为等腰直角三角形， 设，进而得到，再结合建立等式求解，即可解题．
【详解】解：由题意得，
即为等腰直角三角形，且，
设，则，
，
解得，
则图中线段的长度为，
故答案为：．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧02：由三视图推断几何体中小正方体的个数
【典例】
5．（2024·山西太原·模拟预测）如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数至少是（ ）
A．8个B．7个C．6个D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出第二层的个数，从而算出总的个数．
【详解】解：由俯视图可得最底层有5个小正方体，第二层最少有2个小正方体，则组成这个几何体的小正方体至少为个．
故选：B．
6．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体从正面看与从上面看到的形状图，根据图形可以判断组成这个几何体最多要 个小立方块．
【答案】16
【分析】本题考查了由从不同方向看到的形状图来判断最多或最少得正方体的个数，由从上面看到的形状图可以判断底面小正方体的个数，由正面看到的形状图可以判断第二层和第三层小正方体的个数，进而计算作答即可．
【详解】解：由从上面看到的形状图可知，组成这个几何体的底面小正方体有7个，由从正面看到的形状图可知，第二层最少有2个，最多有6个；第三层最少有1个，最多有3个，
∴组成这个几何体最多要：个小立方块，
故答案为：16．
7．（2025·山西·模拟预测）如图是由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，则组成该几何体的小正方体的个数是 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图可以确定几何体的层数，根据俯视图可确定下面一层的小正方体个数，根据左视图可确定上面一层小正方体的个数，据此可得答案．
【详解】解：由主视图可知该几何体分为上下两层，由俯视图可知，该几何体下面一层有2个小正方体，由左视图可知，该几何体上面一层有2个小正方体，
∴该几何体一共有6个小正方体，
故答案为：6．
8．（2024·黑龙江绥化·一模）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是 个．
【答案】4
【分析】本题考查了根据几何体的三视图判断组成几何体的小正方体的个数，关键是根据主视图和左视图确定组合几何体的层数和列数，先根据主视图和左视图得出该几何体为两层三列，再确定每层的最少个数即可．
【详解】由几何体的主视图和左视图可知，该几何体为两层三列，
最低层最少为个，第二层为1个，
如图（一种最少的情况的俯视图）：
∴最少由4个小正方体组成，
故答案为：4．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧03：由俯视图中所标数字推断主视图或左视图
【典例】
9．（2021·山东泰安·中考真题）如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接从左边观察几何体，确定每列最高的小正方体个数，即对应左视图的每列小正方形的个数，即可确定左视图．
【详解】解：如图所示：从左边看几何体，第一列是2个正方体，第二列是4个正方体，第三列是3个正方体；因此得到的左视图的小正方形个数依次应为2,4,3；
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，要求学生理解几何体的三种视图并能明白左视图的含义，能确定几何体左视图的形状等，解决本题的关键是牢记三视图定义及其特点，能读懂题意和从题干图形中获取必要信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法，对学生的空间想象能力有一定的要求．
10．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后一排2个正方形，第2列只有后排1个正方形，第3列只有后排1个正方形，据此可得左视图．
【详解】解：由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后一排2个正方形，第2列只有后排1个正方形，第3列只有后排1个正方形，
所以从左面看到的这个几何体的形状图是：
故选：B．
11．（24-25九年级上·山东淄博·期末）下面的两幅图是由若干个同样大小的正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的正方体的个数，请画出相应几何体的主视图和左视图．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据所给的俯视图画出图形即可．
【详解】解：根据俯视图（），和（）可知
（）主视图第一列有个，第二列有个，左视图第一列有一个，第二列有个；
（）主视图第一列有个，第二列有个，左视图第一列有个，第二列有个；
．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧04：利用平行投影或中心投影构建相似三角形解决问题
【典例】
12．（2023·广东广州·模拟预测）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的影子为，与此同时在处立一根标杆，标杆的影子为，，．

(1)求的长；
(2)从条件、条件这两个条件中选择-一个作为已知，求旗杆的高度．
条件：；条件：从处看旗杆顶部的仰角为．
注：如果选择条件和条件分别作答，按第一个解答计分．参考数据：，，．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据题意即可求解；
（）若选择条件：根据同一时刻物高与影长成正比进行计算即可求解；若选择条件：过点作，垂足为，则，，解可得，再根据线段的和差关系即可求解；
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，投影的性质，掌握投影的性质及解直角三角形的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴的长为；
（2）若选择条件：由同一时刻物高与影长成正比得，，
∴，
∴，
∴旗杆的高度为；
若选择条件：过点作，垂足为，

则，，
在中，，
∴，
∴，
∴旗杆的高度约为．
13．（2024·浙江杭州·三模）如图，广场上有一盏高为的路灯，把灯O看作一个点光源，身高的女孩站在离路灯的点B处．图2为示意图，其中于点A，于点B，点O，C，D在一条直线上，已知．

(1)求女孩的影子的长．
(2)若女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（取3.14）
【答案】(1)女孩的影子的长为1米
(2)平方米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
（1）根据相似三角形的判定和性质定理得到的长，即可得出答案．
（2）根据圆的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴米，
答：女孩的影子的长为1米；
（2）解：∵女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），
∴人影扫过的图形的面积平方米．
14．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）周末清晨，小敏和父亲来到家附近的河堤散步，如图，梯形是露在地上的河堤一部分，河堤的一侧有一棵树，小敏想测量这棵树的高度．她和爸爸查询资料得知，河堤两侧的坡度，．某一时刻，在太阳光的照射下，树的影子一部分落在地面处，一部分落在斜坡处，M刚好是的中点，同时，小敏观察到此刻太阳光线与斜坡面所在的直线平行，经测量坡面米，米，请你帮小敏求出树的高度．（参考数据：，结果保留整数）
【答案】16米
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出的长是解题关键．过点M作垂足为点H，过点M作垂足为点Q，再过点E作垂足为点G，并连接．直接利用同一时刻影子长与其高度成正比，得出，进而求出的长，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点M作垂足为点H，过点M作垂足为点Q，再过点E作垂足为点G，并连接．
∵M为边中点，且，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵太阳光线与斜坡面所在的直线平行，
∴，
∴．
又∵，
即，
∴
∴
答：大树的高约为16米．
15．（2024·广西·三模）综合与实践．
现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．已知灯柱，在灯柱上有一盏路灯 P，在路灯下，人站在点 D和点 G的位置都有影子，B、D、G三点在同一水平线上．根据上述内容，解答下列问题：
(1)已知人站在点D时路灯下的影子为DE，请画出路灯P及人站在点 G时路灯下的影子；
(2)如图， 若身高为1.7米的小明站在点D影长为， 沿方向走到点 G， ， 此时影长为， 求路灯 P到地面的高度；
【答案】(1)见解析
(2)路灯P离地面的高度为
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用以及中心投影的性质：
（1）利用中心投影的性质进而得出P点和H点位置；
（2）利用相似三角形的判定与性质得出，同理可得，进而得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，点P、线段即为所求，
延长于点P，找到路灯 P 的位置，连接并延长，交射线于点H，即为人在路灯下的影子．
（2）解：∵，
∴，
即 ①
∵，
∴，
即 ②
由①②得
解得
解得．
答：路灯P离地面的高度为．
16．（2024·山西忻州·三模）坐落于太原市龙潭公园大鼎广场的春秋大鼎是中共太原市委、市政府为纪念太原建城2500周年而铸造的，重20.03吨，意为此鼎于2003年铸成、某中学甲、乙两个学习小组决定用自己学到的知识测量春秋大鼎的高度、他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实际测量．
方案一：某一时刻，甲小组测得身高的组员的影长为，同一时刻，春秋大鼎的影长为．
方案二：如图，乙小组在C处测得大鼎顶部B的仰角为，然后后退在D处测得大鼎顶部B的仰角为．
(1)根据方案一可以计算出春秋大鼎的高度约为 ；（结果精确到）
(2)请你根据方案二中乙小组提供的数据，计算春秋大鼎的高度；
(3)比较甲、乙两个小组的测量结果，谈谈在实际测量的过程中有哪些措施可以减小测量数据产生的误差？（写出一条即可）
【答案】(1)5.50
(2)春秋大鼎的高度约为
(3)见解析
【分析】此题考查了平行投影，解直角三角形的实际应用，正确理解图形，正确掌握各三角函数的计算公式是解题的关键．
（1）根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论；
（2）延长，交于点P．在和利用三角函数的定义计算即可求解；
（3）合理即可．
【详解】（1）解：设春秋大鼎的高度为，由题意得，
解得
故答案为：；
（2）解：如图，延长，交于点P．
∵，，，
∴四边形、四边形、四边形都是矩形，
∴，．
设，则．
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
解得．
答：春秋大鼎的高度约为；
（3）解：在实际测量的过程中，多次测量求平均值可以减小测量数据产生的误差．（答案不唯一）
一、单选题
1．（2025·天津·一模）图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图成为解题的关键．
确定从正面看到的图形即可解答．
【详解】解：从正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为1、1、3．
故选：A．
2．（2025·安徽淮南·二模）如图是由四个同样大小的正方体搭建的几何体，下列结论正确的是（ ）
A．它的主视图和左视图相同B．它的主视图与俯视图相同
C．它的主视图、左视图和俯视图都相同D．它的主视图、左视图和俯视图互不相同
【答案】D
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，据此结合图形画出对应的三视图即可得到答案．
【详解】解：该几何体的三视图如下所示：
∴它的主视图、左视图和俯视图互不相同，
故选：D
3．（2025·河北邯郸·三模）如图1，某小区内有一条笔直的小路，路的旁边有一盏路灯，图象（图2）表示小红晚上在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的关系，则小红的行走过程是（ ）
A．由A走向D，再走回AB．由B走向C
C．由A走向C，再走回AD．由C走向B，再走回A
【答案】C
【分析】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出l随s的变化规律是解决问题的关键．
根据中心投影的性质得出小红在灯下走的过程中影长随路程之间的关系，进而得出符合要求的选项．
【详解】路的旁边有一盏路灯，当小红走到灯下以前：l随s的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随s的增大而增大，
小红的行走过程是由A走向C，再走回A，
故选：C．
4．（2025·安徽淮南·一模）榫（sǔn）卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查三视图，根据左视图是从左上往右看，得到的图形，看到的部分用实线表示，看不到的部分用虚线表示进行判断即可．
【详解】解：由图可知：几何体的左视图为：
故选：B.
5．（24-25九年级下·江苏无锡·月考）太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影的长是，则皮球的直径长是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质，含角的直角三角形的性质，矩形的判定与性质，平行线的性质，平行投影，熟练掌握这些性质是解题的关键．如图，太阳光线与相切于、，过作于，连接、，，，先证为的直径，易得四边形为矩形，得，然后在中，利用含角的直角三角形的性质计算出，即可求解．
【详解】解：如图，太阳光线与相切于、，过作于，连接、，，，

∵太阳光线与相切于、，
∴，，
而，
∴，
∴点、、共线，即为的直径，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
∴，
即皮球的直径长为，
故选：B．
6．（2025·广东深圳·模拟预测）一个几何体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个几何体的侧面积是（ ）
A．32B．16C．D．8
【答案】C
【分析】本题考查了根据三视图求面积、正方形的性质；观察该几何体及其三视图可知，该几何体为底面是正方形的长方体，且正方形的对角线长为2，该长方体的高为3，进而求得侧面积，即可求解．
【详解】解：观察该几何体及其三视图发现，该几何体的底面是正方形，且对角线长为2，该长方体的高为3，
∴正方形的边长为，
故其侧面积为．
故选：C．
7．（2023·广东东莞·模拟预测）一个物体由很多个体积为1的小正方体拼接而成，其三视图如下．这个物体的体积最小是多少？（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】本题考查由三视图判定几何体的形状，从三视图确定组成物体的小正方体的个数，即可解答．
【详解】解：从三视图可得该物体有两层，下层有两排，前排有2个小正方形，后排有3个小正方形，上层有1个小正方形，这个物体最少由6个小正方体组成，故体积最少为6．
故选：A．
8．（2025·河北邯郸·三模）图-1所示的几何体由若干个相同的小正方体搭成，拿走若干个小正方体后，该几何体的主视图如图-2所示，则拿走的小正方体的个数至少是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解主视图的定义并能据此分析几何体的构成．
通过分析原几何体和主视图的特征，确定需要拿走小正方体的位置和数量，从而得出至少拿走的个数．
【详解】如图所示，
拿走若干个小正方体取后，该几何体的主枧圈如图2所示，则至少拿走标有、、、的小正方体，
所以拿走的小正方体的个数至少是4个．
故选：C．
9．（2025·广东深圳·二模）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（ ）
A．越来越大B．影子不是直角三角形
C．影子越来越小D．影子越来越大
【答案】D
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质．
利用位似图形的性质逐项进行判断即可．
【详解】解：A、根据位似图形的性质可得，，大小始终保持不变，该选项错误，故不符合题意；
B、根据位似图形的性质可得，影子是直角三角形，该选项错误，故不符合题意；
C、 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项错误，故不符合题意；
D、根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项正确，故符合题意；
故选：D．
10．（2025·广东广州·一模）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可．
【详解】解：作，，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
由题意得，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题
11．（23-24九年级下·河南南阳·月考）在同一时刻，个子低的小颖比个子高的小明身影长，那么他们此刻是站在 光下(填“灯”或“太阳”)．
【答案】灯
【分析】本题主要考查了中心投影和平行投影，熟练掌握中心投影和平行投影的特点是解题的关键．
【详解】解：在灯光下，离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长；而在同一时刻的太阳光线下，身高与影子长比例一定，由于个子低的小颖比个子高的小明身影长，那么他们此刻是站在灯光下，
故答案为：灯．
12．（2025·广东广州·一模）一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆锥的计算，根据已知得母线长，再利用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积，相加即可得出该几何体的全面积．
【详解】解：由图示可知，该几何体是圆锥，圆锥的高为，底面圆的直径为，
∴圆锥的母线为：，
∴圆锥的侧面积为：，
底面圆的面积为：，
∴该几何体的全面积为：．
故答案为．
13．（23-24九年级下·湖南娄底·期中）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆长米，它的影长是3米，同一时测得是274米，则金字塔的高度是 米．
【答案】
【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，物高与影长对应成比例，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
即：，
∴；
故答案为：137．
14．（2024·广西桂林·一模）某学校旁有一根电线杆和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知米，长方形广告牌的长米，高米，米，则电线杆的高度是 米．
【答案】//
【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作于点Q，于点P，得出四边形是矩形，由题意得，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可．
【详解】如图， 过点G作于点Q，于点P，
根据题意得出，四边形是矩形，米，
根据实际高度和影长成正比例，得出，
∴，
∴，
∴，
∴米．
故答案为：．
15．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆和一根高7米的电线杆，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子的 长为10米，落在围墙上的影子的长度为2米，而电线杆落在地面上的影子的长 为 5米，则落在围墙上的影子的长为 米．

【答案】3
【分析】本题主要考查了平行投影、矩形的判定与性质等知识点，根据平行投影的对应边成比例列出方程成为解题的关键．
如图：过点E作于M，过点G作于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式，即，然后求出即可．
【详解】解：如图：过点E作于M，过点G作于N．
由题意得：四边形是矩形，
则，，，．
∵，
∴，
由平行投影可知：，即，
解得：．
故答案为：3．
16．（2022·山东青岛·模拟预测）如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是 个．当用14个小正方体搭建这个几何体时，满足条件的几何体一共有 种摆法．
【答案】 13 14
【分析】本题考查俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，主视图第二层和第三层小正方形的个数即为其余层数小正方体的最少个数．
由俯视图易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层正方体的可能的最少个数，相加即可，再根据小正方体的个数最少的情况，判断得用14个小正方体搭建这个几何体时，只需再最少的情况中，小正方体个数为1的位置再放1个即可．
【详解】解：由俯视图易得最底层有8个正方体，由主视图第二层最少有3个正方体，第三层最少有2个正方体，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是：．
根据三视图可画图小正方体的个数最少的情况如下：
则用14个小正方体搭建这个几何体时，只需在最少的情况中，小正方体个数为1的位置再放1个即可，
∴满足条件的几何体一共有10种摆法，
也可以是这样的摆法，
则用14个小正方体搭建这个几何体时，只需再最少的情况中，小正方体个数为1的位置再放在最右边列的1个即可，
∴满足条件的几何体一共有6种摆法，其中有两种方法与第一种情况一样，
∴满足条件的几何体一共有14种摆法，
故答案为：13，14．
三、解答题
17．（2023·广东珠海·一模）一个几何体的三视图如图所示，
(1)请问该几何体名称为 ；
(2)根据图示的数据计算出该几何体的表面积．
【答案】(1)圆锥
(2)
【分析】（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都是三角形，俯视图为圆，故可判断出该几何体是圆锥；
（2）求出母线的长，根据底面积加侧面积就是表面积．
【详解】（1）解：这个几何体是圆锥；
（2）解：圆锥的母线长为，
∴，
答：这个几何体的表面积为．
【点睛】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．
18．（2023·陕西榆林·一模）如图①，大风阁是西安汉城湖的标志性建筑，取意于汉高祖刘邦的《大风歌》“大风起兮云飞扬，威加海内兮归故乡，安得猛士兮守四方”的意境．小华和晓丽在一个阳光明媚的周末去测量大风阁的高度，如图②，首先，在C处放置一面平面镜，小华沿着的方向后退，到点E处恰好在平面镜中看到大风阁顶端A的像，小华的眼睛到地面的距离米，米；然后，某一时刻大风阁在阳光下的影子顶端在M处，同时，晓丽测得小华身高的影长米，小华的身高米，米，已知，，点B、M、C、E、G在同一水平直线上，点E、D、F在一条直线上，请你求出大风阁的高度．（平面镜大小、厚度忽略不计）
【答案】64米
【分析】本题考查了平行投影，三角形相似的实际运用．由，，推出，，再由相似三角形对应边成比例求得线段的长度即可．
【详解】解：由题可得：，，，
∴，，
∴，，
∴，，
解得．
∴大风阁的高度AB为64米．
19．（2024·辽宁抚顺·三模）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，十分巧妙．如图1是一种简单的鲁班锁，由三根完全相同的四棱柱木条，挖去中间部分，使其内部凹凸啮合，组成外观严丝合缝的十字形几何体，其上下、左右、前后分别对称．
(1)图2是这个鲁班锁主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整；
(2)请从下列①，②两题中任选一题作答，我选择______题．
①已知这些四棱柱木条的高为6，底面正方形的边长为2，求这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积；
②已知这些四棱柱木条的高为3m，底面正方形的边长为a，求这个鲁班锁的表面积．（用含a的代数式表示）
【答案】(1)见解析
(2)①，这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为20；②，这个鲁班锁的表面积为
【分析】本题主要考查的是三视图，主视图的面积和组合体的表面积，
（1）按照主视图、左视图和俯视图的定义补充完整即可．
（2）①由两个长方形的面积减去重叠部分的正方形的面积即可； ②先求解从正面看到的图形的面积，再乘以6即可得到表面积，
【详解】（1）解：如图；
（2）选择①
这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为
这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为20．
②这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为；
这个鲁班锁的表面积为：．
20．（2024·浙江·模拟预测）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：

(1) __________，__________，__________；
(2)这个几何体最少由__________个小立方块搭成；
(3)请在网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图．
【答案】(1)3，1，1
(2)9
(3)见解析
【分析】本题考查简单组合体的三视图
（1）根据主视图，俯视图可直接得出a、b、c的值；
（2）在各个位置上摆放相应的小正方体，直至最少即可；
（3）在俯视图上的相应位置标注相应位置所摆放的小立方体的个数，即可画出数量最多时的左视图．
【详解】（1）解：由主视图和俯视图可知，，
故答案为：3，1，1；
（2）解：最少时，即，而e所在的“列”最少有一处为2即可，
因此，最少需要（个），
故答案为：9；
（3）解：在俯视图上的相应位置标注相应位置所摆放的小立方体的个数，数量最多时的左视图如下：
．
21．（2025·甘肃定西·三模）《元史·天文志》中记载了元朝著名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”．这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”，与现在人们所说的“北线”基本吻合，利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度．如图1，春分时，太阳光直射赤道，此时在地直立一根木杆，在太阳光照射下，木杆会在地面上形成影子，通过测量木杆与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子所成的夹角；由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所以根据太阳光与木杆所成的夹角可以推算得到地的纬度，即的大小．如图2是在地测算太阳光与木杆所成夹角的示意图，在图中作出影子；（按如下步骤作图，保留作图痕迹）．
(1)延长至点，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点；
(2)分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
(3)连接并延长，与直线交于点，则线段可以看成是木杆在地面上形成的影子．
【答案】(1)如图所示
(2)如图所示
(3)如图所示
【分析】本题考查的是依据尺规作图步骤，理解如何作出木杆影子，通过一系列作图步骤构造出与影子形成相关的几何关系，把实际“立竿测影”的情境转化为几何作图问题，利用圆规和直尺的基本作图方法来实现影子的绘制．
本题就是用尺规作图的方法，通过定长、构造交点等操作，作出符合“立竿测影”原理的影子线段，把实际测量情境转化为几何作图流程，考查对尺规基本作图和实际应用几何转化的理解．
【详解】（1）延长至点，以为圆心，任意长为半径作弧交、于、（在、上且到距离相等 ），如图所示：
（2）分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，根据“线段垂直平分线”原理，两弧交点，如图所示：
（3）连接并延长，与直线交于点，则线段可看成是木杆在地面上形成的影子，如图所示：
22．（2024·内蒙古赤峰·二模）【基础解答】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息，求立柱的长．

【拓展拔高】如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高．

【答案】立柱，古树．
【分析】本题主要考查了投影的性质，相似三角形的判定与性质，
基础解答：根据太阳光投影中，光线都是平行的，即可得，据此判定，问题随之得解；
拓展拔高：画出图形，根据光线都是平行的，根据“基础解答”的方法，同理可得：，，问题随之得解．
【详解】基础解答
如图，

∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴
解得：；
拓展拔高
如图，

根据题意有：，，，，
根据【基础解答】，同理可得：，，
∴，，
即有：，，
解得：，
即有（），
即古树．
23．（2024·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线．
(1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义．
(2)路灯的高度是____________m．
(3)设的坡角为．
①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度．
②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
【答案】(1)横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处
(2)6
(3)①线段的倾斜程度更大；②
【分析】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处；
（2）根据题意列出方程，求得路灯的高度是；
（3）①根据，得出，根据三角函数，得出，再进行比较即可；
②：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，：小明走到灯下处，到达，当取不同的值时，影长可能随的增大而增大或随的增大而减小或随的增大先增大后减小．
本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得：，
横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处．
（2）解：由题意得：，
解得：，
∴路灯的高度是，
故答案为：6．
（3）①解：∵，设直线的解析式为，
把代入，得，
∴．
为小明在坡上任意一点，
∴此时m，影长m，m，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
整理得：，
∴，
∵，
∴，
∴线段的倾斜程度更大；
②如图，
：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，则，
：小明走到灯下处，到达，则，
对应图2中曲线的起点，，表示小明的高度，
设，其中，，表示小明在间，影长，
依题意，，则
∴
又∵，
∴
∴，
∴，
同理可得
∴
由（2）可得，，
即
∴
∴
设，其中，
当接近时，，则，则随的增大而增大
当接近时，，则，则随的增大而减小，
当取不同的值时，可能出现随的增大先减小后增大．
综上所述，当取不同的值时，可能出现的情况，
故答案为：．
24．（2025·江苏盐城·二模）双目视觉测距是通过左、右两个相机从不同视角观测同一目标，计算视差（目标在左右图像中的位置差异）从而推算出目标距离的方法．
【结构认识】
如图1是双目视觉测距的平面结构图．两个相机平行放置，其投影中心点，的连线叫做基线，距离为，基线与相机的左、右投影面（两投影面的长均为）均平行，基线到投影面的距离为相机焦距，（，，是同型号双目相机中内置的不变参数），两投影中心点，分别在左、右投影面的垂直平分线上．根据光的直线传播原理，可以确定物体目标点在左、右相机的成像点分别用点，表示，，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
【概念学习】
①视差：物体目标点在左、右相机的视差．
②感应区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均能形成成像点，则该区域称为感应区．
③盲区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，物体目标点在某一盲区内）．
【原理感知】
如图3，两投影面的长均为，表示目标点到基线的距离，可证得，，可得，，，所以…（部分证明过程省略）
【灵活运用】
(1)①填空：图2中，、、、是四个目标点，除点外，盲区内还有点 ；（填字母）
②画图：请在图2中画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
(2)如图3可知，用表示为，则与的关系为．结合【原理感知】的部分内容，某双目相机的基线长为200 mm，焦距为5 mm，直接写出位于感应区的目标点到基线的距离（mm）与视差（mm）之间的函数关系式．
(3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面长为12 mm）正对天空连续拍摄时，一物体正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当刚好进入感应区时（即点P的位置），mm，当刚好经过点的正上方时，视差mm，在整个成像过程中，出现最小值 mm．
①当刚进入感光区，目标物到基线的距离m．
②小明以水平基线为轴，右投影面的中垂线为轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为．
③求物体刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
【答案】(1)①B；②见解析；
(2)；；；
(3)①25；②；③．
【分析】本题考查函数的实际问题，读懂题意找准数量关系是解题的关键．
（1）①根据“盲区”的定义作答即可；
②利用感应区的定义作图即可；
（2）根据题意用表示即可；根据【原理感知】找出相关量即可；
（3）①先求出再根据计算即可；
②先根据题意确定抛物线上点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可；
③由盲区的定义可知当M在直线的右侧时，进入盲区，利用方程组解题即可．
【详解】（1）①画出投影面边界如图所示：
由图可知除点外，盲区内还有点B，
故答案为：B
②如图所示∶
（2）如图3可知，同理可得用表示为，则与的关系为；
由图可知，
∴，
∵
∴
即
即；
故答案为：；；；
（3）①解：如图，刚好进入感应区时，
则，必有一个为0
∵
∴
此时
此时，
故答案为：25；
②， ，
可得，所在直线解析式为： ，
令， 得， 即 ．
当经过点的正上方时， 视差，此时， ，
∴抛物线与轴交点的坐标为，
即抛物线对称轴为直线，
当d出现最小值mm时，
∴抛物线顶点坐标为
设该抛物线的表达式为，
则
解得：
所以，抛物线解析式为；
③由， ，可得直线的解析式为，
得，
解得，(舍)
此时， ．
《方法技巧》
由三视图求几何体表面积(侧面积)的步骤
第1步：根据三视图确定几何体的形状；
第2步：根据三视图标注的数据计算出几何体的相关数据；
第3步：列式计算几何体的表面积、体积
《方法技巧》
求组成几何体的小正方体的个数的方法：
由俯视图可确定最底层小正方体的个数，由主视图和左视图可确定第一层（最底层）以上各层小正方体的个数.
《方法技巧》
由俯视图中所标数字推断主视图或左视图的方法
(1)由俯视图中所标数字.推断主视图时，从左向右，每一列所标数字中，最大数字就是主视图中对应每一列小正方形的个数.
(2)由俯视图中所标数宇推断左视图时，从前向后，每一行所标数字中，最大数字就是左视图中对应每一列小正方形的个数.
《方法技巧》
解决与投影有关的计算问题时，常常先利用光线、物体、水平（垂直）线等构建相似三角形，然后利用相似三角形的对应边成比例列方程解决与线段有关的计算问题..
课题
测量春秋大鼎的高度
成员
组长：×××．组员：×××，×××，×××
测量工具
测角仪，皮尺等
测量示意图

说明：AB为春秋大鼎的高度，C，D为两个测量点，为测角仪的高度，，，，D，C，A三点共线，A，B，C，D，E，F在同一平面内（结果精确到．参考数据：，）
测量数据
的度数
的度数
的高度
的长度
…
…
…
…
…