主题二 5 实验 利用单摆测定重力加速度导学案 2027届高三物理一轮复习（浙江专版）

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1.制订科学探究方案,会使用实验器材操作实验,获取数据。
2.熟练应用图像法和公式法处理实验数据。
3.能根据数据得出结论,会分析导致实验误差的原因。
一、实验目的
1.学会用单摆测量当地的重力加速度。
2.巩固和加深对单摆公式的理解。
二、实验设计
1.实验原理
当摆角很小时,单摆做简谐运动,其运动周期为T=2πlg,它与摆角的大小及摆球的质量无关,由此得到g=4π2lT2。因此,只要测出摆长l和振动周期T,就可以求出当地的重力加速度g的值。
2.实验器材
带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1 m长)、停表、毫米刻度尺和游标卡尺。
三、实验步骤
1.做单摆
在细线的一端打一个比小球上的孔径略大一些的结,将细线穿过小球上的小孔,然后把细线的上端用铁夹固定在铁架台上,并把铁架台放在实验桌边,使铁夹伸到桌面以外,让摆球自然下垂。实验装置如图。
2.测摆长
用毫米刻度尺量出摆线长l′,用游标卡尺测出小钢球直径D,则单摆的摆长l=l′+D2。
3.测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(小摆角),然后释放小球,记下单摆做30~50次全振动的总时间,算出平均一次全振动的时间,即为单摆的振动周期。反复测量三次,再算出测得周期数值的平均值。
4.改变摆长,重做几次实验。
四、数据处理
1.公式法
将测得的几组周期T和摆长l的对应值分别代入公式g=4π2lT2中算出重力加速度g的值,再算出g的平均值,即为当地重力加速度的值。
2.图像法
由单摆的周期公式T=2πlg可得l=g4π2T2,因此以摆长l为纵轴、以T2为横轴,作出的l-T2图像是一条过原点的直线,如图所示,求出斜率k,即可求出g值。k=lT2=ΔlΔT2=g4π2,g=4π2k。
五、误差分析
六、注意事项
1.构成单摆的条件:摆线应选择细且不易伸长的线(长度约1 m),小球应选用密度较大、体积较小的金属球(直径最好不超过 2 cm),小摆角(可通过估算振幅的办法掌握)。
2.固定悬点:单摆悬线的上端不可随意卷在杆上,应
夹紧在铁夹中,以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的情况。
3.摆动方法:要使摆球在同一竖直面内摆动,不能形成圆锥摆,方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放。
4.测摆长:摆长应是悬点到球心的距离,等于摆线长加上小球半径。
5.测周期
(1)要从摆球经过平衡位置时开始计时。
(2)要测多次全振动的时间来计算周期,如在摆球过平衡位置时开始计时并数零,以后摆球每经过一次平衡位置数一个数,最后总计时为t,总数为n,则周期T=tn2=2tn。
类型一 实验原理与操作
[典例1] (宁波)在做“用单摆测量重力加速度”的实验中:
(1)某同学用游标卡尺测量摆球直径,得到摆球的直径为d=19.12 mm,由此可知此同学用的游标卡尺是 ;
A.十分度的 B.二十分度的 C.五十分度的
(2)要完成此实验,下列实验器材中需要用到的是 ;(多选)

A B

C D
(3)下列实验操作步骤,有些步骤不正确,有些步骤正确,请将正确步骤选出后,再按正确顺序排序: ;
①根据单摆周期公式,计算当地重力加速度。
②让细线穿过球上的小孔,然后打一个线结,做成一个单摆。
③把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度,然后放开小球,待摆动稳定后,从小球经过最高点开始计时,测出单摆完成50次全振动的时间t,计算出单摆的周期。
④把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度,然后放开小球,待摆动稳定后,从小球经过平衡位置开始计时,测出单摆完成50次全振动的时间t,计算出单摆的周期。
⑤把单摆放在桌面上,用米尺量出摆线长l,用游标卡尺测出摆球的直径d;然后把摆线的上端固定在铁架台的铁夹上,使铁夹伸出桌面,让摆球自由下垂。
⑥把摆线的上端固定在铁架台的铁夹上,使铁夹伸出桌面,让摆球自由下垂;然后用米尺量出摆线长l,用游标卡尺测出摆球的直径d。
⑦实验完毕,整理器材。
⑧改变摆长,重做几次实验,计算出每次实验的重力加速度,求出它们的平均值。
(4)他们测得摆线长为l,摆球直径为d,在小球平稳摆动后,记录小球完成n次全振动的时间为t,则单摆的周期T= ,重力加速度测量值的表达式为g= 。(用n、t、l、d表示)
答案:(1)C (2)AC (3)②⑥④①⑧⑦
(4)tn 4n2π2(l+d2)t2
解析:(1)得到摆球的直径为d=19.12 mm,则游标卡尺的读数为0.12 mm,0.12 mm是0.02 mm的整数倍,由此可知此同学用的游标卡尺是五十分度的。
(2)在“用单摆测量重力加速度”的实验中,需要细线、有孔的小钢球,不需要测量小球的质量,测量时间需要停表。
(3)把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度,然后放开小球,待摆动稳定后,应从小球经过平衡位置开始计时,故③错误,④正确;应在摆球自由下垂时,用米尺量出摆线长l,用游标卡尺测出摆球的直径d,故⑤错误,⑥正确。正确排序为②⑥④①⑧⑦。
(4)小球完成n次全振动的时间为t,所以周期为T=tn,摆长为l+d2,又由单摆周期公式可知T=2πl+d2g,联立解得g=4n2π2(l+d2)t2。
类型二 数据处理与分析
[典例2] (嘉兴)利用单摆测量重力加速度实验。
(1)学习小组用秒表记录时间如图甲所示,秒表的读数为 s;用游标卡尺测量小球直径如图乙所示,小球直径为 cm;
(2)在安装实验装置的过程中,下列操作方法合理的是 (多选);

A B

C D
(3)小球直径记为d,悬点到小球上端绳长记为L,把小球拉开一个小角度,让小球在竖直平面内稳定摆动,某次经过平衡位置时,数1并开始计时,再次经过平衡位置时数2…,当数n时结束计时,总时间记为t,则计算重力加速度g的表达式: ;
(4)实验中若采用图像法计算当地的重力加速度g,三位同学作出的T2-L图线分别如图丙中的a、b、c所示,其中a和b平行,b和c都过原点,图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线a和c,下列分析正确的是 。
A.出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B.图线c对应的g值小于图线b对应的g值
C.出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
答案:(1)58.5 0.97 (2)BC
(3)g=(n-1)2π2(L+d2)t2 (4)C
解析:(1)秒表的读数为58.5 s,该游标卡尺的分度值为0.1 mm,则小球直径为d=0.9 cm+7×0.1 mm=0.97 cm。
(2)首先为了减小空气阻力的影响,需选择质量大的铁球,竖直悬挂,其次为了防止悬点滑动,需要用夹子夹住摆线,最后为了不让摆长发生改变,需选择细丝线,测量摆长时,应让细丝线竖直吊着小球,以减小摆长的测量误差,B、C正确。
(3)由题意可知,单摆的周期为T=2tn-1,
根据单摆周期公式可得T=2πL+d2g,
联立可得重力加速度为g=(n-1)2π2(L+d2)t2。
(4)根据单摆周期公式有T=2πL+rg,
可得T2=4π2g(L+r)=4π2gL+4π2gr,
可知a图线可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长,但图线的斜率不变,即a、b图线测出的重力加速度相同,A错误;实验中误将49次全振动记为50次,则周期的测量值偏小,导致重力加速度偏大,图线c计算出的斜率较小,则g值大于图线b对应的g值,B错误,C正确。
类型三 实验拓展与创新
[典例3] (实验装置的创新)(杭州)在学习了单摆相关知识后,某同学使用智能手机中的光传感器来测量当地的重力加速度。
实验操作步骤如下:
①将细绳一端固定在O点,另一端系上小钢球,用刻度尺测量出细绳的长度L;
②按照图甲,使手机的光感元件位于小钢球的正下方,再打开手机中测量亮度的应用软件;
③让摆球在竖直平面内小角度摆动,光感元件会采集到一个亮度的最小值,采集到亮度随时间变化的图像如图乙所示。
(1)根据图乙,单摆的周期T= s(保留两位有效数字);
(2)该同学忘记测量小球的直径,若将细绳长度L当作摆长代入公式计算所得的重力加速度的值比真实值偏 (选填“大”或“小”);
(3)为准确测得当地重力加速度,该同学多次改变细绳长度L,并测得对应的小角度单摆的周期T,以T2为纵坐标,L为横坐标,他作出的T2-L图线应该是图丙中的 (选填“①”“②”或“③”)。
答案:(1)2.0 (2)小 (3)①
解析:(1)小球连续两次通过最低点的时间间隔是半个周期,则单摆的周期为T=2.0 s。
(2)由T=2πL+rg,可得g=4π2(L+r)T2,
若将细绳长度L当作摆长代入公式计算所得的重力加速度的值比真实值偏小。
(3)由T=2πL+rg,可得T2=4π2gL+4π2gr,
作出的T2-L图线应该是图丙中的①。
[典例4] (数据处理的创新)(衢州)为了测量某地重力加速度g,某同学用如图甲的装置开展
实验。
(1)在组装单摆时,应该选用 (多选)(选填器材前的字母代号);
A.直径约为2 cm的塑料球
B.直径约为2 cm的钢球
C.长度为1 m左右的细线
D.长度为30 cm左右的细线
(2)为了提高实验的准确度,在实验中可改变摆长l并测出相应的周期T,从而得出几组对应的l和T的数值,以l为横坐标、T2为纵坐标作出T2-l图像,但该同学直接用摆线长充当摆长,由此得到的T2-l图像可能是 ;

A B

C D
(3)他直接用该图像处理得到的重力加速度 (选填“偏大”“偏小”或“不变”);
(4)关于该实验,下列说法正确的是 (多选)。
A.测量周期时,应该从摆球运动到最低点时开始计时
B.当单摆如图乙运动时,测得的g偏大
C.在摆球运动过程中,摆线与竖直方向的夹角应该尽量大一些
D.为减小偶然误差,实验中改变摆线长度多次实验,最后将摆长相加取平均值记为平均摆长
答案:(1)BC (2)B (3)不变 (4)AB
解析:(1)在组装单摆时,应该选用体积小、质量大的小球和较长的细线。
(2)若周期和摆长测量正确,T2-l图像应为过原点的倾斜直线,该同学直接用摆线长充当摆长,即对于每一个T2,对应的l的测量值都偏小了一个小球半径对应的长度,与周期和摆长测量都正确时的T2-l图像相比,该同学得到的T2-l图像斜率不变,但图像会偏左,B正确。
(3)由于该同学得到的T2-l图像与周期和摆长测量都正确时的T2-l图像相比斜率相等,所以他直接用该图像处理得到的重力加速度的值不变。
(4)测量周期时,应该从摆球运动到最低点时开始计时,A正确。当单摆如题图乙运动时,形成了圆锥摆,根据重力与拉力的合力提供向心力可知
mgtan α=m4π2T2lsin α,解得T=2πlcsαg,
所以,单摆周期的测量值会偏小,
由单摆的周期公式T=2πlg得g=4π2lT2,
由上式可知,重力加速度的测量值g偏大,B正确;
因为单摆的摆角过大的话,摆球的运动就不能看成简谐运动了,所以在摆球运动过程中,摆线与竖直方向的夹角应该尽量小一些,C错误;
为减小偶然误差,实验中应在不改变摆线长度的前提下多次测量,将摆长取平均值记为平均摆长,D错误。项目
减小方法
偶然误差
多次测量求平均值,从通过平衡位置开始计时等
系统误差
(1)固定悬点。
(2)球要用钢球,悬线不可伸长。
(3)注意让球在竖直平面内摆动等