人教版（2024）八年级上册（2024）18.1 分式及其基本性质综合训练题

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）18.1 分式及其基本性质综合训练题，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列式子中，属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．若分式有意义，则实数满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
3．若分式的值不存在，则x的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
4．若分式的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A． B． 或C． 或D．
5．下列变形中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入( )
A．B．C．D．
7．把分式的分子、分母的最高次项的系数都化为正数的结果为（ ）
A．﹣B．C．D．
8．方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．若分式的值为0，则m的值是（ ）
A．0B．C．D．3
10．如果把分式中的a，b都缩小到原来的，那么分式的值（ ）
A．缩小到原来的B．不变C．扩大2倍D．缩小到原来的
二、填空题
11．将分式约分的结果是_______．
12．在分式、、中，最简分式有______个．
13．分式与的最简公分母是______．
14．把，，通分后，各分式的分子之和为________．
15．若一个四位数满足百位数字和十位数字相同，千位数字与个位数字之和为7，这样的数称为“两同和七数”．已知为一个“两同和七数”，且可以被9整除．则满足条件的最大值是_____．将的各个数位数字之和记为，的个位数字与千位数字的差记为，并令，当是整数时，则满足条件的最小值是_____．
三、解答题
16．约分：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．已知：代数式
(1)当m为何值时，该式无意义？
(2)若该式的值为正数，求m的取值范围；
18．学完分式的概念后，老师出了一道题：当取哪些整数时，分式的值是整数？
小芳的解答如下：当，即，3，5时，分式的值是整数．
小芳的解答对吗？如果不对，请改正．
19．阅读理解“约去”指数：如你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？
(1)仔细观察式子，我们可作如下猜想：______；
(2)试证明（1）中猜想的正确性．[供参考：]参考答案
1．【答案】C
【知识点】分式的判断
【分析】形如（A、B为整式，B中含有字母且）的式子是分式，据此逐一判断选项即可．
【详解】解：由分式的定义可知，四个选项中，只有C选项中的式子是分式．
2．【答案】C
【知识点】分式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴．
3．【答案】A
【知识点】分式无意义的条件
【分析】此题考查的是分式的值不存在的条件，分式不存在的条件中特别需要注意的是分母是0，这是经常考查的知识点．
分式的值不存在的条件是：分母为0，即，从而解决问题．
【详解】解：根据题意得：
解得：．
故选：A．
4．【答案】C
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值为正数，则分子分母同号，再进行分类讨论，即可作答．
【详解】解：∵分式的值为正数，
∴分子分母同正或同负，
∴或
解得或，
故选：C
5．【答案】B
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键．根据分式的基本性质及分式的符号法则，逐一判断各选项的变形是否正确即可．
【详解】解：A．的分子分母同乘10，得，故A变形错误；
B．，故B变形正确；
C．，故C变形错误；
D．当时，无意义，不满足分式基本性质中“同乘的数不为0”的条件，故D变形错误．
故选：B．
6．【答案】C
【知识点】求使分式变形成立的条件
【分析】本题考查了分式的性质，根据题意两边同乘，得，即可求解．
【详解】解：∵，且保证，
∴两边同乘，得，
∴.
故选：C．
7．【答案】C
【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数
【分析】根据分式的基本性质，把分子分母都乘﹣1即可.
【详解】分子分母都乘﹣1，得，
原式=，
故选C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
8．【答案】B
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．
利用分式的基本性质，分子分母同时乘10即可化为整数．
【详解】解：
故选：B．
9．【答案】D
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据分式的值为时，分子为而分母不为解答即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
解得，
故选：D．
10．【答案】A
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题主要考查了分式的基本性质．依题意，分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：如果把分式中的a和b都缩小到原来的，
则变化后的分式为，
即分式的值缩小为原来的，
故选：A．
11．【答案】
【知识点】约分
【分析】本题考查了分式的约分，先对分子和分母进行因式分解，然后约去公因式．
【详解】
．
故答案为：．
12．【答案】1
【知识点】最简分式
【分析】本题考查了最简分式的定义．根据最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式为最简分式，逐一判断各分式即可．
【详解】解：对于分式，分子和分母有公因式2，可约分为，故不是最简分式；
对于分式，分子和分母无公因式，故是最简分式；
对于分式，分子可因式分解为，分母可因式分解为，
故，故不是最简分式．
因此最简分式有1个．
故答案为1．
13．【答案】
【知识点】最简公分母
【分析】本题主要考查了分式的最简公分母的确定方法，熟练掌握因式分解及最简公分母的定义是解题的关键．先对两个分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义，确定各分母所有因式的最高次幂的乘积．
【详解】解：∵，，
∴最简公分母为．
故答案为：．
14．【答案】
【知识点】通分
【分析】本题考查了分式的通分．
先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母为，再通分得到各分式的分子，最后将分子相加并化简．
【详解】解：各分母分解因式：
，
，
，
可知最简公分母为．
的分子通分后为，
的分子通分后为，
的分子通分后为，
分子之和为：
．
故答案为：．
15．【答案】
【知识点】不等式的性质、整式的加减运算、求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查不等式的性质，整式的加减，分式的值等知识，灵活运用不等式的性质推导是解题的关键．设M的千位是a，百位是b，则十位数字是b，个位数字是，， ，．根据M可以被9整除和a的取值范围可知，从而可得的最大值，求解，又求出，再根据是整数求出a的值，从而得出复合条件的M的值，继而求出满足条件 M 的最小值．
【详解】解：设M的千位是a，百位是b，则十位数字是b，个位数字是，，
∴，．
∵M可以被9整除，，
∴是9的倍数，
又∵，且b为自然数，
∴，且是奇数，
∴，即．
解得：，
∵为一个“两同和七数”，
∴当时，则，
∴的最大值为；
又∵M的个位数字与千位数字的差记为，即．
∴，
又∵，且a为正整数，
∴，且是奇数，
又∵是整数，
∴或或1或3，
解得：或4或3或2，
∴或4113或3114或2115．
∴满足条件 M 的最小值是：．
故答案为：；．
16．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】完全平方公式分解因式、约分、平方差公式分解因式、提公因式法分解因式
【分析】本题考查分式化简，涉及因式分解、约分等知识，熟练掌握分式运算法则是解决问题的关键．
（1）直接约分即可得到答案；
（2）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案；
（3）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案；
（4）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
17．【答案】(1)时，该式无意义
(2)
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求一元一次不等式的解集、分式无意义的条件
【分析】（1）由分母为0时，分式无意义，从而可得答案；
（2）根据两数相除，同号得正，可得该式的值为正数，则，再解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意得，当时，代数式无意义；
所以时，该式无意义．
（2）由题意得，该式的值为正数时，，
即．
【点睛】本题考查的是分式无意义的含义，分式的值为正数，一元一次不等式的解法，理解题意是解本题的关键．
18．【答案】小芳的解答不对．改正见解析
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】要使式子是整数，分子一定要被分母整除，因而的值是，，，故可以求出的值．
【详解】解：小芳的解答不对，
若使分式值是一个整数，则一定是4的约数，4的约数有，，共6个，
当时，或，
当时，或，
当时，或，
即，，0，2，3，5时，分式的值是整数．
【点睛】本题考查的是分式的值，在解答此题时要找出4的约数，同时要注意验根．
19．【答案】(1)（或）
(2)
证明：
（或），
∴（1）中猜想是正确的．
【知识点】约分、立方和与立方差公式分解因式、猜想与证明
【分析】本题考查了约分，读懂题目信息，理解立方和公式并分解因式是解题的关键．
（1）通过观察给定算式的规律猜想一般性公式；
（2）再利用立方和公式对分子分母进行因式分解，通过化简证明猜想的正确性．
【详解】（1）解∶依题意得（或）
故答案为：（或）
（2）略题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
C
B
C
C
B
D
A