数学18.1 分式及其基本性质复习练习题

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知识点1：分式的概念
分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．
知识点2：分式有意义的条件
分式有意义的条件：分式的分母表示除数，因为除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式有意义．
知识点3：分式的值为0的条件
分式的值为0的条件：
当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0，即当A=0且B≠0时，．
知识点4：分式的基本性质
1．（1）分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式．
（3）用途：进行分式的恒等变形．
（4）注意事项
①分式的分子与分母要同时做“乘法”或“除法”运算；
②乘（或除以）的对象必须是同一个不等于0的整式．
2．分式的符号法则：
分式的分子、分母与分式本身，这三处的符号，同时改变两处，分式的值不变．
用式子表示为：
或．
知识点5：分式的约分、最简分式
1．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分．
2．最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式．
3．约分的一般方法
（1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式．
（2）若分子或分母是多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去．
知识点6：分式的通分
1．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分．
2．最简公分母：
通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫作最简公分母．
3．确定最简公分母的一般方法：
（1）分母为单项式
①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
②取单项式中每个出现的字母的最高次数作为最简公分母中该字母的次数；
③取单独出现的字母及其指数．
（2）分母为多项式
①若有系数，求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
②对每个分母因式分解；
③找出出现的每个因式的最高次幂，它们的积为最简公分母．
求甚解
1．一个式子是分式需满足的三个条件：
（1）是形如的式子；
（2）A，B为整式；
（3）分母B中含有字母．三个条件缺一不可．
2．分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志．
3．分式的基本性质：
（1）基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件．
（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式．
（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个整式C．
4．约分和通分的相同点和不同点
练题型
题型01 判定是否为分式
典型例题
典例
01
（2025春•兰考县校级月考）在1b，x+3yπ，3x+y，56+x，x7+y8分式的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据分式定义，逐一判断所给式子是否为分式．
【解答】解：根据：一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子AB叫做分式进行判断如下：
1b，其中A＝1，B＝b，B是含有字母的整式，且b≠0，符合分式定义，所以1b是分式；
x+3yπ，因为π是一个常数（圆周率），不是字母，所以x+3yπ是整式，不是分式；
3x+y，A＝3，B＝x+y，B是含有字母的整式，且x+y≠0，符合分式定义，所以3x+y是分式；
56+x，A＝5，B＝6+x，B是含有字母的整式，且6+x≠0，符合分式定义，所以56+x是分式；
x7+y8，它是整式x7与y8的和，属于整式的加减运算，是整式，不是分式．
故选：B．
即学即练
【变式练1】 （2025春•原阳县校级月考）下列式子中，是分式的是（ ）
A．12B．x+12C．2x+1D．x2−12
【变式练2】 （2025春•鹤壁月考）下列各式中，是分式的是（ ）
A．a+13B．3abπC．1+b5aD．15
【变式练3】 （2025春•威远县校级期末）下列各式15(1−x)，4xπ−3，x2−y22，1x+x，5x2x，其中分式共有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
题型02 分式有意义的条件
典型例题
典例
02
（2025•五华区校级模拟）若分式3x+1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝﹣1B．x≠﹣1C．x≥﹣1D．x＞﹣1
【答案】B
【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可．
【解答】解：∵分式3x+1有意义，
∴x+1≠0，
∴x≠﹣1；
故选：B．
即学即练
【变式练1】 （2025春•长春期末）若分式x−2x+2有意义，则（ ）
A．x一定是2B．x一定是﹣2
C．x一定不是2D．x一定不是﹣2
【变式练2】 （2024秋•武汉期末）若分式xx+1有意义时，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≠﹣1C．x≠1D．x＞1
【变式练3】 （2024秋•邢台期末）当x＝4时，下列分式没有意义的是（ ）
A．x−1xB．x4−xC．32x−2D．xx+4
题型03 分式的值为0的条件
典型例题
典例
03
（2025春•原阳县校级月考）若分式2x−4x+3的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣3B．2C．3D．2或﹣3
【答案】B
【分析】根据分式的值为零即分子为0且分母不为0计算即可．
【解答】解：根据分式的值为零即分子为0且分母不为0得2x﹣4＝0且x+3≠0，
∴x＝2且x≠﹣3，
∴x＝2，
故选：B．
即学即练
【变式练1】 （2025春•商水县校级月考）若分式3aa−3的值等于0，则a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式练2】 （2025春•杞县月考）若分式5aa−3的值等于0，则a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式练3】 （2025春•渭滨区期末）若分式x2−4x+2的值为零，则x的值为（ ）
A．2或﹣2B．2C．﹣2D．0
题型04 分式的值
典型例题
典例
04
（2025春•南关区校级月考）若分式x−5x2+5的值是正数，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5B．x＜5C．x≥5D．x≤5
【答案】A
【分析】先判断出分母为正数，再根据分式的值是正数得出x﹣5＞0，然后求解即可．
【解答】解：∵x2≥0，
∴x2+5＞0，
∵分式x−5x2+5的值是正数，
∴x﹣5＞0，
∴x＞5，
故选：A．
即学即练
【变式练1】 （2025春•成华区期末）若分式1x−1的值为正数，则x的值可以是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【变式练2】 （2025春•龙湾区期末）分式4a+1的值为整数，则整数a的值为（ ）
A．1，2，4B．1，﹣1，2，﹣2，4，﹣4
C．0，1，3D．0，﹣2，1，﹣3，3，﹣5
【变式练3】 （2025春•天台县期末）若x+y＝2xy，则分式3x+3y−xyxy的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
题型05 分式的基本性质
典型例题
典例
05
（2025春•屯留区月考）下列变形正确的是（ ）
A．a+1b+1=ab
B．−a+ba+b=−1
C．0.1a+−1=a+3b2a−1
D．a−b−a+b=−1
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、a+1b+1≠ab，故A不符合题意；
B、−a+ba+b≠−1，故B不符合题意；
C、0.1a+−1=a+3b2a−10，故C不符合题意；
D、a−b−a+b=a−b−(a−b)=−1，故D符合题意；
故选：D．
即学即练
【变式练1】 （2025春•东区校级月考）下列各式，从左到右变形错误的是（ ）
A．ba=2b2a
B．a−ba+b=−b−ab+a
C．(a−b)2(b−a)2=1
D．0.1a−+b=a−3b2a+b
【变式练2】 （2025春•淮安区校级月考）将分式x2x+y中x与y的值同时扩大为原来的3倍，分式的值（ ）
A．扩大3倍B．缩小为原来的13
C．不变D．无法确定
【变式练3】 （2025春•杞县月考）下列各式中，从左到右变形正确的是（ ）
A．x+2y−2=xyB．x2y2=xyC．2x2y=xyD．−x−y=−xy
题型06 约分
典型例题
典例
06
（2024秋•三亚期末）下列分式的约分正确的是（ ）
A．2x+2=1x+1B．y+2x+2=yx
C．x+yx−y=−1D．x2−y2x+y=x−y
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，对选项逐一分析判断即可．
【解答】解：A、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意；
B、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意；
C、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意；
D、x2−y2x+y=(x+y)(x−y)x+y=x−y，正确，符合题意，
故选：D．
即学即练
【变式练1】 （2025春•五指山期末）化简分式x2y2xy2的结果是（ ）
A．2B．x2yC．y2xD．2xy
【变式练2】 （2025春•常宁市期末）把分式bab+3b约分得（ ）
A．b+3B．a+3C．1b+3D．1a+3
【变式练3】 （2025春•崇左期末）下列各式中，约分正确的是（ ）
A．x+yx−y=−1B．a5a3=a
C．x+yx2+xy=1xD．2ab36a2b3=a3
题型07 通分
典型例题
典例
07
（2024春•洪泽区校级期中）通分
（1）1a，1b；
（2）1x2−y2，1x2−2xy+y2．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）最简公分母是ab，利用分式的性质变形即可；
（2）中分式的分母分别为（x+y）（x﹣y），（x﹣y）2，确定最简公分母是（x﹣y）2（x+y），然后利用分式的基本性质变形即可．
【解答】解：（1）∵最简公分母为ab，
∴1a=bab，1b=aab；
（2）∵最简公分母为（x﹣y）2（x+y），
∴1x2−y2=1(x+y)(x−y)=x−y(x+y)(x−y)2，
1x2−2xy+y2=1(x−y)2=x+y(x−y)2(x+y)．
即学即练
【变式练1】 （2023秋•永定区期末）通分：1a2−4，a4−2a，2a+2．
【变式练2】 （2024春•兴化市校级月考）计算．
（1）约分：a2+4ab+4b2a2−4b2；
（2）通分：ba2−ab，a−ba2+ab．
【变式练3】 （2024春•宿城区校级期中）通分：
（1）1a2b，−2ab2；
（2）1x2−y2，1x2+xy．
题型08 最简分式
典型例题
典例
08
（2025春•宿城区期末）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A．6xy5x2B．x2−xyx−y
C．x2+y2x+yD．x2−9y2x+3y
【答案】C
【分析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
【解答】解：A、该分式的分子、分母中含有公因式x，不是最简分式，故不符合题意．
B、该分式的分子、分母中含有公因式（x﹣y），不是最简分式，故不符合题意．
C、该分式的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意．
D、该分式的分子、分母中含有公因式（x+3y），不是最简分式，故不符合题意．
故选：C．
即学即练
【变式练1】 （2025•台江区校级模拟）若分式x2−y2△是最简分式，则△表示的是（ ）
A．2x+2yB．（x﹣y）2C．x2+2xy+y2D．x2+y2
【变式练2】 （2024秋•新县期末）下列分式中，最简分式是（ ）
A．3a6bcB．a+ba2+abC．a+1a2−1D．a2−a
【变式练3】 （2024秋•庆阳期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A．1−xx−1B．x−1x2−1C．2xx2+1D．42x
题型09 最简公分母
典型例题
典例
09
（2024秋•仁怀市期末）分式y2x3与13x2的最简公分母是（ ）
A．6x3B．5x5C．6x5D．6x6
【答案】A
【分析】利用最简公分母的定义：取系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母作为最简公分母的一个因数，判断即可．
【解答】解：分式y2x3与13x2的最简公分母是6x3．
故选：A．
即学即练
【变式练1】 （2025春•南京期末）分式14m与12m2的最简公分母是（ ）
A．4m2B．4m3C．8m2D．8m3
【变式练2】 （2025春•南京期末）分式2ac，1ab的最简公分母是（ ）
A．2abcB．a2bcC．abcD．2a2bc
【变式练3】 （2025春•屯留区月考）分式1ab，−2bc，3ac的最简公分母是 abc ．
约分
通分
不同点
分式的个数
1个
多于1个
变形过程
关键环节
确定分子、分母的公因式
确定几个分式的的最简公分母
目的
将分式化为最简分式或整式
把几个异分母的分式化为同分母的分式
相
同
点
依据
分式的基本性质
分式的值
不变