人教版 (2019)必修 第二册曲线运动精品随堂练习题

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A．船无法到达正对岸
B．船渡河的最短时间为
C．船在河水中的实际速度大小可能是
D．若仅增大河水流动的速度，则船渡河的最短时间将变长
【答案】C
【详解】A．根据题意可知船速大于水速，当船的速度在沿着河岸方向与水流速度大小相等时，与水流速度方向相反时，可以到达正对岸，故A错误；
BD．当船头始终垂直河岸时，渡河时间最短为
船渡河的时间河水的流动速度无关，故BD错误；
C．根据运动的合成可知，当船速方向与水流速度的方向为锐角时，船在河水中的实际速度大于，故C正确。
故选C。
2．（2023上·江苏泰州·高一校考阶段练习）如图所示，小船以3m/s的静水速度驶向对岸，船头方向始终垂直于河岸，已知河水流速为4m/s，则小船的实际速度为（ ）
A．3m/sB．4m/sC．5m/sD．7m/s
【答案】C
【详解】根据题意可得
故选C。
3．河的两岸平行，假设河中水流速度恒为 3m /s。小船从岸边出发，以最短的时间到达对岸，用时90s。已知小船在静水中的航行速度为4m/s，下列说法正确的是（ ）
A．河宽为360mB．小船在河中运动的速度大小为7m/s
C．小船在出发点的正对岸处靠岸D．小船在出发点的正对岸下游90m处靠岸
【答案】A
【详解】A．河宽为
选项A正确；
B．小船在河中运动的速度大小为
选项B错误；
CD．小船在过河过程中因有沿水流方向的分速度，可知小船在出发点的正对岸下游处靠岸，靠岸点在出发点的正对岸下游
选项CD错误；
故选A。
4．2023年夏季某地区的降雨量比往年同期偏多，某些河流水位升高，水流速度增大。如图所示，一条小河的水流速度恒为，小船（视为质点）从河岸边的A点垂直河岸渡河，小船在静水中的速度不变，到达对岸的B点，已知A、B间的距离为L，A、B连线与河岸间的夹角为，小船渡河的时间为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由速度的合成与分解可知，小船实际渡河的速度大小
小船渡河的时间
解得
故选D。
5．2021年夏天，中国多地出现暴雨，导致洪涝灾害。在某次救援演习中，一冲锋舟匀速横渡一条两岸平直、水流速度不变的河流，当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游处；若冲锋舟船头保持与河岸成角向上游航行时，则恰能到达正对岸，已知河水的流速大小为，下列说法正确的是（ ）
A．冲锋舟在静水中的速度大小为
B．河的宽度为800m
C．冲锋舟在静水中的速度大小为
D．河的宽度为1200m
【答案】C
【详解】AC．冲锋舟恰能到达正对岸时，在静水中速度v静与水的流速v水的合速度垂直于河岸，则有
v静sin60°=v水
解得
v静＝
故A错误C正确；
BD．当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游600m处，由于船在垂直河岸方向和沿河岸方向都是匀速运动，所以两个方向的位移之比等于两方向的速度之比，即
式中s指沿河岸方向的位移，为600m，d指河宽，可解得
故BD错误；
故选C。
6．（2023上·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期末）如图所示，一条小船渡河，河宽为，河水流速，船在静水中速度，船头方向与河岸垂直，关于小船的运动，下列说法正确的是（ ）

A．小船的实际运动轨迹与河岸垂直
B．小船相对于河岸的速度大小为
C．小船过河后航行到了河对岸下游处
D．若小船行驶到河中央时，水流急速加快，则运动时间也会随之变短
【答案】C
【详解】A．小船参与了两个运动，一个是垂直于河岸的运动，另一个是顺水漂流，因此小船的运动应该是这两个运动的合运动，斜向河的下游，A错误；
B．小船相对于河岸的速度应该是两个分速度的合速度，大小为
B错误；
C．小船的过河时间
到对岸后向下游移动的距离
C正确；
D．若小船行驶到河中央时，水流急速加快，只会影响沿河方向的速度，不会影响在垂直河岸方向的速度，因此不会影响过河时间，D错误。
故选C。
7．（多选）（2023下·福建福州·高一校联考期末）双人皮划艇决赛中，假设在一段平直的河道中水流速度为，皮划艇在静水中的速度为，河道宽为d，运动员划动皮划艇过河，则下列说法正确的是（ ）
A．调整皮划艇船头方向，一定能够到达河的正对面
B．皮划艇船头对着正对岸时，过河时间最短
C．若水流速度增大，则皮划艇过河最短时间减小
D．若皮划艇能到达河正对面，则皮划艇过河时间为
【答案】BD
【详解】A．当时，由矢量三角形定则可知，皮划艇一定不能到河道的正对面，故A错误；
B．皮划艇船头对着河道正对面时，划艇垂直河岸的分速度v最大，河宽d一定，由
可得过河时间最短，故B正确；
C．当船头方向不变时，根据运动的独立性，若水流速度增大，过河时间不变，故C错误；
D．若皮划艇正好到达河道的正对面，则合速度为
过河时间为
故D正确。
故选BD。
8．（多选）（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期末）在宽度为d的河中，水流速度为v2，船在静水中速度为v1（且v1>v2），船头方向可以选择，现让该船开始渡河，则该船（ ）
A．不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关
B．过河的最短渡河时间为，此时需船头垂直河岸
C．过河的最短位移是
D．当最短位移过河时，船头与河岸夹角为，，船身斜向下游过河
【答案】AB
【详解】A．船渡河的时间只由船沿着垂直于河岸方向的分速度决定，不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关，故A正确；
B．当船头垂直河岸时，船沿着垂直于河岸方向的分速度最大，此时过河的时间最短，为，故B正确；
CD．因v1>v2，则船能垂直于河岸渡河，船头与河岸夹角为，满足，此时合速度的方向与河岸垂直，过河的最小位移是，选项CD错误。
故选AB。
9．（2021下·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）如图所示，两次渡河时船头指向均垂直于岸，且船相对水的速度大小不变。已知第一次实际航程为A至B，位移为，实际航速为，所用时间为，由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为，实际航速为，所用时间为。则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由运动的独立性，船对水的航速v不变，航向也不变，则渡河时间
河宽为d，航速v不变，故
船做匀速运动，运动时间
故
又
联立解得
故选C。
10．（2024上·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a。在船下水点A的下游距离为b处是瀑布，为了使小船渡河安全（不掉到瀑布里去） ，则（ ）
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为
B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河时间也最短
C．当小船沿轨迹 AB 渡河时，船在静水中的最小速度为
D．当小船沿轨迹 AB 渡河时，船在静水中的最小速度为
【答案】D
【详解】A．当小船船头垂直河岸渡河，时间最短，最短时间为
且必须小于或等于
故A错误；
B．小船轨迹垂直河岸渡河，位移最小，大小为a，但船头必须指向上游，合速度小于船在静水中速度，渡河时间不是最短，故B错误；
CD．小船沿轨迹AB运动，船在静水中的速度最小时，速度方向与AB垂直，可得
故C错误，D正确。
故选D。
11．（多选）（2023下·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考阶段练习）轮渡是过去人们过河经常采用的一种交通方式。如图是摆渡船轮渡的情景；已知船在静水中的速度为，当船在A处，船头与上游河岸夹角过河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽，船在静水中速度大小不变，水流的速度不变，则下列说法中正确的（ ）

A．此时船的渡河时间为20s
B．此时河中水流速度为8m/s
C．若船选择以最短时间过河，船最短的渡河时间为20s
D．若水流速度突然增大变为15m/s，则小船重新调整方向也无法到达正对岸B处
【答案】CD
【详解】AB．根据题意可知，船渡河的合速度方向垂直与河岸，则有
船的渡河时间为
故AB错误；
C．若船选择以最短时间过河，则船头垂直河岸，船最短的渡河时间为
故C正确；
D．若水流速度突然增大变为15m/s，由于船在静水中的速度小于水流速度，可知合速度方向不可能垂直于河岸，则小船重新调整方向也无法到达正对岸B处，故D正确。
故选CD。
12．（多选）（2023上·辽宁辽阳·高一统考期末）如图所示，河的宽度为d，水速恒定，甲、乙两船以大小相同的速度（相对静水）同时开始渡河。出发时两船相距2d，甲、乙船头与河岸的夹角均为，且乙船恰好能直达正对岸的A点。下列说法正确的是（ ）
A．甲船正好也在A点靠岸B．甲船在A点的左侧靠岸
C．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇D．甲、乙两船到达对岸的时间相等
【答案】AD
【详解】ABC．由于乙船在A点靠岸，则速度分解如图
渡河时间
甲船沿河流方向的合速度为
甲船沿河岸方向位移
即甲船恰好在A点上岸，A正确，BC错误；
D．由于甲、乙两船在静水中速度相等，且都以船头与河岸夹角为45°角的方式渡河，分解到垂直河岸方向的分速度相等，因此渡河时间相等，D正确。
故选AD。
13．（多选）京津冀第五届滹沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广场周边水域进行，比赛前某运动员热身时游过一段宽的河道，河水的流速与离河岸的距离变化的关系如图所示，运动员在静水中的速度为，若运动员以最短的时间渡河，则（ ）
A．运动员在渡河过程中，的方向应与上游河岸成角
B．运动员运动的轨迹是曲线
C．运动员渡河的最短时间是
D．运动员在河水中的最大速度是
【答案】BD
【详解】A．若运动员以最短的时间渡河，则运动员在渡河过程中，的方向始终与河岸垂直，故A错误；
B．由于水流速度变化，的方向始终与河岸垂直，所以运动员的合速度方向变化，运动员运动的轨迹是曲线，故B正确；
C．运动员以最短的时间渡河，的方向始终与河岸垂直，则有
故C错误；
D．运动员在河水中的最大速度为
故D正确。
故选BD。
14．（多选）（2023下·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期中）经过治理的护城河成为城市的一大景观，河水看似清浅，实则较深。某次落水救人的事件可简化如图，落水孩童抓住绳索停在A处，对面河岸上的小伙子从B处直线游过去，成功把人救起。河宽和间距如图中标注，假定河水在各处的流速均为1m/s，则（ ）
A．游泳时小伙子面对的方向是合运动的方向
B．小伙子在静水中游泳的速度至少应为0.6m/s
C．小伙子渡河的时间一定少于16s
D．若总面对着A处游，小伙子将到达不了A处
【答案】BD
【详解】AB．由题可知，设小伙子在静水中的游泳的速度为，小伙子的合运动方向是从B到A，作出小伙子游泳时合速度与两个分速度的关系，如图所示
当与合速度垂直时有最小值，设AB与河岸的夹角为，根据几何关系有
解得
即游泳时小伙子面对的方向是与合速度方向垂直，此时最小的速度为
故A错误，B正确；
C．由AB分析可知，小伙子相对水的速度存在不确定性，其沿流水方向和垂直河岸方向的速度大小及合速度大小都不能确定，则渡河的时间不确定，故C错误；
D．若总面对着A处游，如图所示
由图可知的方向会不断变化，则有加速度产生，而的方向大小不变，根据运动的合成与分解，可知它们的合运动是变速曲线运动，位移变大，故达不了A处，故D正确。
故选BD。
15．（2023上·江苏南京·高一校联考阶段练习）在抗洪抢险中，战士驾驶冲锋舟救人，假设江岸是平直的，洪水沿江自上游而下，水流速度，冲锋舟在静水中的航速，战士救人的地点A离岸边最近点O的距离为100m。
（1）若战士想通过最短的时间将人送上岸，求最短时间和上岸点与O点距离；
（2）若战士想通过最短的航程将人送上岸，求冲锋舟的船头朝向与上游河岸夹角和上岸时间。
【答案】（1）20s，60m；（2）53°角，25s
【详解】（1）若战士想通过最短的时间将人送上岸，则船头应该指向正对岸，则最短时间为
上岸点与O点距离为
（2）若战士想通过最短的航程将人送上岸，则合速度方向指向正对岸，设船头与上游河岸夹θ角，则
得
即船头与上游河岸夹53°角。
战士由A点至岸上的时间
16．（2023下·新疆阿克苏·高一兵团第一师高级中学校考阶段练习）如图所示，一探险者正从某瀑布上游划船渡河，已知河流的宽度，此时探险者正处于河流正中央A点处，该点与下游瀑布危险区的最短距离为。已知水流速度为（，）。从此时开始计时，
（1）若小船在静水中速度为，则船到岸的最短时间是多少？所到目的地与河流正对岸间的距离是多少？
（2）若小船在静水中速度为，则小船以最短的距离到岸时所需时间是多少？此时船头方向与河岸上游的夹角是多少？
（3）为了使小船能避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是多少？

【答案】（1）20s，80m；（2），；（3）2m/s
【详解】（1）当船头方向垂直河岸时，则渡河时间最短，则最短时间为
所到目的地与河流正对岸间的距离
（2）设船头与河岸的夹角为，如图

由图知
解得
船的合速度
渡河时间
（3）小船避开危险区沿直线到达对岸，合速度与水流速度的夹角为α，即有
则
小船在河水中运动时，当小船在静水中的速度与合速度垂直时，小船在静水中的速度最小为