第13讲 小船渡河模型（解析版）

第13讲 小船渡河模型

1．（2021·辽宁）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（　　）

A．75s B．95s C．100s D．300s

【解答】解：当静水速度与河岸垂直时，垂直于河岸方向上的分速度最大，则渡河时间最短，最短时间为：

ts＝300s，故D正确，ABC错误；

故选：D。

一.知识回顾

1.模型构建

（1）常规简单模型：实际运动是匀速直线运动

在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。若其中一个分运动的速度大小和方向都不变，另一个分运动的速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的运动系统可看成“小船渡河模型”。

（2）较复杂模型：实际运动是曲线运动

水速不变，但船在静水中速度变化；或者船在静水中速度不变，但水速大小变化。

2．模型特点

(1)船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。

(2)三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合。

3．实际运动是匀速直线运动的两类问题、三种情景

4.分析思路

5.解题方法：

   小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。无论哪类都必须明确以下四点：

(1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。

(2)运动分解的基本方法：按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解。

(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。求解渡河时间，一般根据运动的独立性，t＝＝＝。

(4)求最短渡河位移时，当水速小于船速时即为河宽，当水速大于船速时，根据船速v船与水流速度v水的情况用三角形定则求极限的方法处理。

二.例题精讲

题型一：实际运动是匀速直线运动的最短过河时间与最小位移问题

例1．一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8

（1）若船在静水中的速度为v2＝5m/s，求：

①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

（2）若船在静水中的速度v2＝1.5m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？

（3）若小船只能停靠在河对岸下游135m处，则小船在静水中航速至少要达到多大？对应运动时间是多少？船头指向与河岸夹角多大？

【解答】解：（1）①欲使船在最短的时间内渡河，则船在垂直河岸方向上的速度最大，则船头垂直河岸，所用时间为

此时船航行的速度为

位移为

②欲使船渡河的航程最短，船的航行速度方向指向对岸，如图所示

根据几何关系可知

v2sinα＝v1

解得：α＝30°

则当船头与上游河岸成60°角时航程最短，此时的航行速度为

则航行的位移为x2＝d＝180m

所用时间为

（2）若船在静水中的速度v2＝1.5m/s，要使船渡河的航程最短，因为船在静水中的速度小于水流速度，则船一定向下游飘移，设船航行的速度方向与下游河岸夹角为β，则航程

则β角越大，航程越短，当β角最大时，航程最短，船头指向如图所示

根据几何关系可知

则β＝37

则船头的方向与上游河岸53°角，此时，航行的位移为

船航行的速度

所用时间为

（3）若小船只能停靠在河对岸下游135m处，当小船以最小的静水速度到达指定地点，小船做直线运动，则实际航线方向与下游河岸的夹角θ满足

则θ＝53°

即船头与上游河岸的夹角为37°时，船在静水中速度最小，如图所示

则船航行的速度为

v＝v1cos53°＝2.5×0.6m/s＝1.5m/s

船在静水中的速度为

航行的位移为

航行的时间为

答：（1）①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝垂直于河岸，用时36s，位移是；

②欲使船渡河的航程最短，船头与上游河岸成60°角，用时24s，位移是180m；

（2）若船在静水中的速度v2＝1.5m/s，要使船渡河的航程最短，船头的方向与上游河岸53°角，用时150s，位移是300m；

（3）若小船只能停靠在河对岸下游135m处，则小船在静水中航速至少要达到1.5m/s，对应运动时间是150s，船头指向与河岸夹角为37°。

题型二：不同位置的水速大小不同

例2．在一次抗洪抢险演习中如图所示，河水由西向东流，河宽为800m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水x（m/s）（x的单位为m）．小船在静水中速度大小恒为v船＝4m/s，当小船船头垂直河岸由南向北渡河时，下列说法中正确的是（　　）

A．小船渡河的时间最短，且小船渡河的最短时间为200s 

B．小船渡河的时间最短，且小船渡河的最短时间为160s 

C．小船运动的航程为800m．且在河水中的最大速度是6m/s 

D．小船在距南岸300m处的速度小于在距北岸300m处的速度

【解答】解：AB、小船船头垂直河岸由南向北渡河，此时静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，故小船渡河最短时间，故A正确，B错误；

C、当小船行驶到河中央时

那么小船在河水中的最大速度，故C错误；

D、小船在距南岸300m处的速度小于在距北岸300m处水速相同，由此可知，两者速度大小相等，故D错误。

故选：A。

题型三：船在静水中速度变化

例3．一只小船渡河，运动轨迹如图所示，水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船的初速度大小均相同，方向垂直于河岸，且船在渡河过程中船头方向始终不变。由此可以确定船（　　）

A．沿三条不同路径渡河的时间相同 

B．沿AC轨迹渡河所用的时间最短 

C．沿AC轨迹船到达对岸的速度最小 

D．沿AB轨迹运动时，船在垂直于河岸方向做匀减速直线运动

【解答】解：AD、船过河可以看作是同时参与在静水中的运动和随着河水的运动，

在垂直河岸方向，位移为河宽，小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，

故渡河时间不相同；故A错误；

根据物体做曲线运动时加速度指向曲线的凹侧，可知AC为小船相对于静水做匀加速直线运动，

AD轨迹为小船相对于静水做匀减速直线运动，AB轨迹为小船相对于静水做匀速直线运动；

故D错误；

BC、船的初速度大小均相同，方向垂直于河岸，且船在渡河过程中船头方向始终不变，垂直河岸方向位移等于河宽，

沿AC轨迹时垂直河岸方向做匀加速直线运动，故渡河所用时间最短；故B正确；

水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸；即沿河岸分速度大小相等；

垂直河岸方向，船的初速度大小均相同，沿AC轨迹渡河时，垂直河岸的分速度最大，此时船到达对岸的速度最大；

故C错误；

故选：B。

三.举一反三，巩固练习

1. 如图，一条河宽d＝100m，河中各处水的流速均匀，且水速的大小为v＝1m/s，A点为岸边一点，B为A点正对岸的一点，一只小船（可视为质点）从A点保持船头始终与岸边夹角为θ＝53°，船匀速驶向对岸，船在静水中的速度大小为v船＝5m/s，sin53°＝0.8下列说法正确的是（　　）

A．船到达对岸的位置在B点 

B．船过河需要20s的时间 

C．船渡河的航程最短 

D．小船的合速度大小为2m/s

【解答】解：ABC、将船在静水中速度分解成沿水流方向与垂直河岸方向，如图所示

依据矢量的合成法则，结合三角知识，船在垂直河岸方向的分速度为v2＝v船sinθ＝5×sin53°m/s＝4m/s

则船过河的时间为ts＝25s

可得水流方向的分速度v1＝v船cosθ＝5×cos53°m/s＝3m/s

则船在水流方向的合速度为vx＝v1﹣v＝3m/s﹣1m/s＝2m/s

因此船到达对岸的位置离B点距离为x＝vxt＝2×25m＝50m，则船到达对岸的位置不是B点，是B点上游50m处，即船的航程不是最短，故ABC错误；

D、由上述分析可知，船的合速度大小为v合m/s＝2m/s，故D正确。

故选：D。

2. 如图所示，一条小船从码头A过河，小船在静水中的速度为v，船头指向始终与河岸垂直（沿AA'方向）。当水流速度为v1时，小船运动到河对岸的码头B靠岸，AB与河岸的夹角为α＝60°。当水流速度为v2时，小船运动到河对岸的码头C靠岸，AC与河岸的夹角为β＝30°。下列说法正确的是（　　）

A．小船沿AB、AC过河的时间相等 

B．小船沿AC过河的时间更长 

C．v1：v2＝1：2 

D．当水流速度为v1时，要使小船到达码头A′，船头应指向河的上游且与河岸夹角为60°

【解答】解：AB．因船头始终垂直于河岸，可知船过河的时间为

即小船沿AB、AC过河的时间相等，故A正确，B错误；

C．由题意可知

解得：v1：v2＝1：3，故C错误；

D．当水流速度为v1时，要使小船到达码头A'，则合速度应该垂直河对岸，船头应指向河的上游且与河岸夹角为

则α≠60°，故D错误。

故选：A。

3. 如图所示，小船沿直线AB过河，船头始终垂直于河岸。若水流速度减小，为保持航线不变，保持船头始终垂直于河岸。下列措施与结论正确的是（　　）

A．减小静水中船速，过河时间变长 

B．减小静水中船速，过河时间不变 

C．增大静水中船速，过河时间不变 

D．增大静水中船速，过河时间缩短

【解答】解：船头始终垂直于河岸，河宽一定，当水流速度减小，为保持航线不变，根据运动的合成可知船的速度必须减小，再根据，所以渡河的时间变长，故A正确，BCD错误；

故选：A。

4. 甲乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v0，船在静水中的速率为v，甲乙两船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂直到达河对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则下列判断正确的是（　　）

A．甲船先到达对岸 

B．若仅增大河水流速v0，则两船渡河时间都不变 

C．无论水速v0怎样改变，只要适当改变θ角，甲船总能到达正对岸的A点 

D．若仅增加水速v0，则两船到达对岸时，两船之间的距离将增加

【解答】解：AB．将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，因为分运动和合运动具有等时性，可知甲乙两船到达对岸的时间相等。即渡河的时间为

与河水流速v0无关。若仅增大河水流速v0，两船的渡河时间都不变，故A错误，B正确；

C．只有甲船速度大于水流速度时，只要适当改变θ角，甲船才能到达河的正对岸A点；当水流速度大于甲船速度时，无论怎样改变θ角，甲船都不能到达正对岸的A点，故C错误；

D．若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时间不变，根据速度的分解，船在水平方向的分速度仍不变，则两船之间的距

x＝（v0t+vcosθ•t）﹣（v0t﹣vcosθ•t）＝2vcosθ•t

两船之间的距离和河水流速v0无关，若仅增加水速v0，则两船到达对岸时，两船之间的距离不变，故D错误。

故选：B。

5. 一条河宽度为200m，水流的速度为5m/s，一条船在静水中的速度为4m/s，则（　　）

A．当船头垂直河岸渡河时，渡河时间为50s 

B．当船头垂直河岸渡河时，渡河时间为40s 

C．当船头垂直河岸渡河时，渡河的实际航线长度为200m 

D．该船能沿垂直河岸方向横渡到对岸

【解答】解：AB、当船头垂直河岸横渡时，渡河时间最短，渡河时间为：ts＝50s，故A正确，B错误；

CD、由题，船在静水中的航速小于水流的速度，根据平行四边形定则可知，船的合速度方向不可能垂直于河岸，船不能垂直到达正对岸，渡河的实际航线长度一定大于200m，故CD错误。

故选：A。

6. 小船在静水中的速度是4m/s，一条河宽120m，河水流速为5m/s，下列说法正确的是（　　）

A．小船在河中运动的最大速度是9m/s 

B．小船渡河的最短时间是24s 

C．小船能到达河的正对岸 

D．小船渡河的最小位移是200m

【解答】解：A、根据矢量合成的特点可知，当小船顺流而下时，小船在河中运动的速度最大，为vmax＝vc+vs＝4m/s+5m/s＝9m/s，故A正确；

B、当船头的速度垂直于河岸时，小船渡河的时间最短，为，故B错误；

C、因为小船在净水中的速度小于河水流速，故小船无法到达河的正对岸，故C错误；

D、当小船的合速度与船速垂直时，小船的渡河位移最小，如图所示：

则cosθ

根据几何关系可知，小船渡河的最小位移为

，故D错误；

故选：A。

7. 如图，甲、乙两只小船同时从A点沿着与河岸不同夹角的方向渡河，甲船船头与河岸上游的夹角为60°，乙船船头与河岸下游的夹角为30°，水流速度恒定。要使两船同时到达对岸，则甲船在静水中的速度大小与乙船在静水中的速度大小之比为（　　）

A．1：2 B．2：1 C． D．

【解答】解：要使两船同时到达对岸，即它们到达对岸的时间相等，则需要它们沿垂直于河岸方向的分速度相等，即：c甲sin60°＝v乙sin30°

可得：，故ABD错误，C正确。

故选：C。

8. 2021年7月20日08时至7月21日06时，河南中北部出现大暴雨。如图，抢险队员驾驶救援船（可视为质点）以大小为v1＝12m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度（在静水中的速度）从A点出发，恰好能到达正对岸B点，河宽为d＝96m。下列说法正确的是（　　）

A．水流的速度大小为v2＝6m/s 

B．救援船从A点到B点所用的时间为8s 

C．以最短时间渡河时，救援船的位移大小为96m 

D．若救援船的船头始终指向正对岸，在渡河过程中水流的速度大小v2突然变小，则渡河时间不变

【解答】解：A、恰好能到达正对岸B点，则水流的速度大小大小等于船沿河岸方向的分速度，为v2＝v1cosθ＝12cos60°m/s＝6m/s，故A错误；

B、救援船从A点到B点所用时间为tss，故B错误；

C、以最短时间渡河时，小船以最短位移渡河的时间为s＝8s，救援船沿河岸通过的位移为x＝v2t′＝6×8m＝48m，救援船的位移大小为smm，故C错误；

D、各分运动独立进行，不受其他分运动的影响，所以若救援船的船头始终指向正对岸，在渡河过程中水流的速度大小v2突然变小，则渡河时间不变，故D正确。

故选：D。

9. 洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身影。如图所示，水速为v，厦门中学生助手连同消防武警驾驶冲锋舟若采取冲锋舟最小速度和最短时间两种方案，沿与平直河岸成30°角的线路把被困群众从A处送到对岸安全地B处，则两种方案中冲锋舟最小速度v1和最短时间的冲锋舟速度v2之比为（　　）

A．1：2 B． C． D．

【解答】解：设冲锋舟以最小速度v1和最短时间的冲锋舟速度v2分别从A到B，如图所示，冲锋舟最小速度v1垂直于AB连线v1＝vsin30°，

最短时间的冲锋舟速度v2垂直于水平河岸v2＝vtan30°，可知

故D正确，ABC错误；

故选：D。

10. 有一条两岸平直且平行的河流，河水流速恒定，大小为v1。一条小船在河上横渡，已知船在静水中的速度大小为v2，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。若v1、v2均不变，试求去程与回程所用时间的比值为（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：设河宽为d

当船头指向始终与河岸垂直，如图1

                    图1

则有：t去

当回程时行驶路线与河岸垂直，如图2

                     图2

则有：t回

则去程与回程所用时间的比值为k，故C正确，ABD错误。

故选：C。

11. 一小船过河的运动轨迹如图所示。河中各处水流速度大小相同且恒定不变，方向平行于岸边。若小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度均相同（且均垂直于岸边）。由此可以确定（　　）

A．船沿AC轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动 

B．船沿AB轨迹渡河所用的时间最短 

C．船沿AD轨迹到达对岸前瞬间的速度最大 

D．船沿三条不同轨迹渡河所用的时间相同

【解答】解：ABD、在曲线运动中加速度的方向指向轨迹的凹侧，根据图片可知，AC轨迹是匀加速运动，AB轨迹是匀速运动：AD轨迹是匀减速运动，因此船沿AC轨迹过河所用的时间最短，故BD错误，A正确；

C、船沿AD轨迹在垂直河岸方向的运动是减速运动，根据运动的规律可知船到达对岸的速度最小，故C错误。

故选：A。