小学数学北师大版（2024）六年级上册（2024）数与代数精品第1课时同步训练题

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本课核心问题
同一个数量关系，怎样在分数、百分数和比之间灵活转化，并用它们解决实际问题？
一、学习目标
1. 能梳理全册“数与代数”的知识网络，说明分数、百分数、比之间的联系，以及比、分数、除法三者的对应关系
2. 能正确进行分数混合运算、化简比与求比值，熟练进行百分数、分数、小数的互化
3. 能借助线段图、扇形统计图分析数量关系，正确选择乘法或除法（方程）解决分数、百分数的实际问题，并写出检验过程
二、重点
• 分数、百分数、比三种表达之间的转化与联系
• 单位“1”的确定：已知用乘法、未知用除法（方程），做完后检验
• 百分数应用（求百分率、折扣、增减、扇形统计图）与找规律题的解题模式
三、难点
• 单位“1”未知的分数应用问题：画图找对应关系、列方程与检验
• 易混点：化简比与求比值、八折与降价80%、连续增减时基准量的变化
学习支架
复习导引：同一个数量关系，怎样在分数、百分数和比之间灵活转化？——全册“数与代数”知识网络表
比、分数、除法对照表
单位“1”已知与未知的对照（同一情境正反两问）
和平路小学校园占地情况（教材总复习第12题）
百分数·分数·小数互化速查表（对应教材总复习第1、2题）
折扣速查表
解决实际问题的通用流程（教材回顾与交流：同学们交流的解题经验）
1. 理解题目的意思
2. 画图表示数量关系
3. 列式解答
4. 做完后检验答案
四、知识要点
1. 分数除法与分数混合运算
分数除法的意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。计算方法：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。例如 710÷75=710×57=12。0没有倒数，1的倒数是1。分数混合运算的顺序与整数相同：先算乘除、再算加减，有括号先算括号里面的；同级运算从左往右依次计算。可以运用运算律简便计算，例如 38×5+58×5=5×(38+58)=5。教材依据：总复习“巩固与应用”第10题“算一算”（第110页）。
2. 分数应用与解题策略
分数应用的核心是找准单位“1”和对应分率：①求一个数的几分之几是多少：单位“1”已知，用乘法——单位“1”×分率=对应量；②已知一个数的几分之几是多少，求这个数：单位“1”未知，用除法（对应量÷分率）或列方程。解题策略（教材回顾与交流中学生交流的经验）：先理解题目的意思，画图（线段图）表示数量关系，再列式解答，做完后检验答案。检验方法：把求得的结果代回原题，看是否符合已知条件，例如求出合唱团25人后，验证 25×45=20（人），与条件一致。
3. 比的意义、比值与“比、分数、除法”的关系
两个数相除又叫作两个数的比。比表示了两个数量之间的倍数关系（教材回顾与交流）。比的各部分：在 3:4 中，3 是前项，4 是后项，前项÷后项所得的商叫作比值。比、分数、除法的关系：a:b=a÷b=ab（b不为0）。比的前项相当于除法中的被除数、分数中的分子；比的后项相当于除数、分母；比值相当于商、分数值。比例：表示两个比相等的式子叫作比例。因为 0.25:1 与 1:4 的比值都等于 14，所以这两个比可以组成比例 0.25:1=1:4。（本册按回顾与交流第2题作概念回顾，六年级下册将进一步学习比例）
4. 化简比与比的应用
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。化简比的方法：整数比用前、后项的最大公因数约分（如 24:36=2:3）；分数比先化成整数比再化简；小数比先同时扩大相同的倍数化成整数比再化简（如 0.25:1=1:4，0.3:0.09=10:3）。注意区分：化简比的结果是一个比（如 6:5），求比值的结果是一个数（如 65）。比的应用——按比分配：把总量按各部分的数量比分配，先求总份数，再求每部分占总量的几分之几，最后用总量乘对应的分率。教材依据：总复习“巩固与应用”第6题“化简”（第109页）。
5. 百分数的意义、互化与折扣
百分数表示一个数是另一个数的百分之几。互化方法：百分数化小数——去掉%，小数点向左移动两位；小数化百分数——小数点向右移动两位，添上%；百分数化分数——先写成分母是100的分数再化简。常见互化（教材总复习第1、2题）：40%=25=0.4；60%=35=0.6；25%=14=0.25；12.5%=18=0.125；37.5%=38=0.375。折扣：几折表示现价是原价的百分之几十，八折就是80%，八五折就是85%。现价=原价×折扣率。
6. 百分数的应用
①求一个数是另一个数的百分之几：部分÷整体。如六(1)班40名同学中32名写出两种以上自救方法，32÷40=80%。②求一个数的百分之几是多少：整体×百分率。③求比一个数增加（减少）百分之几的数量：原量×(1±百分率)，注意基准量是原来的量。④结合扇形统计图：部分量=总量×对应的百分率；各个扇形表示的百分率之和是100%。⑤折扣：现价=原价×折扣率。教材第8题：甲牌电冰箱原价1500元、八五折，现价1275元；乙牌原价1600元、八折，现价1280元，甲牌更便宜。教材第12题（和平路小学）：校园总面积30000 m²，教学楼占25%、科技馆占10%、操场占20%、食堂占2.5%、小菜园占0.3%，合计57.8%，空地占42.2%。
7. 用字母表示数与找规律
用含有字母的式子可以概括一类规律：先算出摆1个、2个、3个……需要的数量，观察每次增加的量是否相同，再用字母表示一般情况。教材回顾与交流第3题：淘气用小棒摆正方形，摆n个正方形需要多少根小棒？——连排正方形每增加1个只添3根小棒（与前一个共用一条边），所以摆n个需要 4+3(n−1)=3n+1 根（具体摆法请以教材原图为准）。教材第13题：照图中方式摆正八边形，摆1个需要8根，以后每增加1个正八边形（共用一条边）只需增加7根，所以摆n个需要 8+7(n−1)=7n+1 根，摆8个需要57根。“首项+每次增加量×(n-1)”型的式子还能表示生活中许多规律，例如一列数3、5、7、9……
五、典型例题
【例1】
教材总复习“巩固与应用”第9题：李老师对六(1)班40名同学进行了地震自救知识的问卷调查，写出2种以上方法的有32名同学，占调查总人数的百分之几？
【例2】
教材总复习第8题：甲牌电冰箱原价1500元，打八五折；乙牌电冰箱原价1600元，打八折。打折后哪种电冰箱便宜？
【例3】
教材总复习第4题：下图中甲正方形和乙正方形的边长分别是12 m和10 m。（1）甲正方形和乙正方形边长的比是（________），比值是（________）；（2）周长的比是（________），比值是（________）；（3）面积的比是（________），比值是（________）。
甲、乙两个正方形（非按比例示意）
【例4】
教材总复习第13题：用小棒按照下图的方式摆正八边形（相邻两个正八边形共用一条边），照这样摆8个正八边形图形，需要多少根小棒？摆n个呢？
用小棒摆正八边形（示意）
【例5】
果园里桃树的棵数是梨树的35。①梨树有180棵，桃树有多少棵？②桃树有108棵，是梨树的35，梨树有多少棵？（画线段图，并列式解答）
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 计算 49÷23 时，可以把除以一个不为0的数转化为乘这个数的倒数：49÷23=49×（________）=（________）。
2. 把比 3:4 改写成除法算式是（________），改写成分数形式是（________）。
3. 1的倒数是1，0的倒数是0。（ ）
4. 把 24:36 化成最简单的整数比是（________），比值是（________）。
5. 0.25 改写成百分数是（________），改写成分数是（________）。
6. 脱式计算：710÷75+12
7. 一件商品打八折出售，现价是原价的80%。（ ）
8. 一件上衣原价200元，打八五折（即按原价的85%出售）后，现价是（________）元。
9. 用简便方法计算：38×5+58×5
10. 30的25是（________）；一个数的25是12，这个数是（________）。
11. 把 0.25:1 化成最简单的整数比是（________），把 0.3:0.09 化成最简单的整数比是（________）。
12. 因为 0.25:1 与 1:4 的比值相等，所以这两个比可以组成比例。（ ）
★★ 能力提升
13. 修一条公路，已经修了48米，正好占全长的35。求这条公路的全长，这道题中单位“1”是（________）。
A. 已经修的48米
B. 这条公路的全长
C. 35
D. 还没修的长度
14. 六(2)班有50名同学，其中42名同学能说出至少2种地震自救方法，能说出至少2种地震自救方法的同学占全班人数的百分之几？
15. 学校把420本图书按3:4分给五年级和六年级，五年级分得多少本？
16. 商场促销，甲牌电冰箱原价1200元，打八折；乙牌电冰箱原价1400元，打八五折。打折后哪种电冰箱便宜？便宜多少元？
17. 图书室共有图书2000本，各类图书占图书总数的百分比如下图。（1）文学类和科普类各有多少本？（2）文学类比科普类多多少本？
图书室各类图书占图书总数的百分比
18. 学校合唱团和腰鼓队，参加腰鼓队的有20人，是合唱团人数的45。参加合唱团的有多少人？（列方程或算术方法解答，并检验）
★★★ 拓展延伸
19. 用同样的小棒摆三角形，摆1个需要3根，摆2个需要5根，摆3个需要7根。（1）照这样的规律，摆10个需要多少根小棒？（2）摆n个需要多少根小棒？请用含有字母的式子表示。（3）生活中还有哪些规律可以用这个式子表示？请举一个例子。
20. 我们班有42人，其中男生20人、女生22人（教材回顾与交流中的班级数据）。请用这些数据提出至少3个用分数、百分数或比解决的问题，并解答。
21. 一件商品原价400元，先降价10%（降价后价格是原价的90%），再在降价的基础上提价10%（提价后价格是降价后价格的110%）。最后现价是多少元？与原价相比，贵了还是便宜了？
模块
核心概念
关键方法
易错提醒
分数除法
除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数
除以一个数改乘它的倒数；混合运算按运算顺序
0没有倒数；颠倒分子分母时出错
分数应用
单位“1”与对应分率
单位“1”已知用乘法，未知用除法或方程；画线段图找对应
把“已知一个数的几分之几”与“求一个数的几分之几”混淆
比与比例
比的意义；比、分数、除法的关系；比例
求比值用前项÷后项；化简比用比的基本性质；比值相等的两个比可以组成比例
把比（关系）与比值（一个数）混为一谈
百分数
百分数、分数、小数的互化；折扣
百分率=部分÷整体；现价=原价×折扣率
把八五折误认为“降价85%”
用字母表示数
用含字母的式子表示规律
先算摆1个、2个、3个……的数量找规律，再用字母表示一般式
漏掉首项基数，如把 7n+1 写成 7n
名称
比 3:4
分数 34
除法 3÷4
前项
3
3
3
后项
4
4
4
结果
比值 34
分数值 34
商 34
单位“1”已知——求部分，用乘法
单位“1”未知——求整体，用除法或方程
梨树有180棵，桃树的棵数是梨树的35，桃树有多少棵？180×35=108（棵）
桃树有108棵，是梨树的35，梨树有多少棵？108÷35=180（棵），检验：180×35=108，结果正确
百分数
分数
小数
40%
25
0.4
60%
35
0.6
25%
14
0.25
12.5%
18
0.125
37.5%
38
0.375
折扣
含义
现价算式
八折
现价是原价的80%
原价×80%
八五折
现价是原价的85%
原价×85%
七五折
现价是原价的75%
原价×75%